Pierre de Fermat linkje egy középiskolás diák elsőszámú matematikai bizonyításához | Quanta Magazin

Sok matematikus diákhoz hasonlóan én is a matematikai nagyszerűségről álmodoztam. Egyszer azt hittem, közel vagyok. Az egyetemen egy nehéz algebrai probléma miatt dolgoztam késő éjszakáig. Órákig tartó küzdelem után éreztem, hogy közeleg az áttörés. Ügyesen manipuláltam a kifejezéseket. Számoltam, szoroztam és egyszerűsítettem, míg végül felfedezésem feltárult:

$latex 1 + 1 = 2 $.

Nem tudtam nem nevetni. A világ már tudta, hogy $latex 1 + 1 = 2$, tehát a „Honner-tétel” nem volt így. És bár sok fiatal matematikus megtapasztalta a nem egészen áttörést, a figyelemre méltó Daniel Larsen története életben tartja az álmot.

Larsen középiskolás diák volt 2022-ben, amikor olyan eredményt mutatott be, amely egy bizonyos típusú számra vonatkozott, amely évtizedekig elkerülte a matematikusokat. Bebizonyította, hogy a Carmichael-számok – a nem egészen prímszámok furcsa fajtája – a korábban ismertnél gyakrabban találhatók meg, és egy új tételt állított fel, amely örökre a munkájához kapcsolódik. Tehát mik azok a Carmichael-számok? Ennek megválaszolásához vissza kell mennünk az időben.

Pierre de Fermat nevét a matematika egyik leghíresebb tétele tartalmazza. Fermat utolsó tétele több mint 300 éven át az elérhetetlen matematikai nagyság végső szimbóluma volt. Az 1600-as években Fermat felírt egy megjegyzést az általa javasolt tételről egy könyvbe, amelyet olvasott, és azt állította, hogy tudja, hogyan bizonyíthatja ezt anélkül, hogy részleteket közölt volna. A matematikusok egészen az 1990-es évekig megpróbálták maguk megoldani a problémát, amikor is Andrew Wiles végül bebizonyította, hogy ezt Fermat halála után több száz évvel fedezték fel új technikákkal.

De ez Fermat kevésbé híres „kis tétele”, amely a Carmichael-számokhoz kapcsolódik. Íme egy módja annak, hogy kijelentse:

Adott egy $latex p$ prímszám, akkor bármely $latex a$ egész számra a $latex a^p – a$ mennyiség osztható $latex p$-val.

Például vegyük a $latex p = 11$ prímszámot és a $latex a = 2$ egész számot. Fermat kis tétele azt mondja, hogy $latex 2^{11} – 2 = 2046$ osztható 11-gyel, és ez: $latex 2046 div 11 = 186$. Vagy vegyük $latex p = 7$ és $latex a = 4$: $latex 4^7 – 4 = 16380 = 7-szer 2340 $, tehát a $latex 4^7 – 4$ valóban osztható 7-tel.

Ellentétben Fermat utolsó tételével, nem kellett 300 év a kis tétel megoldásához. Leonhard Euler alig egy évszázaddal később tett közzé egy bizonyítékot. És mivel prímszámokról van szó, az emberek megtalálták a módját a használatának.

Fermat kis tételének egyik módja annak bemutatása, hogy egy szám nem prímszám. Tegyük fel, hogy azon töpreng, hogy a 21 prím-e vagy sem. Ha 21 prím lenne, akkor Fermat kis tétele szerint bármely $latex a$ egészhez a $latex a^{21}$ – $latex a$ osztható 21-gyel. De ha kipróbálod a $ néhány értékét latex a$ látod, hogy ez nem működik. Például $latex 2^{21} – 2 = 2097150$, ami nem többszöröse a 21-nek. Ezért, mivel nem felel meg Fermat kis tételének, a 21 nem lehet prím.

Ez ostoba módszernek tűnhet annak ellenőrzésére, hogy egy szám prímszámú-e. Hiszen tudjuk, hogy $latex 21 = 3-szor 7$. De annak ellenőrzése, hogy a nagy számok prímszámok-e, időigényes és fontos feladat a modern matematikában, ezért a matematikusok mindig gyorsbillentyűket keresnek. Ebből a célból a matematikusok azon töprengtek, vajon igaz lehet-e Fermat kis tételének megfordítása.

Mi a tétel fordítottja? Emlékezhetsz matematikaóráról, hogy egy tételt felfoghatunk úgy, mint egy „ha P akkor Q.” Egy tétel azt mondja, hogy ha a P rész (az előzmény vagy hipotézis) igaz, akkor a Q résznek (a következménynek vagy következtetésnek) is igaznak kell lennie. A tétel fordítottja az az állítás, amelyet akkor kapunk, amikor az előzményt és a következményt váltjuk. Tehát a „Ha P akkor Q” a „Ha Q akkor P. "

Nézzük a Pitagorasz-tételt. Gyakran azt mondják, hogy $latex a^2 + b^2 = c^2$. De ez nem egészen helyes. A Pitagorasz-tétel valójában egy feltételes állítás: Azt mondja, hogy ha egy derékszögű háromszögnek $latex a$, $latex b$ és $latex c$ oldalhossza van, ahol a $latex c$ a hipotenusz hossza, akkor $latex a ^2 + b^2 = c^2$. Tehát mi ennek a fordítottja? Azt mondja, hogy ha egy háromszög $latex a$, $latex b$ és $latex c$ oldalhosszúsága kielégíti a $latex a^2 + b^2 = c^2$ egyenletet, akkor ez derékszögű háromszög.

Csábító azt gondolni, hogy egy tétel fordítottja mindig igaz, és sok diák beleesett ebbe a csapdába. A Pitagorasz-tétel megfordítása történetesen igaz, ami arra enged következtetni, hogy a 9, 40 és 41 oldalhosszúságú háromszögnek derékszögű háromszögnek kell lennie, mivel $latex 9^2 + 40^2 = 41^2$. De egy igaz állítás fordítottjának nem kell igaznak lennie: például igaz, hogy ha $latex x$ pozitív szám, akkor $latex x^2$ pozitív, akkor fordítva - ha $latex x^2$ pozitív szám, akkor a $latex x$ pozitív — nem, mivel a $latex (-1)^2$ pozitív, de a −1 maga nem.

Jó matematikai gyakorlat egy állítás fordítottjának feltárása, és a primalitásteszteket kereső matematikusok tudni akarták, hogy Fermat kis tételének megfordítása igaz-e. Ennek fordítottja azt mondja, hogy ha adott egy $latex q$ egész szám, ha a $latex a^q – a$ szám osztható $latex q$-val bármely $latex a$ esetén, akkor a $latex q$ prímszámnak kell lennie. Ha ez igaz lenne, akkor elkerülné azt a számítási munkát, amely annak ellenőrzésére irányul, hogy a $latex q$ osztható-e 1-től és önmagától eltérő számokkal. Ahogy az a matematikában gyakran megtörténik, ez az egy kérdés új kérdésekhez vezetett, amelyek végül néhány új matematikai elképzeléshez vezettek.

Amikor elkezdi feltárni Fermat kis tételének fordítottját, rá fog jönni, hogy ez sok számra igaz. Például bármely $latex a$ egész szám esetén a $latex a^2 – a$ szám osztható 2-vel. Ezt úgy láthatja, hogy az $latex a^2 – a$ értéket $latex a-szor (a-1) számolja. $. Mivel a és $latex a − 1$ egymást követő egész számok, az egyiknek párosnak kell lennie, így a szorzatuknak oszthatónak kell lennie 2-vel.

Hasonló érvek azt mutatják, hogy az $latex a^3 – a$ mindig osztható 3-mal, az $latex a^5 – a$ pedig mindig osztható 5-tel (további részletekért lásd az alábbi gyakorlatokat). Tehát Fermat kis tételének megfordítása 3-ra és 5-re érvényes. Az ellenkezője elmondja, mit várunk kis nem prímszámok esetén is. Ha azt használjuk, hogy ellenőrizzük, hogy 4 prím-e vagy sem, akkor kiszámoljuk a $latex 2^4 – 2$ értékét, és megfigyeljük, hogy a 14 nem osztható 4-gyel.

Valójában egészen az 561-es számig ellenőrizheti, és minden arra mutat, hogy Fermat kis tétele igaz. Az 561-nél kisebb prímszámok mindegyikre osztják a $latex a^p – a$-t a, és az 561-nél kisebb nem prímszámok nem. Ez azonban megváltozik 561-nél. Kissé fejlett számelmélettel kimutatható, hogy az $latex a^{561} – a$ mindig osztható 561-gyel, tehát ha Fermat kis tételének megfordítása igaz lenne, akkor 561-nek prímnek kell lennie. . De nem az: $latex 561 = 3 × 11 × 17 $. Tehát Fermat kis tételének megfordítása hamis.

A matematikusok az 561-hez hasonló számokat „pszeudoprímnek” nevezik, mert eleget tesznek néhány, a prímszámhoz kapcsolódó feltételnek (például $latex a^p – a$ elosztása mindenre a), de valójában nem prímszámok. További ellenpéldákat találtak Fermat kis tételének megfordítására – a következő három 1,105, 1,729 és 2,465. Ezek Carmichael-számok lettek, amelyeket Robert Carmichael amerikai matematikusról neveztek el. Miután felfedezték őket, új kérdések merültek fel: Vannak-e más módszerek a Carmichael-számok azonosítására? Van más különleges tulajdonságuk? Végtelenül sok van belőlük? Ha igen, milyen gyakran fordulnak elő?

Ez az utolsó kérdés volt az, amely végül felkeltette Daniel Larsen figyelmét. A matematikusok bebizonyították, hogy valóban végtelenül sok Carmichael-szám létezik, de ennek kimutatásához egymástól nagyon távol lévő Carmichael-számokat kellett megszerkeszteniük. Ezzel nyitva maradt a kérdés, hogy ez a végtelenül sok Carmichael-szám hogyan oszlik el a számegyenesen. Természetüknél fogva mindig távol állnak egymástól, vagy előfordulhat, hogy nagyobb gyakorisággal és rendszerességgel fordulnak elő, mint amennyit ez a kezdeti bizonyíték mutatott?

Az álprímekkel kapcsolatos ilyen kérdések a prímszámokkal kapcsolatos hasonló és fontos kérdésekre emlékeztetnek. Kétezer évvel ezelőtt Eukleidész bebizonyította, hogy végtelenül sok prímszám létezik, de sokkal tovább tartott, amíg megértették, hogyan oszlanak el a prímek a számegyenesen. Az 1800-as években Bertrand posztulátuma azt mutatta, hogy minden $latex n > 3$ esetén mindig van egy prímszám $latex n$ és $latex 2n$ között. Ez némi képet ad arról, hogy milyen gyakran számíthatunk prímszámokra, amikor a számegyenesen haladunk.

A matematikusok azon töprengtek, hogy Bertrand posztulátumának valamely változata igaz-e a Carmichael-számokra. Daniel Larsen is csodálkozott, és néhány híres modern matematikus – a Fields-érmesek – munkájára építve James Maynard és Terence Tao, többek között - megfordította a kíváncsiságát egy új eredményt a Carmichael-számok elosztásáról. És bár a fiatal matematikusoknak valószínűleg nem kellene ennyi eredményt elérniük a ma esti házi feladat elvégzése során, Daniel Larsen kemény munkája, kitartása és sikere arra ösztönzi őket, hogy előretörjenek, még akkor is, ha újra bebizonyítani valamit, amit már tudunk.

Ünnepély

1. Használja a faktoringot annak kimutatására, hogy ha $latex a$ természetes szám, akkor $latex a^3 – a$ mindig osztható 3-mal.

2. A „Ha egy négyszög téglalap, akkor a négyszög átlói egybevágóak” állítás igaz. Ez fordítva igaz?

3. Mutassuk meg, hogy ha $latex a$ természetes szám, akkor a $latex a^5 – a$ szám mindig osztható 5-tel.