Egy évszázaddal később az új matematika kisimítja az általános relativitáselméletet | Quanta Magazin

Albert Einstein általános relativitáselmélete rendkívül sikeres volt a gravitáció működésének leírásában, és hogyan alakítja az univerzum nagy léptékű szerkezetét. Ezt John Wheeler fizikus egy mondása foglalja össze: „A téridő megmondja az anyagnak, hogyan kell mozogni; az anyag megmondja a téridőnek, hogyan kell görbülni." Ám az általános relativitáselmélet matematikája is mélységesen ellentétes az intuitív hatásokkal.

Mivel az alapegyenletei olyan bonyolultak, a legegyszerűbbnek hangzó állításokat is nehéz bizonyítani. Például csak 1980 körül bizonyították be a matematikusok az általános relativitáselmélet egyik fő tételeként, hogy egy izolált fizikai rendszernek vagy térnek, amelyben nincs tömeg, laposnak kell lennie.

Ezzel megoldatlan maradt a kérdés, hogy néz ki egy tér, ha majdnem vákuum, és csak egy kis tömegű. Feltétlenül majdnem lapos?

Bár nyilvánvalónak tűnhet, hogy a kisebb tömeg kisebb görbülethez vezet, a dolgok nem annyira vágottak és szárazak, ha az általános relativitáselméletről van szó. Az elmélet szerint az anyag sűrű koncentrációja „elhajthatja” a tér egy részét, ami erősen görbültté teheti. Egyes esetekben ez a görbület szélsőséges lehet, ami fekete lyukak kialakulásához vezethet. Ez még olyan térben is előfordulhat, ahol kis mennyiségű anyag van, ha elég erősen koncentrálódik.

Egy közelmúltbeli papír, Conghan Dong, a Stony Brook Egyetem végzős hallgatója, és Antoine Song, a California Institute of Technology adjunktusa bebizonyította, hogy az egyre kisebb tömegű görbe terek sorozata végül egy nulla görbületű sík térré konvergál.

Ez az eredmény figyelemre méltó előrelépés az általános relativitáselmélet matematikai feltárásában – ez a törekvés több mint egy évszázaddal azután, hogy Einstein kidolgozta elméletét, továbbra is kifizetődik. Dan Lee, a Queens College matematikusa, aki az általános relativitáselmélet matematikáját tanulmányozza, de nem vett részt ebben a kutatásban, azt mondta, hogy Dong és Song bizonyítéka a görbület és a tömeg kölcsönhatásának mély megértését tükrözi.

Amit bebizonyítottak

A Dong és Song bizonyítása háromdimenziós terekre vonatkozik, de a szemléltetés kedvéért először vegyünk egy kétdimenziós példát. Képzeljen el egy sík teret, tömeg nélkül, mint egy közönséges, sima papírlapot. Ebben az esetben egy kis tömegű tér távolról nézve hasonlónak tűnhet – vagyis többnyire laposnak. Azonban egy közelebbi vizsgálat feltárhat néhány éles tüskét vagy buborékot, amelyek itt-ott felbukkannak - az anyag csoportosulásának következményei. Ezek a véletlenszerű kiemelkedések a papírt egy jól karbantartott pázsithoz hasonlítanák, ahol időnként gomba vagy szár kilóg a felületből.

Dong és Song bebizonyította a sejtés amelyet 2001-ben fogalmaztak meg a matematikusok Gerhard Huisken és a Tom Ilmanen. A sejtés azt állítja, hogy amint a tér tömege közeledik a nullához, úgy kell növekednie a görbületének is. Huisken és Ilmanen felismerte azonban, hogy ezt a forgatókönyvet bonyolítja a buborékok és tüskék (amelyek matematikailag különböznek egymástól). Feltételezték, hogy a buborékokat és tüskéket úgy lehet levágni, hogy az egyes kimetszések során a tér felszínén visszamaradt határterület kicsi. Azt javasolták, de nem tudták bizonyítani, hogy az a hely, amely e zavaró függelékek eltávolítása után megmaradt, majdnem lapos lesz. Abban sem voltak biztosak, hogyan kell ilyen vágásokat végrehajtani.

"Ezek a kérdések nehézek voltak, és nem számítottam arra, hogy megoldást látok a Huisken-Ilmanen sejtésre" - mondta Lee.

A sejtés középpontjában a görbület mérése áll. A tér különböző módon, különböző mértékben és különböző irányban görbülhet – mint egy nyereg (két dimenzióban), amely előre és hátrafelé görbül, de lefelé balra és jobbra. Dong és Song figyelmen kívül hagyja ezeket a részleteket. Használják a skaláris görbületnek nevezett fogalmat, amely a görbületet egyetlen számként ábrázolja, amely összegzi a teljes görbületet minden irányban.

Dong and Song új műve, mondta Daniel Stern A Cornell Egyetemen végzett kutatás „egyike eddigi legerősebb eredményünk, amely megmutatja, hogyan szabályozza a skaláris görbület a tér egészének geometriáját”. Írásuk azt szemlélteti, hogy „ha nemnegatív skaláris görbületünk van és kis tömegünk van, akkor nagyon jól megértjük a tér szerkezetét”.

A bizonyíték

A Huisken-Ilmanen sejtés a folyamatosan csökkenő tömegű terek geometriájára vonatkozik. Konkrét módszert ír elő annak megmondására, hogy egy kis tömegű tér milyen közel van a sík térhez. Ezt a mértéket Gromov-Hausdorff távolságnak nevezik, a matematikusokról nevezték el Mihael Gromov és Felix Hausdorff. A Gromov-Hausdorff távolság kiszámítása kétlépéses folyamat.

Az első lépés a Hausdorff-távolság meghatározása. Tegyük fel, hogy van két köre, A és B. Kezdje az A pont bármelyikével, és határozza meg, milyen messze van a B legközelebbi pontjától.

Ismételje meg ezt az A pont minden pontjával. A legnagyobb távolság, amit talál, a Hausdorff-távolság a körök között.

Ha megvan a Hausdorff távolság, kiszámolhatja a Gromov-Hausdorff távolságot. Ehhez helyezze az objektumokat nagyobb helyre, hogy minimálisra csökkentse a köztük lévő Hausdorff-távolságot. Két egyforma kör esetén, mivel szó szerint egymásra helyezhetjük őket, a Gromov-Hausdorff távolság közöttük nulla. Az ehhez hasonló geometriailag azonos objektumokat „izometrikusnak” nevezzük.

A távolság mérése természetesen nehezebb, ha az összehasonlítandó tárgyak vagy terek hasonlóak, de nem azonosak. A Gromov-Hausdorff távolság precízen méri a hasonlóságokat (vagy különbségeket) két, kezdetben különböző térben elhelyezkedő objektum alakja között. „A Gromov-Hausdorff távolság az egyik legjobb módja annak, hogy kimondjuk, hogy két tér majdnem izometrikus, és ez ad egy számot a „majdnem”-nek” – mondta Stern.

Mielőtt Dong és Song összehasonlíthatta volna a kis tömegű és a tökéletesen lapos teret, le kellett vágniuk a bosszantó kidudorodásokat – a keskeny tüskéket, ahol az anyag szorosan össze van zárva, és még sűrűbb buborékokat, amelyekben apró fekete lyukak rejtőzhetnek. „Úgy vágtuk le őket, hogy kicsi legyen a határterület [ahol a szelet készült]” – mondta Song –, és megmutattuk, hogy a terület egyre kisebb lesz, ahogy a tömeg csökken.

Bár ez a taktika csalásnak tűnhet, Stern szerint megengedett a sejtés bizonyítása során egyfajta előfeldolgozást végezni úgy, hogy kivágják azokat a buborékokat és tüskéket, amelyek területe a tömeg csökkenésével nullára csökken.

A kis tömegű tér helyettesítőjeként azt javasolta, hogy képzeljünk el egy gyűrött papírlapot, amelyen az ismételt kisimítás után még mindig éles gyűrődések és hajtások vannak. Használhat lyukasztót a legszembetűnőbb egyenetlenségek eltávolításához, így egy kissé egyenetlen papírdarabot hagyhat rajta néhány lyukkal. A lyukak méretének csökkenésével a papír domborzatának egyenetlenségei is csökkennek. Mondhatnánk, hogy a határon a lyukak nullára zsugorodnak, a dombok és gerincek eltűnnek, és egy egyenletesen sima papírdarab marad – a lapos tér valódi helye.

Ezt próbálta bebizonyítani Dong and Song. A következő lépés az volt, hogy megnézzük, hogyan állnak össze ezek a durva vonásaiktól megfosztott terek a teljes laposság színvonalával szemben. Az általuk követett stratégia egy speciális térképtípust használt, amely két teret hasonlít össze úgy, hogy az egyik térben lévő pontokat egy másik térben lévő pontokhoz társította. Az általuk használt térképet a papír írta Stern és három munkatársa – Hubert Bray, Demetre Kazaras és Marcus Khuri. Ez az eljárás pontosan meg tudja határozni, milyen közel van két szóköz.

Feladatuk leegyszerűsítése érdekében Dong és Song egy másik matematikai trükköt vett át Sterntől és szerzőtársaitól, amely megmutatta, hogy a háromdimenziós tér végtelen sok kétdimenziós szeletre osztható, úgynevezett szinthalmazokra, ugyanúgy, mint egy kemény tojás. tojásszeletelő feszes vezetékeivel keskeny lapokra szegmentálják.

A szintkészletek öröklik az általuk alkotott háromdimenziós tér görbületét. Azáltal, hogy figyelmüket a szintkészletekre összpontosították a nagyobb háromdimenziós tér helyett, Dong és Song képesek voltak a probléma dimenzióit háromról kettőre csökkenteni. Ez nagyon hasznos, mondta Song, mert „sokat tudunk a kétdimenziós objektumokról… és sok eszközünk van tanulmányozásukra”.

Ha sikeresen meg tudnák mutatni, hogy minden egyes szint „egyfajta lapos” – mondta Song, ez lehetővé tenné számukra, hogy elérjék általános céljukat, hogy megmutassák, hogy egy kis tömegű háromdimenziós tér közel áll a laposhoz. Szerencsére ez a stratégia bevált.

Következő lépések

A jövőre nézve Song azt mondta, hogy a terület egyik következő kihívása az, hogy egyértelműbbé tegyék a bizonyítékot egy pontos eljárás kidolgozásával a buborékok és tüskék eltávolítására, valamint a levágott régiók jobb leírására. Egyelőre azonban bevallotta: „nincs világos stratégiánk ennek elérésére”.

 Song szerint egy másik ígéretes út az a külön sejtés amelyet 2011-ben fogalmazott meg Lee és Christina Sormani, a New York-i City University matematikusa. A Lee-Sormani sejtés hasonló kérdést tesz fel, mint Huisken és Ilmanen, de az alakzatok közötti különbség mérésének más módszerére támaszkodik. Ahelyett, hogy figyelembe vennénk a két alakzat közötti maximális távolságot, ahogy a Gromov-Hausdorff távolság teszi, a Lee-Sormani megközelítés a a tér térfogata közöttük. Minél kisebb ez a térfogat, annál közelebb vannak egymáshoz.

Song eközben azt reméli, hogy megvizsgálja a skaláris görbülettel kapcsolatos olyan alapvető kérdéseket, amelyeket nem a fizika motivál. "Az általános relativitáselméletben nagyon különleges terekkel foglalkozunk, amelyek szinte laposak a végtelenben, de a geometriában mindenféle térrel foglalkozunk."

"Van remény arra, hogy ezek a technikák más körülmények között is hasznosak lehetnek" - mondta Stern. „Van egy nagy család a kapcsolódó problémákkal” – mondta, és ezek feltárásra várnak.

Quanta felméréssorozatot végez közönségünk jobb kiszolgálása érdekében. Vidd a miénket matematika olvasói felmérés és ingyenesen nyerhetsz Quanta árut.