Bevezetés
A matematikában, akárcsak az életben, a kis döntéseknek nagy következményei lehetnek. Ez különösen igaz a gráfelméletre, amely az objektumok hálózatait és a köztük lévő kapcsolatokat vizsgálja. Íme egy kis rejtvény, amely segít megérteni, miért.
Ha adott a hat pont, a cél az, hogy vonalszakaszokkal kapcsolja össze őket úgy, hogy mindig legyen útvonal bármely pontpár között, és egyetlen útvonal sem haladja meg a két vonalszakaszt. Hagyja abba a görgetést egy pillanatra, és próbáljon meg megoldást találni.
Ha megoldottad, lefogadom, hogy van valami, ami így néz ki:
(kattints ide a válaszért)
Figyeljük meg, hogy ez valóban megfelel a rejtvény követelményeinek. Bármely két pont között van egy útvonal – amit a gráfelméletek csúcsnak neveznek –, és egyetlen út sem hosszabb két vonalszakasznál vagy élnél. (Megjegyzés: A rejtvényben és az egész oszlopban az útvonalak nem használhatják többször ugyanazt az élt.) Lehet, hogy a megoldás kissé eltérően néz ki, de ugyanazt az alapvető szerkezetet kapja, ami könnyebben belátható, ha kicsit mozgatod a csúcsokat.
Ennek a gráfelméleti „csillag” struktúrának egy központi csúcsa van, amely egyetlen élen keresztül kapcsolódik más csúcsok csoportjához, és nincs él a többi csúcs között. Ez a csillag nem csak a rejtvényünk megoldása; ez az egyetlen megoldás. (Ezt a rovat végén található gyakorlatokban is bebizonyíthatod.)
Ez a rejtvény azt szemlélteti, hogy a helyi korlátozások, mint például a 3 vagy annál hosszabb utak tiltása, néha globális struktúrákat, például a csillagot kényszeríthetnek ki ennek eredményeként. Az ilyen kapcsolatok kihasználása hatékony eszköz lehet a grafikonok és hálózatok megértéséhez, különösen akkor, ha bizonyos fontos struktúrákat keres.
Az egyik ilyen szerkezet a „klikk” – olyan csúcsok halmaza, ahol minden csúcs közvetlenül kapcsolódik minden másik csúcshoz egy éllel. A klikkek azért fontosak, mert azonosítják a maximális kapcsolódási és függőségi területeket. Például egy légitársasági útvonalak hálózatában a klikk városok csoportját képviseli, amelyek mindegyike közvetlen járatokkal kapcsolódik egymáshoz mindkét irányban. Ez erőt ad a hálózatnak, hiszen egyetlen járattal bármelyik várost elérheti, és ha egy útvonalat törölnek, akkor is viszonylag könnyen csatlakozhat bármely úti célhoz.
Ezzel szemben az „antiklikk” olyan csúcsok halmaza, ahol egyik sem kapcsolódik közvetlenül másokhoz. A repülési térképen ez olyan városok csoportját jelöli, amelyek között nincs közvetlen járatok. Lehet, hogy még el tudsz jutni A pontból B pontba egy antiklikkben, de közvetlenül nem. Először a csoporton kívülre kell utaznia, így az odajutás sokba kerül: időbe, pénzbe vagy általában véve a hatékonyságba. Bizonyos értelemben az antiklikkek azonosítják a maximális függetlenségű területeket a hálózatban, ezért ezeket független halmazoknak is nevezik. (Előfordulhat, hogy ezeket a készleteket másutt „kóklik”-ként vagy „stabil halmazként” is említik.)
A nagy klikkek vagy nagy független halmazok megtalálása, vagy akár csak a létezésük garantálása a gráfok és hálózatok elemzésének fontos részét képezi. És itt jön a képbe az Erdős-Hajnal sejtés. Ez azt mondja, hogy ha megtiltunk bizonyos lokális struktúrákat a gráfokban, akkor bizonyos globális struktúrák – különösen a viszonylag nagy klikkek vagy viszonylag nagy független halmazok – elkerülhetetlenek. Ez egy a sok nyitott kérdés közül Erdős Pálnak tulajdonítják, a híres matematikai nomád, aki beutazta a világot, és több ezer munkatársával megosztott kávét és sejtéseket. Ha az Erdős-Hajnal-sejtés helytálló, akkor olyan információkkal szolgál, amelyek segítségével a biológia, a logisztika és a számítástechnika tudósai még erősebb következtetéseket vonhatnak le hálózataik globális struktúráiról.
Valójában a látott Erdős-Hajnal sejtést már működés közben is láthattuk. Eredeti rejtvényünkben a csillagforma megkerülhetetlen volt, és mint kiderült, ez a forma nagy független készletet garantál. A csillag középpontjához kapcsolódó öt csúcsnak nincs más kapcsolata egymással. Ezt a független halmazt úgy láthatja, ha figyelmen kívül hagyja a központi csúcsot és a hozzá kapcsolódó éleket.
Figyelje meg, hogy ennek a független készletnek a létezése a hálózatunk egy sérülékenységére figyelmeztet. Ha ez egy repülési térkép lenne, és a központi város megközelíthetetlenné válna, senki sem tudna repülni sehova.
Rejtvényünkben a 3-as vagy annál hosszabb utak lokális szerkezetének tiltása garantálja az 5-ös méretű független halmazt. Ez a rejtvény azonban olyasmire támaszkodik, amire az Erdős-Hajnal-sejtés nem, nevezetesen arra, hogy bármely két csúcs között létezik út. Ez azt jelenti, hogy a gráfot „össze kell kötni”, és ez nem része az Erdős-Hajnal sejtésnek. Elkerülhetetlen egy nagy független halmaz, ha egy ilyen gráf nem feltétlenül kapcsolódik?
Hogy lássuk, elkerülhetjük-e a nagy független halmazt a gráfunkban, gondolkodjunk matematikusként, és kezdjük azzal, hogy figyelembe vesszük a szélsőséges eseteket. Ha nem kötelező mindent összekapcsolnunk, mi van, ha nem kötünk össze semmit?
Ha egyáltalán nem adunk hozzá éleket, akkor a lehető legnagyobb független halmazt kapjuk, mind a hat csúcsot. Valójában minden csúcs, amely nem kapcsolódik élhez, hozzáadható bármely meglévő független halmazhoz, hogy nagyobb legyen, így kisebb független halmazok létrehozásához valószínűleg azt szeretnénk, hogy minden csúcsnak legyen legalább egy éle. Mi a helyzet az ilyesmivel?
Ez a grafikon két részből áll, és egy 4-es méretű független halmazt kaphat, ha kiválasztja az egyes darabok végén található két csúcsot. Figyeljük meg, hogy a kiválasztott négy csúcs egyike sem kapcsolódik éllel a többihez sem, így független halmazt alkot.
Mi a helyzet egy ilyen grafikonnal?
Ez a grafikon három szétválasztott darabból áll, és egy 3-as méretű független halmazt kaphat, ha mindegyik darabból kiválaszt egy csúcsot.
Ez a legkisebb független halmaz, amit az adott feltételek mellett elérhetünk. Más szóval, egy hat csúcsú gráfban a 3-as hosszúságú utak tiltása olyan független halmazt garantál, amely legalább fele akkora, mint az eredeti gráf, ami gráfoknál elég nagy.
Valójában valami általánosabb dolog történik. Az általunk feltárt összes grafikonnak van egy fontos közös pontja: mindegyik csillaggyűjtemény!
A bal oldali gráf két, egyenként három csúcsú csillag, a jobb oldali gráf pedig három, egyenként két csúcsú csillag. Még az él nélküli gráfot is úgy tekinthetjük, mint egy-egy csúcsú hat csillagot. A szabály, amely megtiltja a 3-as hosszúságú útvonalakat, arra kényszeríti a gráfot, hogy csillagok gyűjteménye legyen, és ez igaz, akár hat, akár 600 csúcsgal kezdődik. Tehát amikor független halmazok kereséséről van szó, csak az a kérdés, hogy hány szétkapcsolt csillaggal fejeződik be. fel vele.
Általánosságban elmondható, hogy ha sok sztárral végződik, könnyű nagy független készletet szerezni. Mivel a csillagok nem kapcsolódnak egymáshoz, minden csillagból csak egy csúcsot választhatunk, így ez garantálja a legalább akkora független halmazt, mint ahány csillag. A fenti, jobb oldali példában a három 2-es méretű csillag mindegyikéből vehet egy-egy csúcsot, és létrehozhat egy független, 3-as méretű halmazt.
Másrészt, ha csak néhány csillagot kapunk, maguknak a csillagoknak elég nagyoknak kell lenniük ahhoz, hogy figyelembe vegyék az eredeti gráf összes csúcsát, és már láttuk, hogyan lehet viszonylag nagy független halmazt létrehozni egy csillagból. - csak vegyen mindent, kivéve a központi csúcsot. Például, ha egy gráf csak két csillagból áll, akkor az egyik csillag garantáltan tartalmazza az eredeti gráf csúcsainak legalább a felét, és ez egy független halmazt garantál, amely nagyjából fele akkora, mint az eredeti gráf. Példánkban még nagyobb független halmazt készíthetünk, ha a szétkapcsolt csillagokból származó független halmazokat kombináljuk. (Milyen kicsi lehet a lehető legnagyobb független halmaz? Erről bővebben a gyakorlatokban olvashat.)
Általánosságban elmondható, hogy egy olyan gráf esetében, amely csak szétválasztott csillagok gyűjteménye, egy nagy független halmaz elkerülhetetlen. A nagy csillagok nagy független halmazokat hoznak létre, de a kis csillagok sok csillagot jelentenek, amelyek szintén nagy független halmazokat hoznak létre. Ez a megközelítés nem csak a mi egyszerű példánkra működik. Azt is javasolja, hogyan kell kezelni egy bonyolultabb problémát.
Tegyük fel, hogy van egy grafikonja n csúcsokat, és a következő helyi korlátozást állítja be: Három csúcs nem kapcsolódhat egymáshoz. Ez olyan lenne, mint egy repülési térkép tervezése, amelynek konkrét célja a helyileg redundáns útvonalak minimalizálása. Ha el tud jutni A és B, valamint B és C között, akkor nem hozhat létre külön, közvetlen útvonalat A és C között.
Más szavakkal, nem létezhetnek 3-as méretű klikkek. Geometriai szempontból a gráf „háromszög nélküli”.
Kell egy háromszög nélküli gráfnak viszonylag nagy független halmaza? A válasz igen, és mint korábban, a titok a csillagokban rejlik. Megmutathatjuk, hogy egy háromszög nélküli gráf a n A csúcsoknak rendelkezniük kell egy független halmazzal, amely legalább nagyjából $latex sqrt{n}$ méretű, ami gráfelméleti szabványok szerint viszonylag nagy. Nézzük végig az érvelést, példaként a következő háromszög nélküli gráfot használva.
Kezdje azzal, hogy kiválaszt egy tetszőleges csúcsot a gráfban, és figyelembe veszi az összes szomszédját – a hozzá éllel kapcsolódó csúcsokat.
A választott csúcs egyik szomszédja sem kapcsolódik egymáshoz – mert ez egy háromszöget hozna létre, és ez egy háromszög nélküli gráf –, így minden csúcs és szomszédjai lényegében egy csillagot alkotnak.
Annak ellenére, hogy ez a csillag a gráf más csúcsaihoz kapcsolódik, tulajdonságait továbbra is felhasználhatjuk egy nagy független halmaz garantálására. A kulcs az, hogy alakítsunk ki egy csillagot, majd távolítsuk el azt és a hozzá csatlakozó összes élt.
Most keressen egy csillagot a fennmaradó grafikonon, és távolítsa el azt is.
Ebben a példában most két egyetlen csúcs marad – maguk az egycsúcsú csillagok –, és egy 4-es méretű független halmazt alkotunk a másik két talált csillag központi csúcsainak összeadásával. Mivel eredeti gráfunknak kilenc csúcsa van, és $latex sqrt{9}=3$, a 4-es méretű független halmazunk megfelel a sejtésünknek.
Ez az argumentum általában minden háromszög nélküli gráfra működik. A kulcs az, hogy csak addig keressük és távolítsuk el a csillagokat és a hozzájuk kapcsolódó éleket, amíg az összes csúcsot el nem számoljuk. Ha ezt megtette, csak számolja meg a csillagok számát.
Tegyük fel, hogy a végén k csillagok. Ha $latex k > sqrt{n}$, akkor önálló méretkészletet alkothat k úgy, hogy minden csillagról a központi csúcsot veszik. Ez azért működik, mert egyetlen két csillagból sem lehetett két központi csúcsot összekapcsolni egymással, mivel az az eredeti gráfban szomszédossá tette volna őket.
Ha $latex k < sqrt{n}$, akkor ez a kisebb csillagszám garantálja, hogy legalább az egyik csillagnak viszonylag nagynak kell lennie. Valójában legalább $latex sqrt{n}$ csúcsokkal kell rendelkeznie. Miért? Mert minden n között kell megtalálni a gráf csúcsait k csillagok. Ha az összes k a csillagok mindegyikének kevesebb, mint $latex sqrt{n}$ csúcsa volt, akkor a grafikon csúcsainak teljes száma kevesebb, mint $latex k-szorosa sqrt{n}$. De mivel $latex k < sqrt{n}$, ez azt jelenti, hogy a gráf csúcsainak teljes számának kevesebbnek kell lennie, mint $latex sqrt{n}-szor sqrt{n} = n$. Mivel tudjuk, hogy a grafikonnak van n csúcsok, a feltételezés, hogy a csillagok kicsik, néhány csúcsot figyelmen kívül hagy, ami azt jelenti, hogy legalább az egyik csillagnak legalább $latex sqrt{n}$ csúcsokkal kell rendelkeznie. A $latex sqrt{n}$ méretű csillag pedig garantálja a legalább $latex sqrt{n} -1$ méretű független készletet, ami nagyjából $latex sqrt{n}$. (A gráfelméleteket általában az érdekli, hogy mekkora egy részgráf az eredeti gráfmérethez képest, ezért a $latex sqrt{n}$ sokkal fontosabb, mint a $latex – 1$.)
Az eredeti példánkhoz hasonlóan ez a háromszög nélküli gráfokra vonatkozó eredmény is az Erdős-Hajnal sejtéshez kapcsolódik. Ha egy gráf háromszögmentes, akkor nem lehet 2-esnél nagyobb klikkje, mivel egy 3-as vagy nagyobb méretű klikkhez háromszögre lenne szükség. A háromszögek tiltása a nagy klikkek tiltását jelenti, és ez nagy független halmazok kialakulását kényszeríti ki, ahogy az Erdős-Hajnal sejtés is megjósolja.
A matematikusok mostanában sokkal többet bizonyítottak. Az Erdős-Hajnal sejtést minden olyan esetben bebizonyították, amikor a tiltott részgráf négy vagy annál kevesebb csúcsból áll (például négyzet vagy 4 hosszú út). 2021-ben pedig matematikusok egy csoportja bizonyított hogy ha egy gráf nem tartalmaz ötszöget – azaz öt csúcsot összekötő hurkot –, akkor ennek következtében szokatlanul nagy klikknek vagy szokatlanul nagy független halmaznak kell léteznie. Ez meglepte a matematikusok egy részét, akik bizonyították, mivel arra számítottak, hogy az Erdős-Hajnal-sejtés hamis ötszögekre. Ez egy másik meglepően erőteljes matematikai eredmény, amely a lokális gondolkodás és a globális cselekvés eredménye volt.
Bevezetés
Bevezetés
1. Tegyük fel, hogy a gráfban található legnagyobb független halmaz mérete 1. Mit tud mondani a gráfról?
Kattintson az 1-es válaszért:
Ez azt jelenti, hogy a gráfban minden lehetséges él létezik. Ebben az esetben maga a gráf egy klikk. Az ilyen gráfokat „teljes gráfoknak” nevezzük.
Bevezetés
2. Magyarázza meg, miért lehetetlen egy csillagon kívül mást is megjeleníteni egy összekapcsolt gráfban, amelynek nincs 3-as vagy hosszabb útvonala.
Kattintson az 2-es válaszért:
Ha csak egy csúcs van, az egy csillag, és kész. Ha két csúcs van, akkor azokat össze kell kapcsolni, így két csúcsú csillagot kell alkotni. Ha három csúcs van, akkor három lehetséges él létezhet közöttük. Adott feltételek mellett a három csúcsnak 2 hosszúságú utat kell alkotnia, így:
Ennek az az oka, hogy ha bármelyik él hiányzik, akkor a gráf nem lenne összekapcsolva, de ha hozzáadja a harmadik élt, akkor egy háromszöget hoz létre, amely 3 hosszúságú utat adna.
Ha vannak más csúcsok, hova kapcsolódhatnak? Csak a középső csúcsnak és a középső csúcsnak kell lennie. Az egyik végén lévő csúcshoz való csatlakozás azonnal 3 hosszúságú útvonalat hoz létre. Így az eredmény egy olyan csúcscsoport lesz, amelyeket egyetlen él köt össze egy központi csúcshoz. Más szóval egy sztár.
Bevezetés
3. Tegyük fel, hogy egy gráf n csúcsoknak nincs 3 hosszúságú útja. Mekkora független halmaz garantált egy ilyen gráfban?
Kattintson az 3-es válaszért:
If n páros, $latex frac{n}{2}$; ha n páratlan, $latex frac{n+1}{2}$. Más szavakkal, a $latex frac{n}{2}$ „plafonja”, a következővel írva: $latex lceil{frac{n}{2}}rceil$.
Azt már tudjuk, hogy egy ilyen gráfnak szétválasztott csillagok gyűjteményének kell lennie, és mivel a csillagok nem kapcsolódnak össze, mindig képezhetünk független halmazt az egyes csillagok független halmazainak kombinálásával. Azt is tudjuk, hogy minden csillag egy kivételével az összes csúcsát hozzá tudja adni egy független halmazhoz, pusztán a középpont eldobásával. Különösen, ha egy csillagnak van mérete m > 1, akkor hozzájárulhat m − 1 csúcsa független halmazhoz. A stratégia a készítés m − 1 a lehető legkisebb minden csillaghoz, és ehhez annyi kétcsúcsú csillagot kell készíteni, amennyit csak tud.
If n páros, akkor egy csomó párat kapsz, mint ez:
Független halmazt alkotsz úgy, hogy mindegyikből veszel egy csúcsot, így a csillagok számával megegyező méretű független halmazt kapsz: $latex frac{n}{2}$.
If n páratlan, akkor egy csúcs marad, amikor párosítja a csúcsokat.
Itt a független halmaz egy csúcs lesz a $latex frac{n-1}{2}$ párból, plusz a maradék csúcs egy független $latex frac{n-1}{2} + 1 = méretű halmazhoz frac{n+1}{2}$.
- SEO által támogatott tartalom és PR terjesztés. Erősödjön még ma.
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai. Erősítse meg magát. Hozzáférés itt.
- PlatoAiStream. Web3 Intelligence. Felerősített tudás. Hozzáférés itt.
- PlatoESG. Autóipar / elektromos járművek, Carbon, CleanTech, Energia, Környezet, Nap, Hulladékgazdálkodás. Hozzáférés itt.
- BlockOffsets. A környezetvédelmi ellentételezési tulajdon korszerűsítése. Hozzáférés itt.
- Forrás: https://www.quantamagazine.org/math-that-lets-you-think-locally-but-act-globally-20230721/
- :van
- :is
- :nem
- :ahol
- ][p
- $ UP
- 1
- 2021
- a
- Képes
- Rólunk
- felett
- Fiók
- Elérése
- törvény
- Akció
- tulajdonképpen
- hozzáadott
- hozzáadásával
- légitársaság
- Figyelmeztetések
- Minden termék
- megengedett
- már
- Is
- mindig
- között
- an
- elemzése
- és a
- Másik
- válasz
- bármilyen
- bármi
- bárhol
- megközelítés
- VANNAK
- területek
- érv
- körül
- AS
- feltevés
- At
- elkerülése érdekében
- BE
- lett
- mert
- óta
- előtt
- Tét
- között
- Nagy
- nagyobb
- Legnagyobb
- biológia
- Bit
- mindkét
- Csokor
- de
- by
- hívás
- jött
- TUD
- Kaphat
- eset
- esetek
- Központ
- központi
- bizonyos
- esély
- választás
- A pop-art design, négy időzóna kijelzése egyszerre és méretének arányai azok az érvek, amelyek a NeXtime Time Zones-t kiváló választássá teszik. Válassza a
- választott
- városok
- Város
- kettyenés
- klikk
- Kávé
- gyűjtemény
- gyűjtemény
- Oszlop
- kombinálása
- jön
- Közös
- bonyolult
- számítógép
- Computer Science
- Körülmények
- sejtés
- Csatlakozás
- összefüggő
- Csatlakozó
- kapcsolatok
- Connectivity
- összeköt
- Következmények
- figyelembe véve
- áll
- tartalmaz
- tartalmaz
- kontraszt
- contribuer
- Költség
- tudott
- teremt
- függőség
- tervezés
- rendeltetési hely
- különböző
- közvetlen
- közvetlenül
- szétkapcsolt
- számos
- do
- nem
- Nem
- csinált
- ne
- húz
- Csepegés
- minden
- könnyű
- könnyebb
- könnyű
- él
- hatékonyság
- bármelyik
- máshol
- felmerül
- végén
- vége
- elég
- egyenlő
- különösen
- alapvető
- lényegében
- Még
- Minden
- minden
- példa
- meghaladó
- létezik
- létezés
- létező
- létezik
- várható
- Magyarázza
- feltárt
- szélső
- tény
- hamis
- híres
- kevés
- kevesebb
- mező
- Fields
- Találjon
- megtalálása
- vezetéknév
- repülés
- Járatok
- következő
- A
- Kényszer
- erők
- forma
- formák
- talált
- négy
- ból ből
- általános
- általában
- kap
- szerzés
- Ad
- adott
- ad
- Globális
- globálisan
- cél
- megy
- grafikon
- grafikonok
- Csoport
- garancia
- Garantált
- garanciák
- kellett
- fél
- kéz
- fogantyú
- Legyen
- segít
- itt
- tart
- Hogyan
- How To
- azonban
- HTTPS
- i
- azonosítani
- if
- illusztrálja
- azonnal
- fontos
- szabhat
- lehetetlen
- in
- Más
- megközelíthetetlen
- valóban
- függetlenség
- független
- egyéni
- információ
- érdekelt
- IT
- ITS
- maga
- éppen
- Tart
- Kulcs
- Ismer
- ismert
- nagy
- nagyobb
- legnagyobb
- legkevésbé
- balra
- Maradék
- Hossz
- kevesebb
- Lets
- erőfölény
- fekszik
- élet
- mint
- vonal
- kis
- helyi
- helyileg
- logisztika
- hosszabb
- néz
- keres
- MEGJELENÉS
- Sok
- készült
- magazin
- csinál
- Gyártás
- sok
- térkép
- matematikai
- matematikai
- maximális
- Lehet..
- jelent
- eszközök
- Középső
- esetleg
- minimalizálása
- hiányzó
- pillanat
- pénz
- több
- mozog
- sok
- kell
- ugyanis
- szükségszerűen
- szomszédok
- hálózat
- hálózatok
- nem
- NOMAD
- Értesítés..
- Most
- szám
- objektumok
- of
- on
- egyszer
- ONE
- csak
- nyitva
- or
- eredeti
- Más
- Egyéb
- mi
- ki
- kívül
- felett
- pár
- párok
- rész
- különös
- ösvény
- Paul
- darab
- darabok
- Plató
- Platón adatintelligencia
- PlatoData
- plusz
- pont
- lehetséges
- erős
- jósolja
- szép
- valószínűleg
- Probléma
- gyárt
- ingatlanait
- Bizonyít
- bizonyított
- biztosít
- kirakós játék
- Quantamagazine
- kérdés
- Kérdések
- el
- ok
- nemrég
- említett
- összefüggő
- Kapcsolatok
- relatív
- viszonylag
- megmaradó
- eltávolítása
- eltávolítása
- jelentése
- szükség
- kötelező
- követelmények
- korlátozás
- korlátozások
- eredményez
- mutatják
- jobb
- nagyjából
- Útvonal
- útvonalak
- Szabály
- azonos
- azt mondják
- azt mondja,
- Tudomány
- tudósok
- görgetés
- Titkos
- lát
- látott
- szegmensek
- kiválasztása
- különálló
- készlet
- Szettek
- Alak
- megosztás
- előadás
- Egyszerű
- óta
- egyetlen
- SIX
- Méret
- kicsit más
- kicsi
- kisebb
- So
- megoldások
- néhány
- valami
- forrás
- négyzet
- szabványok
- csillag
- Csillag
- kezdet
- Még mindig
- megáll
- Stratégia
- erő
- erősebb
- struktúra
- tanulmányok
- részgráf
- ilyen
- javasolja,
- meglepődött
- Vesz
- bevétel
- feltételek
- mint
- hogy
- A
- A grafikon
- a világ
- azok
- Őket
- maguk
- akkor
- elmélet
- Ott.
- Ezek
- ők
- dolog
- Szerintem
- Gondolkodás
- Harmadik
- ezt
- bár?
- gondoltam
- ezer
- három
- Keresztül
- egész
- Így
- idő
- alkalommal
- nak nek
- is
- szerszám
- Végösszeg
- utazás
- utazott
- igaz
- megpróbál
- fordul
- kettő
- alatt
- megértés
- -ig
- us
- használ
- használt
- segítségével
- sebezhetőség
- akar
- volt
- Út..
- we
- webp
- voltak
- Mit
- amikor
- vajon
- ami
- WHO
- miért
- lesz
- val vel
- szavak
- Munka
- dolgozzanak ki
- művek
- világ
- lenne
- adna
- írott
- Igen
- így
- te
- A te
- zephyrnet