A trükkös matematikai burkolás rövid története | Quanta Magazin

Nap mint nap látunk példákat ismétlődő motívumokra. Ez a szimmetria és szabályszerűség hétköznapinak és szinte láthatatlannak tűnhet, mint az épületfalak téglafalazatánál vagy a méhsejt hatszögletű mintázatánál. Vagy ha olyan szerencsések vagyunk, hogy találkozunk valami olyasmivel, mint a spanyol Alhambra elegáns csempéivel vagy MC Escher kreatív rajzaival, a minták inspirálhatnak és lenyűgözhetnek bennünket.

A matematikusok évszázadok óta játszottak ezekkel az ismétlődő alakzatokkal, lenyűgöző meglátásokat és újszerű lehetőségeket fakasztva belőlük. A matematika szépsége vetekszik maguknak a terveknek a szépségével.

A legegyszerűbb burkolólapok azonos sokszögekből készülnek, amelyek oldalai egyenlő hosszúak és azonos szögűek, és a teljes éltől a teljes élig össze vannak kötve. De bár végtelenül sok ilyen „szabályos” sokszög létezik – minden oldalhoz egy-egy –, csak három szabályos burkolólap létezik, amelyek három, négy vagy hat oldalú formákból vannak kialakítva – azaz háromszögekből, négyzetekből és hatszögekből.

A többi forma egyszerűen nem erre készült. Egy szabályos ötszög (öt oldallal) belső szöge 108 fok. Ez nem oszlik egyenletesen 360 fokra, így minden olyan próbálkozás, amely szabályos ötszögeket csempévé alakít ki, olyan hézagokat eredményez, amelyeket nem lehet kitölteni; azt mondjuk, hogy a szabályos ötszög nem tudja csempézni a síkot. A hatnál több oldallal rendelkező szabályos sokszögek belső szögei túl nagyok ahhoz, hogy három egy pontban találkozhasson, és így ezek sem lehetnek.

A szabályos sokszögekkel való burkolással kapcsolatos másik megközelítés Johannes Keplertől származik, aki ma leginkább a bolygómozgással kapcsolatos felfedezéseiről ismert. 1619-ben megmutatta, hogy még ha egynél több szabályos sokszöget használ is, csak nyolc új csempézett mintát hozhat létre, ahol az egyes csúcsok körüli konfiguráció azonos. (Ha megengedjük, hogy eltérjünk ettől a korlátozástól, több lehetőség adódik.)

Ha engedélyezzük a szabálytalan sokszögeket, a dolgok érdekesebbé válnak. Meglepő módon minden háromszög be tudja burkolni a síkot, és ami még meglepőbb, minden négyszög is.

Másrészt lehetetlen a síkot hat oldalnál több konvex sokszöggel csempézni; a belső szögek összege túl nagy. Így csak az ötszögek és a hatszögek maradnak hátra lehetőségként.

Karl Reinhardt 1918-as doktori disszertációjában bebizonyította, hogy a síkot végtelenül sok konvex hatszöggel lehet csempézni – amelyek nincsenek bemélyedve –, amelyeket három családba csoportosított.

A síkot burkoló domború ötszögeket bonyolultabb volt besorolni. Reinhardt öt ilyen ötszög családot fedezett fel; 50 évvel később Richard Kershner további hármat talált. Aztán 1975-ben Martin Gardner írt a problémáról Scientific American, felhívva a profi és amatőr matematikusok figyelmét egyaránt. Az egyik ilyen amatőr, egy Richard James III nevű számítógép-programozó, egy kilencedik család példáját küldött Gardnernek, és megkérdezte: „Egyetért-e Ön azzal, hogy Kershner kihagyta ezt?” Neki volt.

Marjorie Rice, egy háziasszony szintén elolvasta Gardner rovatát, és a konyhaasztalánál elkezdett fejtörődni a problémán. Több mint két évig bütykölt, és felfedezte még négy család a csempézés ötszög.

A kutatók 14-ben találtak egy 1985. csempézett ötszög családot, majd három évtizeddel később egy másik csapat számítógépes keresés segítségével talált rá a 15. családra. Senki sem tudta, hogy ez a felfedezés kiegészíti-e a listát, vagy még több család rejtőzködik. Erre a kérdésre 2017-ben válaszolt, amikor Michaël Rao bizonyított hogy minden domború burkoló ötszöget – és velük együtt az összes konvex burkoló sokszöget – megtalálták.

Mindezek a csempézések ismétlődnek. Vagyis periódusos szimmetriával rendelkeznek, ami alapvetően azt jelenti, hogy ha egy papírlapon nyomon követnénk a csempét, és azt a papírt bizonyos irányokba csúsztatnánk, akkor ismét pontosan egy vonalba kerülne a csempézettel.

Más típusú szimmetriák is lehetségesek. Például a tükörszimmetria azt jelenti, hogy a mintáink egy vonalba kerülnek, ha a pauszpapírunkat fejjel lefelé fordítjuk egy rögzített vonal körül. A forgásszimmetria azt jelenti, hogy egy vonalba kerülnek, ha elforgatjuk a papírunkat. A műveleteket pedig kombinálhatjuk, hogy siklástükrözési szimmetriát kapjunk, ami olyan, mintha elcsúsztatnánk a papírt, majd megfordítanánk.

1891-ben Evgraf Fedorov orosz krisztallográfus bebizonyította, hogy ezek a szimmetriák csak 17 módon kombinálhatók. Mivel ez a korlátozás a repülőgép minden időszakos díszítésére vonatkozik, ezeket széles körben 17 „tapétacsoportnak” nevezik.

Ha valaki ismeri a szimmetriaminták e besorolását, szinte lehetetlen látni egy időszakos tervezést, bármilyen bonyolult is, és ne tekintse azt dekódolandó rejtvénynek: pontosan hol és hogyan ismétlődik? Hol vannak ezek a szimmetriák?

Természetesen nem minden burkolólap tervezés időszakos. Lehetséges, és gyakran egyszerű is, a lapokat a síkban elhelyezni úgy, hogy az így létrejövő kialakítás soha ne ismétlődjön meg. A hatszögekkel, négyzetekkel és háromszögekkel rendelkező példánkban ezt úgy teheti meg, hogy egyetlen hatszöget és az azt körülvevő sokszögeket 30 fokkal elforgatja. A kapott csempézésnek már nincs transzlációs szimmetriája.

1961-ben Hao Wang logikus úgy sejtette, hogy ha egy alakzatkészlet csempézi a síkot, akkor az alakzatoknak képesnek kell lenniük a síkot időszakonként csempézni. Alig néhány évvel később végzős hallgatója, Robert Berger bebizonyította, hogy tévedett, amikor felfedezett egy hatalmas, több mint 20,000 XNUMX lapkából álló készletet, amelyek a síkot burkolják, de csak nem időszakosan. Az ilyen csempekészleteket időszakosnak nevezik.

Bár Berger és mások jelentősen le tudták csökkenteni ezeknek a periódusos készleteknek a méretét, az 1970-es évek közepén Roger Penrose felkeltette a világ figyelmét azzal, hogy felfedezte saját periodikus lapkáinak nagyon kicsi készleteit. A legkisebb készletekhez mindössze két lapra van szükség.

Ezek a formák és minták lenyűgözték a matematikusokat, a tudósokat és a nagyközönséget. De feltettek egy nyilvánvaló következő kérdést: létezik-e egyetlen időszakos csempe? A csempézéselmélet végső célja most egy ilyen „einstein” lapka megtalálása volt – nem a fizikusról, hanem a német „egy kő” kifejezésről nevezték el.

2010-ben Joshua Socolar és Joan Taylor nagyon közel került egy einstein felfedezéséhez. A probléma a megközelítésükkel az volt a csempéjüket le kellett választani; ez olyan lenne, mintha a síkot olyan alakzatokkal burkolnánk, mint Hawai'i állam, egyetlen egység, amely külön régiókból áll, nem pedig összekapcsolt alakzatokkal, mint például Kalifornia. A matematikusok egyre gyakrabban gyanították, hogy ha létezne egy einstein, akkor annak geometriailag nagyon bonyolultnak kell lennie.

2023 márciusában egy amatőr ismét sokkolta a világot. Egy nyugdíjas nyomdatechnikus és matematikus hobbi, David Smith nemcsak egy aperiodikus monotilit fedezett fel, hanem végtelen család ezeknek a megfoghatatlan einsteineknek. Behurcolta Craig Kaplant, Chaim Goodman-Strausst és Joseph Samuel Myerst – a számítástechnika, a matematika és a burkolólapok elméletének szakértőit ​​–, és közösen bemutattak egy geometriailag egyszerű, kalapcsempének nevezett einsteint (amiről az internet úgy gondolta, hogy úgy nézett ki, mint egy póló ).

A reakció gyors és pozitív volt. A felfedezők konferenciákon és online előadásokat tartottak. A matematikai művészek megragadták az esélyt, hogy kreatív módszereket találjanak Escher-szerű tervek készítésére ezeken az új, geometriailag érdekes csempéken. A kalaplapka még egy késő esti televíziós műsor monológjában is megjelent.

Ennek ellenére volt még hova fejlődni. A sík kalappal történő burkolásához a lapkák körülbelül egyhetedét fejjel lefelé kell fordítani. Annak a lakástulajdonosnak, aki kalapcsempével szeretné csempézni a fürdőszobáját, kétféle csempét kell vásárolnia: egy szabványos csempét és annak tükörképét. Tényleg szükség volt erre?

Még mielőtt a kalaplap izgalma alábbhagyott volna, a csapat újabb bejelentést tett. Smith az aperiodikus monotilis végtelen családjában talált egy olyat, amelyet „kísértetnek” nevezett, amely képes a síkot mozaikkázni anélkül, hogy visszatükröződött másolatokra lenne szüksége. Végre megjelent egy igazi Einstein.

A burkolólapok és mozaikszerkezetek matematikai kutatásának újjáéledésének kellős közepén vagyunk. Az amatőrök jelentős hozzájárulására támaszkodott, inspirálta a matematikus művészek kreativitását, és kihasználta a számítógépek erejét a tudás határainak előremozdítására. Ebből pedig új betekintést nyertünk a szimmetria, a geometria és a dizájn természetébe.

Javítás: Október 30, 2023
A cikk eredeti változata azt állította, hogy a síkot nem lehet hatoldalasnál több sokszöggel csempézni. Ez csak akkor igaz, ha a sokszög konvex.

Quanta felméréssorozatot végez közönségünk jobb kiszolgálása érdekében. Vidd a miénket matematika olvasói felmérés és ingyenesen nyerhetsz Quanta árut.