A buborékklaszterek formájának megértését illetően a matematikusok évezredek óta próbálják utolérni fizikai megérzéseinket. A természetben előforduló szappanbuborék-klaszterek gyakran azonnal a legalacsonyabb energiájú állapotba kerülnek, amely minimalizálja falaik teljes felületét (beleértve a buborékok közötti falakat is). De annak ellenőrzése, hogy a szappanbuborékok megfelelően teljesítik-e ezt a feladatot – vagy csak megjósolni, hogyan nézzenek ki a nagy buborékcsoportok – az egyik legnehezebb geometriai probléma. A 19. század végéig a matematikusoknak be kellett bizonyítaniuk, hogy a gömb a legjobb egyetlen buborék, jóllehet a görög matematikus, Zenodorus ezt több mint 2,000 évvel korábban állította.
A buborék-probléma elég egyszerű ahhoz, hogy kijelentsük: Kezdje a térfogatok számlistájával, majd kérdezze meg, hogyan lehet ezeket a levegőmennyiségeket külön-külön bezárni a legkisebb felület felhasználásával. A probléma megoldásához azonban a matematikusoknak figyelembe kell venniük a buborékfalak lehetséges alakjainak széles skáláját. Ha pedig az a feladat, hogy mondjuk öt kötetet körbezárjunk, még abban a luxusban sincs, hogy figyelmünket öt buborékból álló klaszterekre korlátozzuk – talán a felület minimalizálásának legjobb módja, ha az egyik kötetet több buborékra osztjuk fel.
Még a kétdimenziós sík egyszerűbb beállításánál is (ahol egy területgyűjteményt próbál meg bezárni, miközben minimalizálja a kerületet), senki sem tudja, mi lenne a legjobb módja, hogy mondjuk kilenc vagy tíz területet bezárjon. Ahogy a buborékok száma növekszik, „gyorsan nem is lehet semmilyen elfogadható sejtést kapni” – mondta. Emanuel Milman a Technion Haifában, Izraelben.
De több mint negyed évszázaddal ezelőtt, John Sullivan, most a Berlini Műszaki Egyetemen, rájött, hogy bizonyos esetekben létezik a irányadó sejtés hogy legyen. A buborékproblémák bármilyen dimenzióban értelmesek, és Sullivan úgy találta, hogy amíg a bezárni kívánt kötetek száma legfeljebb eggyel nagyobb a dimenziónál, van egy sajátos módja a kötetek bezárására, ami bizonyos értelemben minden másnál szebb – egy gömbön lévő tökéletesen szimmetrikus buborékcsoport egyfajta árnyéka. Feltételezése szerint ennek az árnyékhalmaznak kell lennie annak, amely minimálisra csökkenti a felületet.
Az ezt követő évtizedben a matematikusok egy sor úttörő tanulmányt írtak, amelyek igazolják Sullivan sejtését, amikor csak két kötetet próbálnak mellékelni. Itt a megoldás az ismerős dupla buborék, amelyet egy napsütéses napon a parkban fújhattál, két gömb alakú darabból, amelyek között lapos vagy gömb alakú fal található (attól függően, hogy a két buborék azonos vagy eltérő térfogatú).
De bizonyítva Sullivan sejtését három kötetre vonatkozóan, a matematikus Frank Morgan a Williams College-ból elmélkedett 2007-ben „eltarthat még száz évig”.
A matematikusokat most megkímélték a hosszú várakozástól – és sokkal többet kaptak, mint a hármas buborék problémájának megoldását. Az a papír májusban online közzétett Milman és Joe NeemanA Texasi Egyetem munkatársa, az austini kutatók bebizonyították Sullivan sejtését a három és nagyobb méretű hármas buborékokra, valamint a négyes és nagyobb dimenziókra vonatkozó négyes buborékokra, az ötödik és nagyobb dimenziójú ötszörös buborékokról szóló nyomonkövetési tanulmány pedig folyamatban van.
És ha hat vagy több buborékról van szó, Milman és Neeman kimutatta, hogy a legjobb klaszternek rendelkeznie kell Sullivan jelöltjének számos kulcsfontosságú tulajdonságával, ami potenciálisan elindítja a matematikusokat a sejtések bizonyítása felé ezen esetekre is. „Az a benyomásom, hogy felfogták a Sullivan-sejtés mögött meghúzódó lényegi struktúrát” – mondta Francesco Maggi a Texasi Egyetemen, Austinban.
Milman és Neeman központi tétele „monumentális” – írta Morgan egy e-mailben. "Ez egy zseniális teljesítmény, sok új ötlettel."
Árnyékbuborékok
Valódi szappanbuborékokkal kapcsolatos tapasztalataink csábító megérzéseket kínálnak arra vonatkozóan, hogyan nézzenek ki az optimális buborékfürtök, legalábbis ha kis klaszterekről van szó. A háromszoros vagy négyszeres buborékoknak, amelyeket szappanos pálcákon keresztül fújunk, úgy tűnik, gömb alakúak (és esetenként laposak is), és inkább szűk csomókat képeznek, mint például egy hosszú buborékláncot.
De nem olyan könnyű bebizonyítani, hogy ezek valóban az optimális buborékklaszterek jellemzői. Például a matematikusok nem tudják, hogy a minimalizáló buborékklaszter falai mindig gömb alakúak-e vagy laposak – csak azt tudják, hogy a falaknak „állandó átlagos görbületük van”, ami azt jelenti, hogy az átlagos görbület egyik pontról a másikra ugyanaz marad. A gömbök és sík felületek rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal, de sok más felület is, például hengerek és hullámos formák, amelyeket unduloidoknak neveznek. Az állandó átlagos görbületű felületek „egy teljes állatkert” – mondta Milman.
De az 1990-es években Sullivan felismerte, hogy amikor a körbezárni kívánt kötetek száma legfeljebb eggyel nagyobb a dimenziónál, van egy jelölt klaszter, amely úgy tűnik, felülmúlja a többit – egy (és egyetlen) klaszter, amely rendelkezik az általunk használt jellemzőkkel. hogy valódi szappanbuborékok kis halmazaiban lássunk.
Ahhoz, hogy átérezzük, hogyan épül fel egy ilyen jelölt, használjuk Sullivan megközelítését egy három buborékból álló klaszter létrehozására a lapos síkban (tehát a mi „buborékaink” a síkban lévő régiók lesznek, nem pedig háromdimenziós objektumok). Kezdjük azzal, hogy kiválasztunk négy olyan pontot egy gömbön, amelyek mindegyike azonos távolságra van egymástól. Most képzeljük el, hogy e négy pont mindegyike egy apró buborék középpontja, amely csak a gömb felszínén él (így minden buborék egy kis korong). Fújja fel a gömbön lévő négy buborékot, amíg nem kezdenek egymásba ütközni, majd addig fújja fel, amíg együttesen ki nem töltik a teljes felületet. Egy négy buborékból álló szimmetrikus klasztert kapunk, amitől a gömb úgy néz ki, mint egy kifújt tetraéder.
Ezután ezt a gömböt egy végtelen lapos sík tetejére helyezzük, mintha a gömb egy végtelen padlón nyugvó golyó lenne. Képzeld el, hogy a labda átlátszó, és van egy lámpa az északi sarkon. A négy buborék falai árnyékokat vetítenek a padlóra, és ott egy buborékcsoport falait alkotják. A gömbön lévő négy buborék közül három a padlón lévő árnyékbuborékokká vetül; a negyedik buborék (amely az északi pólust tartalmazza) a három árnyékbuborék halmazán kívüli végtelen kiterjedésű padlóig fog lenyúlni.
A három buborékból álló klaszter attól függ, hogyan helyeztük el a gömböt, amikor a padlóra helyeztük. Ha megforgatjuk a gömböt úgy, hogy az északi póluson egy másik pont kerül a lámpához, akkor általában más árnyékot kapunk, és a padlón lévő három buboréknak különböző területei lesznek. A matematikusoknak van bizonyított hogy a területekhez választott bármely három szám esetén lényegében egyetlen módja van a gömb elhelyezésének, így a három árnyékbuboréknak pontosan ezek a területei lesznek.
Ezt a folyamatot bármilyen dimenzióban elvégezhetjük (bár a magasabb dimenziós árnyékokat nehezebb megjeleníteni). De van határa annak, hogy hány buborék lehet az árnyékcsoportunkban. A fenti példában nem tudtunk volna négy buborékból álló klasztert létrehozni a síkban. Ehhez a gömbön lévő öt olyan ponttal kellett volna kezdeni, amelyek mind ugyanolyan távolságra vannak egymástól – de lehetetlen ennyi egyenlő távolságra lévő pontot elhelyezni egy gömbön (bár ezt megteheti magasabb dimenziós gömbökkel). Sullivan eljárása legfeljebb három buborékból álló klaszterek létrehozására működik a kétdimenziós térben, négy buborékból a háromdimenziós térben, öt buborékból a négydimenziós térben, és így tovább. A paramétertartományokon kívül a Sullivan-stílusú buborékklaszterek egyszerűen nem léteznek.
De ezeken a paramétereken belül Sullivan eljárása olyan buborékcsoportokat ad nekünk, amelyek messze túlmutatnak azon, amit fizikai intuíciónk képes felfogni. „Lehetetlen elképzelni, mi az a 15 buborék a [23 dimenziós térben]” – mondta Maggi. – Egyáltalán hogyan képzeli el, hogy leír egy ilyen tárgyat?
Mégis, Sullivan buborékjelöltjei gömb alakú elődjeiktől örökölnek egy egyedülálló tulajdonsággyűjteményt, amely a természetben látható buborékokra emlékeztet. Falaik mind gömb alakúak vagy laposak, és ahol három fal találkozik, ott 120 fokos szöget zárnak be, mint egy szimmetrikus Y alakban. A bezárni kívánt kötetek mindegyike egyetlen régióban található, ahelyett, hogy több régióra osztanák fel őket. És minden buborék érinti a másikat (és a külsejét), és egy szoros klasztert alkot. A matematikusok kimutatták, hogy a Sullivan-buborékok az egyedüli klaszterek, amelyek kielégítik ezeket a tulajdonságokat.
Amikor Sullivan azt feltételezte, hogy ezeknek a klasztereknek kell lenniük, amelyek minimalizálják a felületet, lényegében azt mondta: „Tegyük fel a szépséget” – mondta Maggi.
De a buborékkutatóknak jó okuk van arra, hogy óvakodjanak attól, hogy azt feltételezzék, hogy csak azért, mert a javasolt megoldás szép, az helyes. „Vannak nagyon híres problémák… ahol szimmetriát várnánk a minimalizálóktól, és a szimmetria látványosan kudarcot vall” – mondta Maggi.
Például ott van az a szorosan összefüggő probléma, hogy a végtelen teret egyenlő térfogatú buborékokkal töltsük meg oly módon, hogy minimálisra csökkentsük a felületet. 1887-ben Lord Kelvin brit matematikus és fizikus felvetette, hogy a megoldás egy elegáns méhsejtszerű szerkezet lehet. Több mint egy évszázadon keresztül sok matematikus úgy gondolta, hogy ez a valószínű válasz – egészen 1993-ig, amikor egy fizikuspár azonosított egy jobbat, bár kevésbé szimmetrikus, lehetőség. „A matematika tele van… olyan példákkal, ahol ilyen furcsa dolgok történnek” – mondta Maggi.
Egy sötét művészet
Amikor Sullivan 1995-ben bejelentette sejtését, a kettős buborékból álló része már egy évszázada lebegett. A matematikusok megoldották a 2D dupla buborék probléma két évvel korábban, majd az azt követő évtizedben ben megoldották háromdimenziós tér majd be <p></p> méretek. De amikor szóba került Sullivan sejtésének következő esete – hármas buborékok –, megtehetik bizonyítsa be a sejtést csak a kétdimenziós síkban, ahol a buborékok közötti interfészek különösen egyszerűek.
Aztán 2018-ban Milman és Neeman bebizonyította Sullivan sejtésének analóg változatát a Gauss-buborék-problémaként ismert környezetben. Ebben a beállításban a tér minden pontjára úgy gondolhat, mint pénzben kifejezett értékére: Az origó a legdrágább pont, és minél távolabb kerülünk az origótól, annál olcsóbb lesz a föld, ami egy haranggörbét alkot. A cél az előre kiválasztott áras burkolatok létrehozása (az előre kiválasztott térfogatok helyett), oly módon, hogy minimalizálja a burkolatok határainak költségeit (a határfelület helyett). Ez a Gauss-buborék-probléma alkalmazható a számítástechnikában a kerekítési sémákban és a zajérzékenység kérdésében.
Milman és Neeman benyújtották a magukét bizonyíték hoz A matematika évkönyvei, a matematika vitathatatlanul legrangosabb folyóirata (ahol később elfogadták). De a párnak esze ágában sem volt egy napra hívni. Módszereik ígéretesnek tűntek a klasszikus buborékproblémára is.
Több éven át dobálták össze-vissza ötleteiket. „Volt egy 200 oldalas feljegyzésünk” – mondta Milman. Eleinte úgy tűnt, hogy haladnak előre. De aztán gyorsan az lett, hogy 'Megpróbáltuk ezt az irányt – nem. Megpróbáltuk [ebbe a] irányba – nem.”” A fogadásuk fedezésére mindkét matematikus más projekteket is folytatott.
Aztán tavaly ősszel Milman feljött a szabadságra, és úgy döntött, hogy meglátogatja Neemant, hogy a páros koncentráltan tudjon segíteni a buborék-problémán. „A szabat ideje alatt jó alkalom kipróbálni a magas kockázatú, nagy nyereséggel járó dolgokat” – mondta Milman.
Az első néhány hónapban nem jutottak sehova. Végül úgy döntöttek, hogy valamivel könnyebb feladatot adnak maguknak, mint Sullivan teljes sejtése. Ha a buborékaidnak egy további lélegzőtér dimenziót adsz, egy bónuszt kapsz: A legjobb buborékcsoport tükörszimmetrikus lesz a központi síkon.
Sullivan sejtése hármas buborékokról szól a kettes és nagyobb dimenziókban, négyszeres buborékokról három és nagyobb dimenzióban, és így tovább. A bónuszszimmetria elérése érdekében Milman és Neeman figyelmüket a hármas és nagyobb dimenziójú hármas buborékokra, a négyes és nagyobb dimenzióknál négyszeres buborékokra korlátozták, és így tovább. „Igazából csak akkor értünk el igazán előre, amikor lemondtunk arról, hogy a paraméterek teljes skáláját megszerezzük” – mondta Neeman.
Ezzel a tükörszimmetriával a rendelkezésükre áll Milman és Neeman egy olyan perturbációs érvvel, amely magában foglalja a buborékcsoport tükör feletti felét enyhén felfújja, az alatta lévő felét pedig leereszti. Ez a perturbáció nem változtatja meg a buborékok térfogatát, de megváltoztathatja a felületüket. Milman és Neeman megmutatta, hogy ha az optimális buborékklaszternek nem gömbölyű vagy lapos fala van, akkor mód nyílik arra, hogy ezt a perturbációt úgy válasszuk meg, hogy az csökkentse a klaszter felületét – ez ellentmondás, mivel az optimális klaszternek már a legkisebb felülete van. terület lehetséges.
A perturbációk használata a buborékok tanulmányozására korántsem új ötlet, de annak kitalálása, hogy mely perturbációk észlelik a buborékklaszter fontos jellemzőit, „egy kicsit sötét művészet” – mondta Neeman.
Utólag visszagondolva, „ha egyszer látja [Milman és Neeman perturbációit], teljesen természetesnek tűnik” – mondta. Joel Hass a Kaliforniai Egyetemen, Davisben.
Maggi szerint azonban sokkal könnyebb felismerni a perturbációkat természetesnek, mint először kitalálni őket. "Ez messze nem olyasmi, amire azt lehet mondani, hogy "végül az emberek megtalálták volna"" - mondta. "Ez igazán zseniális, nagyon figyelemre méltó szinten."
Milman és Neeman perturbációikkal megmutatták, hogy az optimális buborékklaszternek ki kell elégítenie a Sullivan-klaszterek összes alapvető jellemzőjét, kivéve talán egyet: azt a kikötést, hogy minden buboréknak érintkeznie kell egymással. Ez utóbbi követelmény arra kényszerítette Milmant és Neemant, hogy megküzdjenek a buborékok összes módjával, hogy klaszterbe kapcsolódjanak. Ha csak három-négy buborékról van szó, nem sok lehetőséget kell figyelembe venni. De ahogy növeli a buborékok számát, a különböző lehetséges kapcsolódási minták száma nő, még gyorsabban, mint exponenciálisan.
Milman és Neeman eleinte abban reménykedett, hogy találnak egy átfogó elvet, amely lefedi ezeket az eseteket. De miután néhány hónapot eltöltöttek a „fejünk törésével” – mondta Milman, úgy döntöttek, hogy egyelőre megelégszenek egy ad hoc megközelítéssel, amely lehetővé tette számukra a háromszoros és négyszeres buborékok kezelését. Bejelentettek egy nem publikált bizonyítékot is arra vonatkozóan, hogy a Sullivan-féle ötös buborék optimális, bár még nem állapították meg, hogy ez az egyetlen optimális klaszter.
Milman és Neeman munkája „egy teljesen új megközelítés, nem pedig a korábbi módszerek kiterjesztése” – írta Morgan egy e-mailben. Valószínű, Maggi jósolta, hogy ezt a megközelítést még tovább lehet tolni – talán ötnél több buborékból álló klaszterekre, vagy Sullivan sejtéseinek eseteire, amelyek nem rendelkeznek tükörszimmetriával.
Senki sem várja el, hogy a további haladás könnyen megtörténjen; de ez Milmant és Neemant soha nem tántorította el. „Tapasztalataim szerint – mondta Milman –, az összes fontosabb dolog, amihez elég szerencsés voltam, csak azt követelte, hogy ne adjam fel.
