Mezők egyesítése, a matematikusok távolabbra lépnek a régi problémától | Quanta Magazin

A tervek változása egy kiránduláson történt. Tavaly áprilisban egy gyönyörű napon a matematikusok Rachel Greenfeld és a Sarah Peluse otthoni intézményükből, a New Jersey állambeli Princetonban található Institute for Advanced Study-ból indult útnak a New York állambeli Rochesterbe, ahol a tervek szerint mindketten másnap előadást tartanak.

Közel két éve küszködtek egy fontos sejtéssel a harmonikus analízisben, azon a területen, amely azt vizsgálja, hogyan lehet összetett jeleket komponensfrekvenciáikra bontani. Egy harmadik munkatárssal együtt Marina Iliopoulou, a probléma egy olyan változatát tanulmányozták, amelyben az összetevő-frekvenciák egy sík pontjaként vannak ábrázolva, amelyek egymástól való távolsága egész számokhoz kapcsolódik. A három kutató megpróbálta megmutatni, hogy nem lehet túl sok ilyen pont, de eddig minden technikájuk nem sikerült.

Úgy tűnt, forognak a kerekeik. Aztán Peluse-nek eszébe jutott: Mi lenne, ha eltekintenék a harmonikus elemzési feladattól – persze átmenetileg –, és olyan ponthalmazokra fordítanák a figyelmüket, amelyekben bármely két pont távolsága pontosan egy egész szám? Milyen lehetséges struktúrák lehetnek az ilyen halmazoknak? A matematikusok ősidők óta próbálják megérteni az egész távolsághalmazokat. Például a Pitagorasz-hármasok (például 3, 4 és 5) olyan derékszögű háromszögeket jelölnek, amelyek három csúcsa egész szám távolságra van egymástól.

„Azt hiszem, az autóban, mert Rachel csapdába esett velem, felhoztam” – mondta Peluse, aki jelenleg a Michigani Egyetem professzora. Az egész számú távolság megküzdésének ötlete felvillanyozta Greenfeldet.

Mielőtt észrevették volna, nem egy, hanem két irányváltásba kezdtek.

„Tulajdonképpen már nem figyeltünk arra, hogy merre tartunk, és nem szálltunk le a gyorsforgalmi útról” – mondta Peluse. „Rochesterrel ellenkező irányba mentünk, körülbelül egy órával azelőtt, hogy észrevettük volna, mert annyira izgatott voltunk a matematika miatt.”

1945-ben Norman Anning és Paul Erdős bizonyított hogy a síkban egymástól egész távolságra lévő pontok végtelen halmazának egy egyenesen kell feküdnie. Egy véges ponthalmaz esetében a lehetőségek kicsit változatosabbak. A matematikusok nagy halmazokat állítottak össze, amelyek egy vonalon vagy egy körön helyezkednek el, néha három-négy extra ponttal, amelyek a fő húzóerőn kívül esnek. (Maguknak a pontoknak nem kell egész koordinátákkal rendelkezniük – a kérdés a köztük lévő távolságra vonatkozik.)

Senki nem talált még nagy számú pontot bármilyen más konfigurációval, de senki sem bizonyította, hogy más konfigurációk lehetetlenek. Anning és Erdős eredménye óta eltelt közel 80 év alatt a téma gyakorlatilag nem fejlődött – egészen mostanáig.

Greenfeld, Iliopoulou és Peluse bizonyított hogy egy nagy egész távolsághalmaz összes pontjának – talán néhány kiugró pont kivételével – egyetlen egyenesen vagy körön kell feküdnie. "Ha egy nagy halmazt akarsz, ahol a páronkénti távolságok egész számok, akkor csak a körök és a vonalak játszanak szerepet" - mondta. Solymosi József a British Columbia Egyetemen. Eredményüket „fantasztikus megoldásnak” nevezte.

Az új megközelítés a matematika három különböző területéről származó ötleteket és technikákat alkalmaz: a kombinatorika, a számelmélet és az algebrai geometria. A különböző területek összekapcsolása „igazi pszichológiai áttörést jelenthet” – mondta Terence tao, a Los Angeles-i Kaliforniai Egyetem matematikusa.

Alex Iosevics, a Rochesteri Egyetem munkatársa egyetért. „Nagyon szilárd alapot fektettek le a problémák nagyon széles körére” – mondta. "Nincs kétségem afelől, hogy ez még mélyebb alkalmazásokat fog találni."

Az egyszerűség határai

Egy síkon belül könnyű kiválasztani a pontok végtelen halmazát, amelyek egymástól egész távolságra vannak – csak vegye a kedvenc egyenesét, képzeljen el egy számegyeneset rárakva, és használja az egész számoknak megfelelő pontok egy részét vagy mindegyikét. De ez az egyetlen módja annak, hogy végtelen egész távolságot állítsunk össze a síkban, ahogy Anning és Erdős rájött 1945-ben. Amint csak három pontja van, amelyek nem mind egy egyenesen vannak, a konfiguráció annyira korlátozott lesz, hogy az lehetetlen hogy végtelenül sok pontot adjunk hozzá.

Az ok az egyszerű geometriában rejlik. Képzeljük el, hogy két ponttal kezdjük, A-val és B-vel, amelyek egymástól egész távolságra vannak. Ha hozzá szeretne adni egy harmadik pontot, C-t, amely egész távolságra van A-tól és B-től is, de nem fekszik a rajtuk áthaladó egyenesen, akkor a sík legtöbb pontja nem fog működni. Az egyedüli életképes pontok speciális görbéken, úgynevezett hiperbolákon élnek, amelyek A és B közé vágnak. Ha A és B mondjuk 4 egységnyire van egymástól, akkor pontosan négy ilyen hiperbola van. (A hiperbolának általában két különálló része van, így például az alábbi ábrán látható két piros görbe egyetlen hiperbolát alkot.)

Miután kiválasztotta a C-t (amely ebben a példában 3 egység A-ból és 5 egység B-ből), alig van lehetősége több pont hozzáadására. Minden hozzáadható pontnak az A és B közötti hiperbolák egyikén kell lennie, vagy a rajtuk áthaladó egyenesen. De az A és C közötti hiperbolák egyikén, valamint a B és C közötti hiperbolák egyikén (vagy a megfelelő egyeneseken) is feküdnie kell – más szóval, új pont csak ott helyezhető el, ahol három hiperbola vagy egyenes metszi egymást (bár nem minden metszéspont működik). Kezdetben csak véges sok ilyen hiperbola és egyenes van, és két hiperbola (vagy egyenes) legfeljebb négy pontban metszi egymást. Így végül csak véges sok metszéspont közül választhat – nem építhet végtelen halmazt.

Amikor meg kell érteni, hogyan is néz ki az egész távolságpontok véges halmaza, a hiperbola megközelítés gyorsan nehézkessé válik. Ahogy hozzáadja a pontokat, meg kell küzdenie a növekvő számú hiperbolával. Például, mire a halmaznak már csak 10 pontja lesz, egy 11. hozzáadásával 10 új hiperbolacsalád jön létre – mind az új pont és a halmazban már szereplő pontok között. „Nem adhat hozzá sok pontot, mert eltéved azokban a hiperbolákban és kereszteződésekben” – mondta Greenfeld.

Tehát a matematikusok jobban kezelhető elveket kerestek olyan nagy egész számú távolságponthalmazok létrehozására, amelyek nem fekszenek egy egyenesen. De csak egy megközelítést tudtak kitalálni: Tedd körbe a pontjaidat. Ha egy egész szám távolságot szeretne beállítani, mondjuk egy billió ponttal, akkor van mód arra, hogy egy billió pontot hozzon létre egy 1 sugarú körön, amelyek távolsága töredék. Ezután felfújhatja a kört, amíg az összes törttávolság egész számmá változik. Minél több pontot szeretne a halmazban, annál többet kell felfújnia a kört.

Az évek során a matematikusok csak valamivel egzotikusabb példákkal álltak elő. Képesek olyan nagy egész távolsághalmazokat alkotni, amelyekben négy kivételével minden pont egy egyenesen, vagy három kivételével mindegyik egy körön található. Sok matematikus azt gyanítja, hogy ezek az egyetlen olyan nagy egész távolsághalmazok, amelyekben nem minden pont van egy egyenesen vagy egy körön. Ezt biztosan tudni fogják, ha valaha is be tudnak bizonyítani valamit, amit Bombieri-Lang sejtésnek hívnak. A matematikusok azonban megosztottak abban, hogy ez a sejtés valószínűleg igaz-e.

Anning és Erdős 1945-ös munkája óta a matematikusok alig haladtak előre az egész távolsághalmazok megértésében. Idővel úgy tűnt, hogy az egész távolság probléma csatlakozik a kombinatorika, a számelmélet és a geometria egyéb problémáihoz, amelyeket egyszerű megfogalmazni, de látszólag lehetetlen megoldani. „Ez annak mértéke, hogy mennyire szánalmas a matematikánk” – mondta Tao.

Bizonyos értelemben az egész távolság probléma saját korai sikereinek áldozata volt. A hiperbola-bizonyítás a maga zseniális egyszerűségével jelképezi annak a filozófiának, amelyet Erdős, a nagy befolyású matematikus vallott, aki gyakran beszélt „A könyvről” – a matematika legelegánsabb bizonyításainak elképzelt kötetéről. Iosevich szerint az egyszerűség kultúrája, amelyet Erdős hirdetett, „iszonyatos eredményekhez” vezetett a kombinatorikus geometriában. De vakfoltokhoz is vezethet – ebben az esetben körülbelül az algebrai geometriából származó megközelítések behozatalának értéke.

„Nem hiszem, hogy az elmúlt 50 évben olyan eredményt fog találni [az algebrai geometriában], amely az elmúlt XNUMX évben bizonyított volna, és amely technikailag nem túl bonyolult és zavaros” – mondta Iosevich. – Néha azonban a dolgoknak így kell lenniük.

Utólag visszatekintve, az egész távolság-probléma olyan matematikusokra várt, akik hajlandóak voltak a hiperboláknál rakoncátlanabb görbéket figyelembe venni, majd az algebrai geometriából és a számelméletből származó, zökkenőmentes eszközöket használni megszelídíteni őket. „Ehhez kellő tudású és érdeklődésű emberekre volt szükség” – mondta Iosevics.

Azt mondta, a legtöbb matematikus megelégszik azzal, hogy egész karrierje során néhány eszközt használ a matematika egyik sarkában. De Greenfeld, Iliopoulou és Peluse rettenthetetlen felfedezők, mondta Iosevich. "A matematikát koherens egésznek tekintik."

A probléma bonyolultsága

2021 nyarán Greenfeld úgy döntött, hogy itt az ideje, hogy kiszúrja a harmonikus elemzésből származó problémát, amelyen a diploma megszerzése óta töprengett. A klasszikus harmonikus analízis, amely a való világban a jelfeldolgozás alapját képezi, a jelek különböző frekvenciájú és fázisú szinuszhullámokra bontásáról szól. Ez a folyamat azért működik, mert lehetséges végtelen listát készíteni a szinuszhullámokról, amelyek kombinálva bármilyen jel összes jellemzőjét rögzítik, redundancia nélkül.

Gyakran azonban a kutatók valami bonyolultabbat szeretnének tanulmányozni, mint egy egydimenziós jel. Például előfordulhat, hogy a síkban lévő lemezen lévő jelet fel akarják bontani. De a lemez csak kompatibilis szinuszhullámok véges gyűjteményét képes befogadni – túl kevés ahhoz, hogy a lemezen lévő összes lehetséges jel viselkedését rögzítse. Felmerül a kérdés: mekkora lehet ez a véges gyűjtemény?

Egy ilyen gyűjteményben a szinuszok frekvenciái a síkban olyan pontokként ábrázolhatók, amelyek úgy tűnik, idegenkednek a vonalak és körök csoportosításától: soha nem találsz három pontot, amelyek mind közel vannak ugyanahhoz az egyeneshez, vagy négyet, amelyek mind közel vannak. ugyanarra a körre. Greenfeld azt remélte, hogy ezzel az idegenkedéssel bebizonyítja, hogy ezek a frekvenciakészletek csak néhány pontot tartalmazhatnak.

A Bonni Egyetem 2021-es találkozóján Greenfeld részt vett egy előadáson a „determináns módszerről”, egy számelméleti technikáról, amellyel meg lehet becsülni, hogy bizonyos típusokból hány egész pont lehet a görbéken. Rájött, hogy erre az eszközre lehet, amire szüksége van. Greenfeld beszervezte Iliopoulout és Peluset, akik szintén részt vettek a találkozón. „Együtt kezdtük el tanulni ezt a módszert” – mondta Greenfeld.

A sok erőfeszítés ellenére azonban úgy tűnik, nem tudták céljukhoz igazítani a meghatározó módszert, és 2023 tavaszára már elcsüggedtek. Iosevics meghívta Greenfeldet és Peluset, hogy vezessenek Rochesterbe látogatásra. „Tehát arra gondoltunk, hogy „Rendben, elmegyünk Rochesterbe, és Alex-szel való beszélgetés felfrissít bennünket” – mondta Peluse. De mint kiderült, Rochesterben már felfrissülve értek földet, köszönhetően annak, hogy a pennsylvaniai Susquehanna folyó melletti, nem tervezett kitérőjük során az egész számokat tartalmazó távolsághalmazok megvitatták.

Túl későn érkeztek egy tervezett vacsorához Iosevich-csal, de a szálloda halljában várakoztak, zsákokkal elvitelre. Megbocsátotta késésüket – és több volt, mint megbocsátó másnap reggel, amikor elmondták neki, hogy egész számú távolsághalmazokkal foglalkoznak. „Annyira izgatott volt” – emlékezett vissza Peluse. „Érzelmileg ez hatalmas lökést adott.”

A hiperbola-megközelítéshez hasonlóan Greenfeld, Iliopoulou és Peluse is megpróbálta szabályozni az egész távolsághalmazok szerkezetét olyan görbecsaládok azonosításával, amelyeken a pontoknak feküdniük kell. A hiperbola módszer kezd túl bonyolulttá válni, amint néhány pontnál több van, de Greenfeld, Iliopoulou és Peluse rájöttek, hogyan kell egyszerre több pontot figyelembe venni úgy, hogy a teljes konfigurációt egy magasabb dimenziós térbe helyezik át.

Ha látni szeretné, hogyan működik ez, tegyük fel, hogy egy „referencia” A ponttal kezdi az egész távolságkészletben. A halmaz minden más pontja egész távolságra van A-tól. A pontok egy síkban élnek, de a síkot háromdimenziós térbe ütköztetheti, ha minden pontra felvesz egy harmadik koordinátát, amelynek értéke az A-tól való távolság. Például , tegyük fel, hogy A az (1, 3) pont. Ekkor az A-tól 4 egységnyire lévő (7, 5) pont a (4, 7, 5) ponttá változik a háromdimenziós térben. Ez a folyamat a síkot egy háromdimenziós térben kúppal alakítja át, amelynek csúcsa az A pontban helyezkedik el, most (1, 3, 0) címkével. Az egész távolságpontok a háromdimenziós térben olyan pontokká válnak, amelyek a kúpon és egy bizonyos rácson helyezkednek el.

Hasonlóképpen, ha két referenciapontot, A-t és B-t választ, a síkban lévő pontokat négydimenziós térbeli pontokká alakíthatja át – csak adjon meg minden pontnak két új koordinátát, amelyek értéke az A-tól és B-től való távolsága. Ez a folyamat átalakítja a síkot. görbe felületbe a négydimenziós térben. Továbbra is hozzáadhat további referenciapontokat ezen a módon. Minden új referenciaponttal a dimenzió eggyel nő, és a sík egy még ingadozóbb felületre (vagy ahogy a matematikusok mondják, egy magasabb fokú felületre) kerül leképezésre.

Ezzel a kerettel a kutatók a számelmélet determináns módszerét alkalmazták. A determinánsok olyan számok, amelyeket általában mátrixokkal társítanak, amelyek egy sor geometriai tulajdonságot rögzítenek egy pontgyűjteményben – például egy adott determináns mérheti a három pont által alkotott háromszög területét. A determináns módszer lehetőséget kínál arra, hogy ilyen determinánsokat használjunk azon pontok számának becslésére, amelyek egyidejűleg fekszenek egy ingadozó felületen és egy rácson – pontosan olyan helyzettel, amilyenekkel Greenfeld, Iliopoulou és Peluse foglalkozott.

A kutatók egy determináns módszeren alapuló munkasort alkalmaztak annak kimutatására, hogy amikor megfelelő nagy dimenzióra ütik be az egész távolságot, a pontoknak kis számú speciális görbén kell feküdniük. Ezek a görbék, amikor az árnyékaik a síkban nem egyenesek vagy körök, nem tartalmazhatnak sok rácspontot, amelyek az egész távolsághalmaz pontjainak egyetlen jelöltjei. Ez azt jelenti, hogy a halmaz azon pontjainak száma, amelyek a fő vonaltól vagy körtől elhelyezkedhetnek, korlátozott – a kutatók kimutatták, hogy ennek kisebbnek kell lennie, mint a halmaz átmérőjének nagyon lassan növekvő függvénye.

A korlátjuk nem éri el a „négy pont az egyenestől vagy három pont a körtől” feltételezés színvonalát, amelyről sok matematikus úgy gondolja, hogy nagy egész távolsághalmazokra igaz. Ennek ellenére az eredmény azt mutatja, hogy „a sejtés lényege igaz” – mondta Jacob Fox, a Stanford Egyetem munkatársa. A sejtés teljes bizonyítása valószínűleg újabb ötleteket igényel, mondták a matematikusok.

A csapat nagydimenziós kódolási sémája „rendkívül robusztus” – mondta Iosevich. „Nem csak elvben léteznek alkalmazások – vannak olyan alkalmazások, amelyeken már gondolkodom.”

Greenfeld, Iliopoulou és Peluse reményei szerint az egyik alkalmazás az eredeti harmonikus elemzési problémára vonatkozik, amelyhez most hárman visszatérnek. Az egész számú távolsághalmazokon elért eredményük „ugródeszka lehet ebbe” – mondta Greenfeld.

A kombinatorika és az algebrai geometria szintézise, ​​amelyet a kutatók kezdeményeztek, nem fog leállni egész számú távolsághalmazokkal vagy rokon problémákkal a harmonikus elemzésben, jósolta Iosevich. „Úgy gondolom, hogy amit látunk, az egy koncepcionális áttörés” – mondta. "Ez azt üzeni az embereknek mindkét területen, hogy ez egy nagyon produktív interakció."

Azt is üzeni, hogy érdemes néha bonyolultabbá tenni a problémát – mondta Tao. A matematikusok általában az ellenkezőjére törekednek – jegyezte meg. "De ez egy példa arra, hogy a probléma bonyolultabbá tétele valójában a helyes lépés."

Az előrelépés megváltoztatta a magas fokú görbékről alkotott véleményét, mondta. "Néha a barátaid lehetnek, és nem az ellenségeid."