Matematikus a kreativitásról, a művészetről, a logikáról és a nyelvről | Quanta Magazin

Sok időbe telt, mire Claire Voisin beleszeretett a matematikába.

Ez nem jelenti azt, hogy valaha is nem szerette a témát. Franciaországban nőtt fel – a 10 gyerek közül a 12. –, szívesen töltött órákat matematikai feladatok megoldásával mérnök apjával. Mire betöltötte a 12. életévét, elkezdett önállóan olvasni egy középiskolai algebrai tankönyvet, és lenyűgözték az oldalain felvázolt definíciók és bizonyítékok. „Megvolt ez az egész szerkezet” – mondta. "Az algebra valójában a struktúrák elmélete."

De a matematikát nem tekintette életre szóló hivatásnak. Csak az egyetemi évekig ismerte fel, milyen mély és gyönyörű lehet – és hogy képes új felfedezésekre. Addig a matematikán kívül több érdeklődési körrel is komolyan foglalkozott: filozófiával, festészettel és költészettel. ("Amikor 20 éves voltam, azt hiszem, csak matematikával és festészettel foglalkoztam. Ez talán egy kicsit túlzás volt" - nevetett.) A 20-as évei elején a matematika már minden mást elfoglalt. De a festészet és a költészet továbbra is hatással volt rá. A matematikát művészetnek tekinti – és egy módnak arra, hogy feszegesse a nyelv határait, és játsszon velük.

Évtizedekkel később, miután vezető szerepet játszott az algebrai geometriában, Voisin ismét talált időt a festésre és agyagszobrok készítésére. Ennek ellenére továbbra is a matematika köti le a figyelmét; szívesebben tölti idejét ennek a „más világnak” a felfedezésével, ahol „olyan, mintha álmodnál”.

Voisin a párizsi francia Nemzeti Tudományos Kutatási Központ vezető kutatója. Ott algebrai variációkat tanulmányoz, amelyek polinomiális egyenletekkel meghatározott alakzatoknak tekinthetők, ahogyan a kört a polinom határozza meg. x² + y² = 1. A világ egyik legjelentősebb szakértője a Hodge-elméletben, egy olyan eszköztárban, amelyet a matematikusok az algebrai változatok kulcsfontosságú tulajdonságainak tanulmányozására használnak.

Voisin számos díjat nyert munkásságáért, köztük a Clay Research Award-ot 2008-ban, a Heinz Hopf-díjat 2015-ben, és a Shaw-díjat a matematikaiért 2017-ben. Januárban ő lett az első nő, akit Crafoord-díjjal tüntettek ki Matematika.

Quanta Beszélt Voisinnal a matematika kreatív természetéről. Az interjút az egyértelműség kedvéért sűrítettük és szerkesztettük.

Gyerekként élvezted a matematikát, de nem láttad, hogy ezzel foglalkozol. Miért ne?

Ott van a bizonyíték varázsa – az érzelem, amelyet akkor érzel, amikor megérted, amikor rájössz, milyen erős és milyen erőssé tesz téged. Ezt már gyerekként is láthattam. És élveztem azt a koncentrációt, amit a matematika megkíván. Ez olyasvalami, amit az idős kor előrehaladtával egyre központibbnak találok a matematika gyakorlásában. A világ többi része eltűnik. Az egész agyad egy probléma tanulmányozására létezik. Ez egy rendkívüli élmény, ami nagyon fontos számomra – rávenni magát, hogy elhagyja a gyakorlati dolgok világát, hogy egy másik világba költözzön. Talán ezért is szeret a fiam annyira videojátékozni.

De ami miatt bizonyos értelemben későn jöttem a matematika felé, az az, hogy egyáltalán nem érdekelnek a játékok. Nem nekem való. A középiskolában pedig a matematika játéknak tűnt. Nehéz volt komolyan venni. Először nem láttam a matematika mélységeit. Még akkor sem, amikor a középiskola után elkezdtem felfedezni nagyon érdekes bizonyításokat és tételeket, soha nem gondoltam arra, hogy magam is kitalálhatok valamit, hogy a magamévá tehetem.

Szükségem volt valami mélyebbre, komolyabbra, valamire, amit magamévá tehetnék.

Mielőtt ezt megtaláltad matekból, hol kerested?

Élveztem a filozófiát és a fogalom fogalmához való ragaszkodását. Emellett 22 éves koromig sok időt töltöttem festéssel, különösen a geometria által ihletett figuratív darabokkal. És nagyon szerettem a költészetet – Mallarmé, Baudelaire, René Char műveit. Én már egyfajta más világban éltem. De szerintem ez normális, ha fiatalabb vagy.

De a matematika egyre fontosabbá vált. Valójában az egész agyát igénybe veszi. Amikor éppen nem az íróasztalánál dolgozik egy adott problémán, az elméje még mindig elfoglalt. Tehát minél többet matekoztam, annál kevesebbet festettem. Nemrég kezdtem újra festeni, most, hogy a gyerekeim mind elhagyták a házat, és sokkal több időm van.

Miért döntött úgy, hogy kreatív energiája nagy részét végül a matematikának szenteli?

A matematika egyre érdekesebbé vált számomra. Mint mester és Ph.D. tanuló, felfedeztem, hogy a 20. század matematikája valami nagyon mély és rendkívüli volt. Az ötletek és fogalmak világa volt. Az algebrai geometriában volt a híres forradalom, amelyet Alexander Grothendieck vezetett. Már Grothendieck előtt is hihetetlen eredmények születtek. Tehát ez egy új terület, gyönyörű, de rendkívül erőteljes ötletekkel. Ennek része volt a Hodge-elmélet, amit tanulok.

Egyre világosabbá vált, hogy ott van az életem. Természetesen volt családi életem – férjem és öt gyerekem – és egyéb kötelességeim és tevékenységem. De rájöttem, hogy a matematikával alkothatok valamit. Az életemet ennek szentelhettem, mert olyan szép volt, olyan látványos, olyan érdekes.

Korábban írtál arról, hogy a matematika kreatív tevékenység.

Hivatásos matematikus vagyok, így a munkanapom hivatalosan is a matematika köré szerveződik. íróasztalnál ülök; számítógépen dolgozom. De a legtöbb matematikai tevékenységem nem ezalatt történik. Szüksége van egy új ötletre, egy jó meghatározásra, egy olyan kijelentésre, amelyet úgy gondol, hogy képes lesz kihasználni. Csak ezután kezdődhet a munka. És ez nem történik meg, amikor az íróasztalomnál vagyok. Követnem kell az eszemet, gondolkodnom kell.

Úgy tűnik, hogy a matematika nagyon személyes az Ön számára. Felfedeztél valamit magadról a folyamat során?

A matematika során legtöbbször magammal kell küzdenem, mert nagyon rendezetlen vagyok, nem vagyok túl fegyelmezett, és hajlamos vagyok depresszióssá is lenni. Nem találom könnyűnek. De amit felfedeztem, az az, hogy bizonyos pillanatokban – például reggel reggeli közben, vagy amikor Párizs utcáin sétálok, vagy valami esztelenül csinálok, például takarítás – az agyam magától elkezd dolgozni. Rájöttem, hogy a matematikára gondolok, anélkül, hogy szándékomban állt volna. Olyan, mintha álmodnál. 62 éves vagyok, és nincs igazi módszerem a jó matematikához: többé-kevésbé még mindig várom a pillanatot, amikor ihletet kapok.

Nagyon absztrakt objektumokkal dolgozik – nagydimenziós terekkel, bonyolult egyenleteket kielégítő struktúrákkal. Mit gondolsz egy ilyen elvont világról?

Valójában nem is olyan nehéz. A legelvontabb definíció, ha már megismeri, már nem absztrakt. Olyan ez, mint egy gyönyörű hegy, amit nagyon jól látsz, mert a levegő nagyon tiszta, és van fény, amivel minden részletet látni. Számunkra az általunk vizsgált matematikai objektumok konkrétnak tűnnek, mert sokkal jobban ismerjük őket, mint bármi mást.

Bizonyítani kell persze bőven, és ha elkezdesz tanulni valamit, akkor az absztrakció miatt szenvedhetsz. De amikor egy elméletet használ – mert megérti a tételeket –, valójában nagyon közel érzi magát a szóban forgó objektumokhoz, még ha absztraktak is. Azáltal, hogy megismeri a tárgyakat, manipulálja őket és felhasználja őket matematikai érvek során, végül a barátokká válnak.

És ehhez más-más nézőpontból kell látni őket?

Eredetileg nem tanultam algebrai geometriát. Komplex analitikai és differenciálgeometriával foglalkoztam. Az analitikus geometriában a függvények sokkal nagyobb osztályát és a függvények által lokálisan meghatározott alakzatokat tanulmányozzuk. Általában nincs globális egyenletük, ellentétben az algebrai geometriával.

Eleinte nem foglalkoztam túlzottan az algebrai nézőponttal. De minél idősebb leszek, és minél többet dolgozom ezen a területen, annál inkább szükségesnek látom ezt a két különböző nyelvet.

Van egy hihetetlen tétel, a GAGA, ami egy kicsit vicc; franciául „szenilis”-t jelent, de azt is jelenti géometrie algébrique et géométrie analytique. Azt mondja, hogy át lehet lépni egyik nyelvről a másikra. Ha egyszerűbb, összetett analitikus geometriában is végezhet számítást, majd térjen vissza az algebrai geometriához.

Más esetekben az algebrai geometria lehetőséget ad egy probléma más változatának tanulmányozására, amely rendkívüli eredményeket adhat. Dolgoztam az algebrai geometria egészének megértésén, ahelyett, hogy csak a komplex geometriai oldalára összpontosítottam volna.

Érdekes, hogy különböző matematikai nyelveknek gondolja ezeket.

A nyelv elengedhetetlen. A matematika előtt van nyelv. Sok logika már a nyelven belül van. Mindezek a logikai szabályok megvannak a matematikában: kvantorok, tagadások, zárójelek a műveletek helyes sorrendjének jelzésére. De fontos felismerni, hogy ezek a matematikusok számára létfontosságú szabályok már a mindennapi nyelvünkben is megtalálhatók.

Összehasonlíthatnál egy matematikai tételt egy verssel. Szavakkal van leírva. Ez a nyelv terméke. Csak azért vannak matematikai tárgyaink, mert nyelvet használunk, mert hétköznapi szavakat használunk, és sajátos jelentést adunk nekik. Tehát össze lehet hasonlítani a költészetet és a matematikát, mivel mindkettő teljesen a nyelvre támaszkodik, de mégis valami újat alkot.

A matematika vonzotta Grothendieck algebrai geometria forradalma miatt. Lényegében új nyelvet hozott létre az ilyen típusú matematika elvégzésére.

Jobbra.

Vannak módok arra, hogy a most használt matematikai nyelvet továbbra is módosítani kell?

A matematikusok folyamatosan átdolgozzák nyelvüket. Kár, mert a régebbi lapokat elég nehezen olvashatóvá teszi. De átdolgozzuk a korábbi matematikát, mert jobban értjük. Ez jobb módot ad a tételek írására és bizonyítására. Ez volt a helyzet Grothendieck esetében is, amikor a kévekohomológiát alkalmazta a geometriára. Valóban látványos.

Fontos, hogy megismerd a vizsgált tárgyat, olyannyira, hogy az olyan számodra, mint egy anyanyelv. Amikor egy elmélet kezd kialakulni, időbe telik, mire kitaláljuk a megfelelő definíciókat, és mindent leegyszerűsítünk. Vagy talán még mindig nagyon bonyolult, de sokkal jobban megismerjük a definíciókat és az objektumokat; természetesebbé válik használatuk.

Ez egy folyamatos fejlődés. Folyamatosan újra kell írnunk és egyszerűsítenünk, elméletileg kell gondolkodnunk arról, hogy mi a fontos, milyen eszközöket tegyünk elérhetővé.

Muszáj volt új definíciókat bevezetned a munkádba?

Néha. Ban ben munkát végeztem val vel Kollár János, volt egy fordulópont, amikor végre sikerült megtalálnunk a probléma helyes nézetét – egy bizonyos definíción keresztül. Ez egy nagyon klasszikus probléma volt, és klasszikus eszközökkel dolgoztunk, de a bizonyításunk valójában ezen a definíción alapult, amit felállítottunk.

Egy másik esetben Olivier Debarre, Daniel Huybrechts, Emanuele Macrì és kedvesnek bizonyultam osztályozás eredménye a hiper-Kähler sokaságnak nevezett objektumokról. Ennek a bizonyításnak a kiindulópontja egy invariáns bevezetése volt, amelyet eredetileg ""a."[Nevet.]

Lehet, hogy alábecsüli a definíciók jelentőségét a matematikában, de nem szabad.

A definíciók és a nyelv nem az egyetlen irányadó erő a matematikában. Ugyanígy a sejtések is, amelyek igazak lehetnek, de lehet, hogy nem. Például sokat dolgoztál a Hodge-sejtésen, egy Clay millenniumi problémán, amelynek megoldása egy 1 millió dolláros jutalom.

Tegyük fel, hogy van egy algebrai változata, amelyet meg szeretne érteni. Tehát áttér a komplex-analitikus geometria oldalára, és ehelyett úgy tekinti, mint egy összetett sokaságot. Komplex sokaságra gondolhat globális alakja vagy topológiája szerint. Van egy objektum, az úgynevezett homológia, amely sok topológiai információt ad a sokaságról. De ezt nem olyan egyszerű meghatározni.

Most fontolja meg az algebrai alváltozatokat az eredeti fajtán belül. Mindegyikhez tartozik egy topológiai invariáns, bizonyos topológiai információ. A komplex sokaság homológiájának melyik része érhető el, ha ezeket a topológiai invariánsokat nézzük?

A Hodge-sejtés konkrét választ ad. És a válasz nagyon finom.

Tehát a matematikusok nem biztosak abban, hogy a Hodge-sejtés igaz vagy hamis lesz?

Hinni akarsz a Hodge-sejtésben, mert ez egy ilyen útmutató az algebrai geometria főbb elméleteiben.

Nagyon szeretné megérteni egy algebrai változat főbb tulajdonságait. És ha a Hodge-sejtés igaz, az hihetetlenül irányítani fogja a fajtája geometriáját. Nagyon fontos információkat kaphat a fajták felépítéséről.

Van néhány erős ok, hogy higgyünk benne. A Hodge-sejtés sajátos esetei ismertek. És sok mély kijelentés van az algebrai változatokról, amelyek arra utalnak, hogy a Hodge-sejtés igaz.

De ennek bizonyítása felé szinte teljesen hiányzott az előrelépés. Azt is bebizonyítottam, hogy nincs mód arra, hogy a Hodge-sejtést kiterjesszük egy másik környezetre, ahol az természetesnek tűnik. Szóval ez egy kis sokk volt.

Több évtizedes matematikus munka után úgy érzi, hogy most még mélyebben foglalkozik a matematikával?

Most, hogy idősebb vagyok, sokkal több időm van arra, hogy az energiámat a matematikára fordítsam, hogy abban igazán jelen legyek. Én is jobban tudok ide-oda menni. Régebben talán azért, mert kevesebb időm volt, kevesebb mobilitásom volt – bár az sem jó, ha túlságosan mozgékony vagyok, ha csak megérinteni a problémákat anélkül, hogy ragaszkodna hozzájuk. Most már tapasztaltabb vagyok, és fel tudom építeni a saját képet.

Sokkal jobb képed van arról, amit nem tudsz, a nyitott problémákról. Részletes rálátása van a mezőre és annak határaira. Kell, hogy legyen néhány jó oldala az öregedésnek. És még mindig nagyon sok a tennivaló.