Bevezetés
Több mint 2,000 évvel ezelőtt a görög matematikus, Eratoszthenész kidolgozott egy módszert a prímszámok megtalálására, amely ma is visszaköszön a matematikában. Az volt az ötlete, hogy egy adott pontig minden prímszámot azonosítson a nem prímszámok fokozatos „kiszűrésével”. A szitája úgy kezdődik, hogy áthúzza a 2 többszörösét (kivéve magát a 2-t), majd a 3 többszörösét (kivéve magát a 3-at). A következő szám, a 4, már át van húzva, így a következő lépés az 5 többszöröseinek áthúzása, és így tovább. Csak a prímszámok maradnak életben – olyan számok, amelyeknek egyetlen osztója 1 és önmaguk.
Eratoszthenész a prímszámok teljes készletére összpontosított, de a szitáján lévő variációk segítségével mindenféle különleges tulajdonsággal rendelkező prímszámra vadászhat. Szeretne „ikerprímeket” találni, amelyek csak 2 távolságra vannak egymástól, például 11 és 13 vagy 599 és 601? Erre van egy szita. Olyan prímszámokat szeretne találni, amelyek 1-gyel nagyobbak egy tökéletes négyzetnél, például 17 vagy 257? Erre is van szita.
A modern sziták a számelmélet legjelentősebb előrehaladását segítették elő a problémák terén, kezdve a Fermat-féle utolsó tételtől a még mindig nem bizonyított ikerprím-sejtésig, amely szerint végtelenül sok ikerprímpár létezik. A szitamódszerek – írta 1965-ben Erdős Pál magyar matematikus – „talán a legerősebb számelméleti elemi eszközünk”.
Ezt a hatalmat azonban korlátozza a matematikusok korlátozott ismerete arról, hogyan oszlanak el a prímek a számegyenesen. Egyszerű egy kis számig, például 100-ig szitálni. De a matematikusok meg akarják érteni a sziták viselkedését, amikor a számok megnövekednek. Nem remélhetik, hogy felsorolják mindazokat a számokat, amelyek túlélik a rostát valami rendkívül nagy megállóhelyig. Így ehelyett megpróbálják megbecsülni, hogy hány szám szerepel a listán.
Bevezetés
Eratoszthenész szitája esetében ez a becslés attól függ, hogy az egész számok milyen gyakran oszthatók 2-vel, 3-mal vagy 5-tel, és így tovább – ez viszonylag könnyen beszerezhető információ. De a bonyolultabb szitáknál, mint például az ikerprímeknél, a döntő információ gyakran azokra a maradékokra vonatkozik, amelyeket a prímek különböző számokkal osztva hagynak hátra. Például a prímszámok milyen gyakran hagynak 1 maradékot, ha elosztjuk 3-mal? Vagy 8 maradéka, ha elosztjuk 15-tel?
Ahogy kimozdulsz a számegyenes mentén, ezek a maradékok statisztikailag kiszámítható mintákká rendeződnek. 1896-ban Charles-Jean de la Vallée Poussin belga matematikus bebizonyította, hogy a maradékok fokozatosan kiegyenlítődnek – például ha a prímszámokat két vödör valamelyikébe ejti attól függően, hogy a maradékuk 1 vagy 2, ha elosztjuk 3-mal, a két vödör végül nagyjából ugyanannyi prímszámot tartalmaz. De ahhoz, hogy a szitamódszerekben rejlő lehetőségeket teljes mértékben kiaknázhassák, a matematikusoknak nem csak azt kell tudniuk, hogy a vödrök végül kiegyenlítődnek, hanem azt is, hogy ez milyen hamar sikerül.
Ez kihívást jelent. Az 1960-as években és az 1980-as években bekövetkezett újabb előrelépések után az új fejlesztések többnyire megszűntek. Figyelemre méltó kivétel történt 2013-ban, amikor Yitang Zhang közzétette a mérföldkőnek számító bizonyíték hogy végtelen sok prímpár van közelebb egymáshoz néhány véges korlátnál. De a 80-as években kidolgozott fő munka több mint három évtizede lényegében nem haladt előre.
A téma most reneszánszát éli, amelyet a sorozat of három papírok írta az oxfordi matematikus James Maynard 2020-ban (két évvel korábban Fields-éremmel tüntették ki, a matematika legmagasabb kitüntetése). Maynard elemezte az „eloszlási szintnek” nevezett számot, amely azt mutatja meg, hogy az elsődleges maradékok milyen gyorsan oszlanak el egyenletesen vödrökben (néha bizonyos típusú szitákra hivatkozva). Számos gyakran használt szita esetében kimutatta, hogy az eloszlás szintje legalább 0.6, ami felülmúlja az 0.57-as évek korábbi, 1980-es rekordját.
Maynard munkája és az azt követő tanulmányok „új életet lehelnek az analitikus számelméletbe” – mondta. John Friedlander a Torontói Egyetem munkatársa, akik nagy szerepet játszottak az 1980-as évek fejleményeiben. – Ez egy igazi újjáéledés.
Bevezetés
Az elmúlt néhány hónapban Maynard három végzős diákja ajánlatunkra írott papírok Maynard és Zhang eredményeinek kiterjesztése; az egyik ilyen papír, írta Jared Duker Lichtman (jelenleg posztdoktori ösztöndíjas a Stanford Egyetemen) 0.617-re emelte Maynard megoszlási szintjét. Ezután Lichtman ezt a növekedést felhasználta az ikerprímek számának javított felső korlátjának kiszámítására egy adott megállási pontig, valamint a „Goldbach-reprezentációk” számának kiszámításához – a páros számok két prím összegeként történő megjelenítéséhez.
"Ezek a fiatalabb emberek nyomon követik azt, ami most igazán forró téma" - mondta Andrew Granville a Montreali Egyetemen.
A 0.6-ról 0.617-re való növekedés csekély mértékűnek tűnhet a számelméleten kívüli emberek számára. Ám a szitaelméletben Granville azt mondta: „néha ezek a kis győzelmek pusztító következményekkel járhatnak.”
Beleértve és Kizárva
Megbecsülni, hogy egy szita hány számot távolít el valamilyen megállási pontig N, a matematikusok olyan megközelítést alkalmaznak, amely az úgynevezett befogadáson/kizáráson alapul. Ha látni szeretné, hogyan működik ez, nézze meg Eratoszthenész szitáját. Ez a szita úgy kezdődik, hogy eltávolítja a 2 többszörösét – ez nagyjából a fele a számoknak N. Ezután a szita eltávolítja a 3 minden többszörösét - a számok körülbelül 1/3-át N. Tehát azt gondolhatja, hogy eddig a számok körülbelül 1/2 + 1/3-át távolította el N.
De ez túlszámlálás, mert duplán megszámolta azokat a számokat, amelyek 2 és 3 többszörösei (6 többszörösei). Ez az összes szám körülbelül 1/6-a N, tehát a kétszeri számolás korrigálásához ki kell vonni az 1/6-ot, így az eltávolítandó tétel futó összege 1/2 + 1/3 − 1/6 lesz.
Ezután léphet az 5 többszörösére – ez hozzáad 1/5-öt a számlálóhoz, de ki kell vonnia az 1/10-et és az 1/15-öt, hogy korrigálja a túlszámlálást, amely osztható 2-vel és 5-tel vagy mindkettővel 3-mal. és 5. Még akkor sem vagy teljesen kész – véletlenül kétszer javítottad a 2-vel, 3-mal és 5-tel osztható számokat, így a javításhoz hozzá kell adnod az 1/30-at a számlálódhoz, így jön a futó végösszeg. 1/2 + 1/3 - 1/6 + 1/5 - 1/10 - 1/15 + 1/30.
Ahogy ez a folyamat folytatódik, az összeg egyre több tagot kap, és egyre nagyobb nevezőjű törteket foglal magában. Annak elkerülése érdekében, hogy a közelítésekben előforduló apró hibák, például „körülbelül 1/2” és „kb. 1/3” túlságosan felhalmozódjanak, a számelméletek általában leállítják az összeadás és kivonás folyamatát, mielőtt az egész szitán átmennének, és megelégednek azzal, pontos válasz helyett felső és alsó határt.
Elméletileg hasonló folyamatnak kellene működnie a prímszámok szebb készleteinél, például ikerprímeknél. De ha olyan dolgokról van szó, mint például az ikerprímek, a felvétel/kizárás nem fog működni, hacsak nem tudja, hogy a prímmaradékok milyen egyenletesen oszlanak el a gyűjtőkön.
Bevezetés
Ennek megtekintéséhez gondolja át, hogyan működhetne egy ikerszita. Kezdje Eratosthenes szitájával, hogy megtalálja az összes prímszámot N. Ezután végezzen egy második szitálási kört, amely eltávolít minden olyan prímet, amely nem része egy ikerprímpárnak. Ennek egyik módja az, hogy kiszűrünk egy prímet, ha a két ponttal balra lévő szám nem prím (vagy nézhet két foltot jobbra – bármelyik szita működik). A bal oldali szitát használva a prímszámokat, például a 13-at megtartja, mivel a 11-es is prímszám, de a 23-as prímszámokat át kell húzni, mivel a 21 nem prímszám.
Ezt a szitát úgy képzelheti el, hogy először két ponttal balra tolja a prímszámokat a számegyenesen, majd áthúzza az eltolt halmazban azokat a számokat, amelyek nem prímszámok (például 21). Az eltolt halmazban áthúzza a 3 többszörösét, majd az 5 többszörösét, és így tovább. (Nem kell aggódnia a 2 többszöröse miatt, mivel az eltolt halmazban lévő számok mind páratlanok, kivéve a legelsőt.)
Következik a felvétel/kizárás, hogy megbecsülje, hány számot húzott át. Eratoszthenész szitájában a 3 többszörösének áthúzása az összes szám körülbelül 1/3-át eltávolítja. De az eltolt prímszámok kisebb halmazában nehezebb megjósolni, hogy hány fog esni, ha kihúzzuk 3 többszörösét.
Bármilyen szám k az eltolt halmazban 2-vel kisebb, mint néhány prím. Tehát, ha k 3 többszöröse, akkor a megfelelő prímszám, k + 2, maradéka 2, ha elosztjuk 3-mal. A prímszámok maradéka 1 vagy 2, ha 3-mal osztjuk (kivéve magát a 3-at), így sejthető, hogy a prímszámok fele N a maradék 1, a fele pedig a 2. Ez azt jelentené, hogy a szita e lépésében az eltolt halmazban lévő számok hozzávetőleg felét áthúzod (az Eratoszthenész szitájában szereplő 1/3 helyett). Tehát egy 1/2 kifejezést írna a beszámítási/kizárási összegébe.
De la Vallée Poussinnak köszönhetően tudjuk, hogy végül a prímszámok felének 1-es, felének pedig 2-es a maradéka, ha 3-mal osztjuk. De a befogadáshoz/kizáráshoz nem elég tudni, hogy a fennmaradó csoportok egyensúlyban vannak végül ki - tudnod kell, hogy kiegyensúlyozzák N. Ellenkező esetben nem bízhat az „1/2”-ben a beszámítási/kizárási összegben. Lehet, hogy a matematikusok több mint egy évszázada aggódnak, hogy a prímszámok eloszlása furcsa furcsaságokkal rendelkezik, amelyek aláássák a beszámítási/kizárási összegünkhöz szükséges számolások egy részét.
"Ha nincsenek eloszlási tételeid, nem tudod megérteni, mi történik, ha befejezed a szitát" - mondta Terence tao a Los Angeles-i Kaliforniai Egyetemen.
Alapvető útpont
A számelmélet legünnepeltebb megoldatlan problémája – az általánosított Riemann-hipotézis – formájában a számelméleti szakemberek rendelkezésére állt egy jóslat arról, hogy milyen gyorsan kezdenek kiegyenlítődni a vödrök. Ez a hipotézis, ha igaz, azt jelentené, hogy ha az összes prímszámot nézzük egy nagyon nagy számig N, akkor a prímmaradékok egyenletesen el vannak osztva a gyűjtőhelyek között bármely osztóhoz, legfeljebb négyzetgyökig N. Így például, ha az 1 billiónál kisebb prímszámokat nézi, akkor azt várná, hogy azok egyenletesen oszlanak el a maradék kategóriákban, ha elosztja őket 120-zal, vagy 7,352-vel vagy 945,328-cal – minden osztó kisebb, mint körülbelül 1 millió ( 1 billió négyzetgyöke). A matematikusok azt mondják, hogy az általánosított Riemann-hipotézis azt jósolja, hogy a prímek eloszlási szintje legalább 1/2, mivel egy másik módszer a négyzetgyök felírására. N olyan, mint N1/2.
Bevezetés
Ha ez a hipotézis helyes, az azt jelentené, hogy amikor 1 billióig szitálsz, áthúzhatod 2, majd 3, majd 5 többszörösét, és addig folytathatod, amíg a beszámítás/kizárás összege el nem kezd osztókkal 1 felett. millió – ezen a ponton túl nem számíthatja ki az összegben szereplő feltételeket. Az 1900-as évek közepén a számteoretikusok számos szitatételt bizonyítottak a következő formában: „Ha az általánosított Riemann-hipotézis helyes, akkor…”
De ezeknek az eredményeknek a nagy részéhez valójában nem volt szükség az általánosított Riemann-hipotézis teljes erejére – elég lenne tudni, hogy a prímszámok szinte minden osztóhoz jól el vannak osztva gyűjtőhelyeken, minden osztó helyett. Az 1960-as évek közepén Enrico Bombieri és Askold Vinogradov külön sikerült ennek bizonyítására: A prímszámok eloszlási szintje legalább 1/2, ha megelégszünk azzal, hogy a kockák szinte minden osztónál kiegyenlítődnek.
A máig széles körben használt Bombieri-Vinogradov-tétel azonnal bebizonyította számos olyan eredményt, amelyek korábban a bizonyítatlan általánosított Riemann-hipotézisre támaszkodtak. „Ez egyfajta aranystandard az eloszlási tételekben” – mondta Tao.
A matematikusok azonban régóta gyanítják – és számszerű bizonyítékok is utalnak rá –, hogy a prímszámok valódi eloszlási szintje sokkal magasabb. Az 1960-as évek végén Peter Elliott és Heini Halberstam sejtik hogy a prímek eloszlási szintje csak egy árnyalattal van 1 alatt – más szóval, ha valami nagy számig terjedő prímeket nézünk, akkor azokat egyenletesen kell elosztani vödrökbe még a nagy számhoz nagyon közeli osztók esetében is. . És ezek a nagy osztók számítanak a befogadás/kizárás során, mivel akkor jönnek elő, amikor a túlszámlálást korrigálja. Tehát minél közelebb jutnak a matematikusok az Elliott és Halberstam által megjósolt eloszlási szinthez, annál több tagot tudnak kiszámolni a befogadási/kizárási összegben. Az Elliott-Halberstam sejtést bizonyítva Tao azt mondta, hogy „az álom”.
A mai napig azonban senki sem tudta felülmúlni azt az 1/2-es eloszlási szintet az általánosság teljes fokán, amelyet a Bombieri-Vinogradov-tétel elér. A matematikusok ezt a buktatót a prímszámok „négyzetgyök-korlátjának” nevezték. Ez a gát Lichtman szerint „egy alapvető fajta útpont a prímszámok megértésében”.
Új világrekordok
Sok szitaprobléma esetén azonban még akkor is előrelépést érhet el, ha nincs teljes információja arról, hogy a prímszámok hogyan oszlanak fel gyűjtőhelyekre. Vegyük az ikerprímek problémáját: Egy prím kiszűrése, ha a tőle balra lévő két folt osztható 3-mal, 5-tel vagy 7-tel, ugyanaz, mintha azt kérdeznénk, hogy magának a prímnek van-e 2 maradéka, ha elosztjuk 3-mal, 5-tel vagy 7-tel. más szóval, hogy a prím beleesik-e bármelyik osztó „2”-es mezőjébe. Tehát nem kell tudnod, hogy a prímek egyenletesen oszlanak-e el az osztók összes gyűjtőkörében – csak azt kell tudnod, hogy minden „2”-es gyűjtőkör tartalmazza-e az általunk várt prímszámokat.
Az 1980-as években a matematikusok elkezdték kitalálni, hogyan bizonyítsák be azokat az eloszlási tételeket, amelyek egy adott vödörre összpontosítanak. Ez a munka csúcspontja a 1986 papír írta: Bombieri, Friedlander és Henryk Iwaniec ami 4/7-re (körülbelül 0.57) emelte az eloszlási szintet az egyes vödröknél, nem minden szitánál, hanem egy széles osztálynál.
A Bombieri-Vinogradov-tételhez hasonlóan az 1980-as években kidolgozott ötletek halmaza számos alkalmazásra talált. Leginkább az, hogy lehetővé tette a hatalmas ugrás a matematikusok megértésében Fermat utolsó tétele, amely szerint az egyenlet an + bn = cn nincs természetes szám megoldása egyetlen kitevőre sem n magasabb, mint 2. (Ezt később, 1994-ben bebizonyították olyan technikákkal, amelyek nem támaszkodtak eloszlási tételekre.) Az 1980-as évek izgalmai után azonban a prímek eloszlásának szintjén néhány évtizedig alig történt előrelépés.
Aztán 2013-ban Zhang kitalálta, hogyan lehet átlépni a négyzetgyökkorlátot Bombieri, Friedlander és Iwaniec irányától eltérő irányban. Régi, nem divatos módszerekbe ásott bele az 1980-as évek elejétől, hogy a Bombieri és Vinogradov 1/2-es terjesztési szintjén a legapróbb javulásokat is elérje egy olyan kontextusban, ahol az ember csak „sima” számokat szűr – olyanokat, amelyeknek nincs nagy prímtényezője. . Ez az apró fejlesztés lehetővé tette Zhang számára bizonyítsd be a régóta fennálló sejtést hogy a számegyenesen haladva folyamatosan olyan prímpárokkal fog találkozni, amelyek közelebb vannak egymáshoz, mint valamilyen rögzített korlát. (Ezt követően Maynard és Tao külön jött ki Ennek a tételnek egy újabb bizonyítéka, egy javított szita használatával, nem pedig javított eloszlási szinttel.)
Zhang eredménye a Riemann-hipotézis egy változatára támaszkodott, amely az algebrai geometria világában él. Bombieri, Friedlander és Iwaniec munkája eközben arra támaszkodott, amit Maynard „némileg mágikus kapcsolatnak” nevezett az automorf formáknak nevezett tárgyakkal, amelyeknek megvan a saját változata a Riemann-hipotézisről. Az automorf formák erősen szimmetrikus objektumok, amelyek Tao szerint „a számelmélet nagy teljesítményű végéhez” tartoznak.
Néhány évvel ezelőtt Maynard meg volt győződve arról, hogy e két módszerből több levet lehet kicsikarni, ha egyesítik meglátásaikat. 2020-ban három tanulmányból álló sorozatában, amelyet Granville „tour de force”-nak nevezett, Maynardnak sikerült 3/5-re, vagyis 0.6-ra növelnie az elosztási szintet, valamivel szűkebb kontextusban, mint amilyet Bombieri, Friedlander és Iwaniec tanulmányozott. .
Most Maynard tanítványai továbbfejlesztik ezeket a technikákat. Lichtman nemrég jött rá hogyan lehet kiterjeszteni Maynard eloszlási szintjét körülbelül 0.617-re. Ezután ezt a növekedést új felső korlátokká alakította mind az ikerprímek, mind a páros számok Goldbach-reprezentációinak két prím összegeként történő számlálására. Ez utóbbi esetében ez az első alkalom, hogy valaki a klasszikus Bombieri-Vinogradov tétel 1/2-én túlmutató eloszlási szintet tudott használni.
Maynard másik tanítványa, Alexandru Pascadi, van megfelelt a 0.617-es számnak nem a prímszámok, hanem a sima számok eloszlási szintjére. A prímekhez hasonlóan a sima számok is megjelennek a számelméletben, és az eloszlási szintjükre és a prímszámokra vonatkozó eredmények gyakran kéz a kézben járnak.
Eközben egy harmadik diák, Stadlmann Júlia, van növelte az elosztás szintjét prímszámok a Zhang által tanulmányozott beállításban, amelyben az osztók (a számok felosztása helyett) sima számok. Zhang kis híján legyőzte a négyzetgyökös akadályt ebben az összefüggésben a 0.5017-es terjesztési szint elérése, majd a Polymath projekt nevű online együttműködés emelte ezt a számot 0.5233-ra; Stadlmann most 0.525-re emelte.
Más matematikusok ugratják az analitikus számelméleteket, mondta Tao, a kis numerikus előrelépések iránti megszállottságuk miatt. De ezeknek az apró fejlesztéseknek a kérdéses számokon túl is van jelentősége. „Olyan ez, mint a 100 méteres száguldás, [ahol] 3.96–3.95 másodpercet borotválunk” – mondta. Minden új világrekord „mércéje annak, hogy mennyit fejlődtek a módszereid”.
Összességében „a technikák egyre világosabbak és egységesebbek” – mondta. "Egyértelművé válik, ha már előrehaladott az egyik probléma megoldásában, hogyan alkalmazhatja azt egy másik problémához."
Ezekre az új fejlesztésekre még nincs bomba-alkalmazás, de az új munka „határozottan megváltoztatja a gondolkodásmódunkat” – mondta Granville. „Ez nem csak egy szög erősebb beverése, hanem egy továbbfejlesztett kalapács.”
Quanta felméréssorozatot végez közönségünk jobb kiszolgálása érdekében. Vidd a miénket matematika olvasói felmérés és ingyenesen nyerhetsz Quanta árut.
- SEO által támogatott tartalom és PR terjesztés. Erősödjön még ma.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Erősítse meg magát. Hozzáférés itt.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Felerősített tudás. Hozzáférés itt.
- PlatoESG. Carbon, CleanTech, Energia, Környezet, Nap, Hulladékgazdálkodás. Hozzáférés itt.
- PlatoHealth. Biotechnológiai és klinikai vizsgálatok intelligencia. Hozzáférés itt.
- Forrás: https://www.quantamagazine.org/a-new-generation-of-mathematicians-pushes-prime-number-barriers-20231026/
- :van
- :is
- :nem
- :ahol
- ][p
- $ UP
- 000
- 1
- 100
- 11
- 13
- 15%
- 17
- 1994
- 2013
- 2020
- 23
- 7
- 8
- a
- Képes
- Rólunk
- AC
- Fiók
- ér
- át
- tulajdonképpen
- alkalmazkodni
- hozzá
- mellett
- előre
- előlegek
- Után
- Augusztus
- Minden termék
- majdnem
- mentén
- már
- Is
- an
- Analitikus
- elemzett
- és a
- Angeles
- Másik
- válasz
- bármilyen
- bárki
- külön
- Alkalmazás
- alkalmazások
- megközelítés
- körülbelül
- VANNAK
- AS
- kér
- At
- közönség
- elérhető
- Egyenleg
- korlát
- akadályok
- alapján
- BE
- üt
- lett
- mert
- válik
- egyre
- óta
- előtt
- viselkedés
- mögött
- hogy
- lent
- benchmark
- Jobb
- Túl
- Nagy
- nagyobb
- Legnagyobb
- Blokk
- test
- mindkét
- Köteles
- határokat
- lélegző
- Bringing
- de
- by
- számít
- Kalifornia
- hívott
- hívás
- kéri
- jött
- TUD
- Kaphat
- fogások
- visz
- ünnepelt
- Század
- kihívást
- Változások
- osztály
- klasszikus
- világos
- közel
- közelebb
- együttműködés
- Colorado
- kombinálása
- hogyan
- jön
- általában
- viszonylag
- bonyolult
- aggodalmak
- vezető
- bizalom
- sejtés
- Következmények
- Fontolja
- tartalom
- kontextus
- tovább
- győződve arról,
- kijavítására
- korrigált
- Megfelelő
- tudott
- számolás
- Kereszt
- Crossed
- átkelés
- kritikus
- Gondolatjel
- nap
- évtizedek
- Fok
- attól
- függ
- pusztító
- fejlett
- fejlesztések
- különböző
- irány
- megosztott
- terjesztés
- osszuk
- megosztott
- do
- Ennek
- csinált
- ne
- álom
- Csepp
- minden
- Korai
- könnyű
- bármelyik
- Elliott
- engedélyezve
- találkozás
- végén
- elég
- lépett
- hibák
- lényegében
- becslés
- Még
- egyenletesen
- végül is
- Minden
- bizonyíték
- példa
- Kivéve
- kivétel
- Izgalom
- vár
- terjed
- kiterjedő
- kivonat
- rendkívüli módon
- tényezők
- Esik
- Vízesés
- messze
- GYORS
- Jellemzők
- fickó
- kevés
- Fields
- mintás
- Találjon
- megtalálása
- befejezni
- vezetéknév
- első
- Rögzít
- rögzített
- Összpontosít
- összpontosított
- következő
- A
- Kényszer
- forma
- formák
- talált
- ból ből
- táplálta
- Tele
- alapvető
- további
- Nyereség
- generáció
- kap
- szerzés
- adott
- Go
- megy
- Arany
- Aranystandard
- elmúlt
- fokozatosan
- diplomás
- görög
- kellett
- fél
- kalapács
- kéz
- megtörténik
- nehezebb
- Legyen
- he
- <p></p>
- legnagyobb
- nagyon
- övé
- tart
- tart
- remény
- vendéglátó
- FORRÓ
- Hogyan
- How To
- azonban
- HTTPS
- hatalmas
- magyar
- vadászat
- ötlet
- ötletek
- azonosítani
- if
- javított
- javulás
- fejlesztések
- in
- Más
- Növelje
- információ
- meglátások
- példa
- azonnal
- helyette
- bele
- vonja
- bevonásával
- IT
- ITS
- maga
- éppen
- Tart
- Kedves
- Ismer
- Ismerve
- nagy
- keresztnév
- Késő
- a későbbiekben
- legkevésbé
- Szabadság
- balra
- kevesebb
- szint
- élet
- mint
- Korlátozott
- vonal
- Lista
- kis
- életek
- Hosszú
- régóta fennálló
- néz
- keres
- az
- Los Angeles
- Sok
- alacsonyabb
- magazin
- Fő
- csinál
- sikerült
- sok
- matematikai
- matematika
- Anyag
- jelent
- Közben
- módszer
- mód
- esetleg
- millió
- hónap
- több
- a legtöbb
- többnyire
- mozog
- sok
- többszörös
- Szükség
- szükséges
- Új
- következő
- nem
- figyelemre méltó
- nevezetesen
- Most
- szám
- számok
- objektumok
- szerez
- történt
- of
- kedvezmény
- gyakran
- Régi
- on
- egyszer
- ONE
- azok
- online
- csak
- or
- Más
- másképp
- mi
- ki
- kívül
- felett
- saját
- Oxford
- pár
- párok
- papírok
- rész
- különös
- múlt
- minták
- Paul
- Emberek (People)
- tökéletes
- talán
- Plató
- Platón adatintelligencia
- PlatoData
- játszott
- pont
- lehetséges
- potenciális
- hatalom
- erős
- előre
- Kiszámítható
- jósolt
- előrejelzés
- jósolja
- megakadályozása
- előző
- korábban
- Első
- Probléma
- problémák
- folyamat
- Haladás
- haladt
- program
- bizonyíték
- Bizonyít
- bizonyított
- bizonyítja
- közzétett
- Nyomja
- meglökött
- kitolja
- Toló
- Quantamagazine
- kérdés
- gyorsan
- egészen
- emelt
- kezdve
- Inkább
- elérése
- Olvasó
- igazi
- tényleg
- rekord
- referencia
- támaszkodnak
- maradék
- eltávolított
- eltávolítása
- Reneszánsz
- eredményez
- Eredmények
- jobb
- Szerep
- gyökér
- nagyjából
- körül
- futás
- Mondott
- azonos
- látta
- azt mondják
- azt mondja,
- Második
- másodperc
- lát
- látszik
- Series of
- szolgál
- készlet
- Szettek
- beállítás
- rendezni
- számos
- eltolódott
- VÁLTOZÁS
- kellene
- kimutatta,
- jelentőség
- hasonló
- Egyszerű
- óta
- egyetlen
- Méret
- kicsi
- kisebb
- sima
- So
- eddig
- Megoldások
- néhány
- valami
- néha
- nemsokára
- váltott
- speciális
- foltok
- négyzet
- Présel
- standard
- Stanford
- Stanford Egyetem
- kezdet
- kezdődött
- kezdődik
- Lépés
- Még mindig
- megáll
- megállítás
- erő
- diák
- Diákok
- tanult
- tanulmányok
- botladozó
- tárgy
- Később
- ilyen
- túlélni
- Vesz
- meghozott
- technikák
- kifejezés
- feltételek
- mint
- hogy
- A
- a világ
- azok
- Őket
- maguk
- akkor
- elmélet
- Ott.
- Ezek
- ők
- Szerintem
- Harmadik
- ezt
- azok
- bár?
- három
- Keresztül
- idő
- nak nek
- Ma
- együtt
- is
- szerszám
- téma
- toronto
- Végösszeg
- Trillió
- igaz
- megpróbál
- Kétszer
- iker
- kettő
- típusok
- UCLA
- Undermine
- megért
- megértés
- egységes
- egyetemi
- University of California
- nem bizonyított
- -ig
- frissített
- használ
- használt
- segítségével
- rendszerint
- változat
- nagyon
- akar
- volt
- Út..
- we
- webp
- JÓL
- voltak
- Mit
- amikor
- vajon
- ami
- WHO
- egész
- akinek
- széles
- széles körben
- lesz
- nyer
- Győzelem
- val vel
- szavak
- Munka
- művek
- világ
- aggódik
- aggódik
- lenne
- ír
- írott
- írt
- év
- még
- te
- fiatalabb
- A te
- zephyrnet