Két diák megfejt egy széles körben elterjedt matematikai sejtést | Quanta Magazin

Summer Haag és Clyde Kertzer nagy reményeket fűztek nyári kutatási projektjéhez. A matematika egy egész részterületének megvakítása nem tartozott közéjük.

Haag májusban fejezte be posztgraduális iskola első évét a Colorado-i Egyetemen, Boulderben, ahol Kertzer egyetemista volt. Mindketten alig várták az órák szünetét. Haag új túrák és hegymászó útvonalak felfedezését tervezte. Kertzer, aki Boulder származású, focizni akart, és elkészítette az érettségit. De mint kutató matematikus, ők is jelentkeztek egy félidős nyári kutatási programra a matematikus csoportjába. Katherine Stange.

Stange egy számteoretikus, aki matematikusként írja le magát.béka” – valaki, aki mélyen elmélyül az egyik probléma bonyolultságában, mielőtt egy másikhoz ugrálna. „Az egyszerűnek tűnő kérdések érdeklik, amelyek a struktúra gazdagságához vezetnek” – mondta. Projektjei gyakran a számelmélet megfoghatatlan nyitott problémáival foglalkoznak azzal, hogy számítógépeket használnak nagy adathalmazok generálására.

Haag és Kertzer Haag 23. születésnapján kezdték a programot egy hetes alapozóval az apollóniai körcsomagolásokról – az ősi tanulmány arról, hogyan tudnak a körök harmonikusan összenyomódni egy nagyobb körbe.

Képzeljen el három érmét úgy, hogy mindegyik érintse a többit. Mindig rajzolhatsz köréjük egy kört, amely kívülről érinti mind a hármat. Ezután elkezdhet kérdéseket feltenni: Hogyan viszonyul a nagyobb kör mérete a három érméhez? Mekkora kör fér bele a három érme közötti résbe? És ha elkezdesz olyan köröket rajzolni, amelyek egyre kisebb és kisebb réseket töltenek ki a körök között – létrehozva egy fraktálmintát, amelyet tömörítésként ismerünk –, hogyan viszonyulnak egymáshoz a körök méretei?

Ahelyett, hogy ezeknek a köröknek az átmérőjére gondolnának, a matematikusok egy görbületnek nevezett mértéket használnak – a sugár inverzét. Tehát a 2 sugarú kör görbülete 1/2, az 1/3 sugarú kör görbülete 3. Minél kisebb a kör, annál nagyobb a görbület.

A reneszánsz matematikusok bebizonyították, hogy ha az első négy kör görbülete egész szám, akkor a csomagolásban szereplő összes következő kör görbülete garantáltan egész szám. Ez önmagában is figyelemre méltó. A matematikusok azonban egy lépéssel tovább vitték a problémát azzal, hogy kérdéseket tettek fel arra vonatkozóan, hogy mely egész számok jelennek meg, ahogy a körök egyre kisebbek és a görbületek egyre nagyobbak.

A 2010, Elena Fuchs, számteoretikus jelenleg a Kaliforniai Egyetemen, Davis, bizonyított hogy a görbületek egy adott összefüggést követnek, amely bizonyos numerikus vödrökbe kényszeríti őket. Nem sokkal később a matematikusok meggyőződtek arról, hogy nemcsak a görbületeknek kell egyik vagy másik vödörbe esniük, hanem arról is, hogy minden egyes vödörben minden lehetséges számot fel kell használni. Az ötlet lokális-globális sejtésként vált ismertté.

„Sok mű hivatkozott rá, mintha ez már tény lenne” – mondta Kertzer. "Úgy beszéltük meg, mintha a közeljövőben valamikor bebizonyosodna."

James Rickards, a Boulder matematikusa, aki Stange-el és a diákokkal dolgozik, kódot írt a körtömítések bármilyen kívánt elrendezésének vizsgálatára. Így amikor Haag és Kertzer május 15-én csatlakozott a csoporthoz, úgy gondolták, hogy remek cselekményeket készítenek a megbízható helyi-globális szabályról.

Stange Franciaországba repült egy konferenciára június elején. Amikor június 12-én visszatért, a csapat olyan grafikonok köré tömörült, amelyek bemutatták, hogy néhány vödrből hiányzik bizonyos számok.

„Nem vizsgáltuk ezt a jelenséget” – mondta Rickards. „Nem próbáltam tesztelni, hogy ez igaz-e. Tudtam, hogy igaz – csak feltételeztem, hogy igaz. Aztán hirtelen olyan adatokkal állunk szemben, amelyek szerint nem az.”

A hét végére a csapat biztosra vette, hogy a sejtés hamis. A számok, amelyekre számítottak, soha nem jelentek meg. Kidolgoztak egy bizonyítást, és július 6-án közzétették munkájukat az arxiv.org tudományos preprint oldalra.

Fuchs emlékszik, hogy nem sokkal azután beszélt Stange-el, hogy a bizonyíték a helyére került. – Mennyire hiszel a helyi-globális sejtésekben? – kérdezte Stange. Fuchs azt válaszolta, hogy természetesen elhiszi. „Aztán megmutatta nekem ezeket az adatokat, és azt mondtam: „Te jó ég, ez csodálatos” – mondta Fuchs. "Úgy értem, tényleg hittem abban, hogy a helyi-globális sejtés igaz."

„Ha egyszer meglátod, csak azt mondod: „Aha! Természetesen!” – mondta Sarnak Péter, az Institute for Advanced Study és a Princeton Egyetem matematikusa, akinek korai megfigyelések segítette a helyi-globális sejtéseket.

„Fantasztikus meglátás” – tette hozzá Alex Kontorovics a Rutgers Egyetemen. „Mindannyian rúgjuk magunkat, hogy 20 évvel ezelőtt nem találtuk meg, amikor az emberek először kezdtek ezzel játszani.”

Az eredmény által hagyott törmelék között a munka egy repedést tárt fel más számelméleti sejtések alapjaiban. A matematikusok azon töprengtek, vajon mi lehet a következő, széles körben elterjedt hiedelem, amikor ősszel.

Körforgalom története

Az apollóni körcsomagok nevüket valószínűsíthető alkotójukról, Pergai Apollónioszról kapták. Körülbelül 2,200 évvel ezelőtt a görög geometria írt egy könyvet, melynek címe Érintések arról, hogyan hozzunk létre egy kört, amely érinti bármelyik három másikat. A könyv elveszett az időkben. De körülbelül 500 évvel később az alexandriai Pappus görög matematikus összeállított egy kompendiumot, amely túléli a bizánci birodalom összeomlását.

Csak Pappus leírását használva Érintések, A reneszánsz matematikusok megpróbálták visszakeresni az eredeti művet. 1643-ra René Descartes egyszerű összefüggést fedezett fel bármely négy egymást érintő kör görbülete között. Descartes azt állította, hogy az összes görbület négyzetének összege egyenlő a görbületek összegének négyzetének felével. Ez azt jelenti, hogy három kör esetén ki lehet számítani egy negyedik érintőkör sugarát. Például, ha van három 11-es, 14-es és 15-ös görbületű köre, akkor ezeket a számokat beillesztheti a Descartes-egyenletbe, és kiszámíthatja annak a körnek a görbületét, amely beleférne: 86.

1936-ban a Nobel-díjas rádiókémikus Soddy Frederick észrevett valami furcsát, miközben Descartes rokonságával összerakott. Ahogy a körök kisebbek lettek és a görbületek nagyobbak lettek, arra számított, hogy göcsörtös számokat kap négyzetgyökkel vagy végtelen tizedesjegyekkel. Ehelyett az összes görbület egész szám volt. Ez meglehetősen egyértelmű következménye volt Descartes egyenletének, de több száz éve senki sem vette észre. Ez ihlette Soddyt verset publikálni a tudományos folyóiratban Természet, ami így kezdődött:

Talán pár ajak csókolózni
Nem tartalmaz trigonometriát.
Nem így van, amikor négy kör csókol
Mindegyik a másik három.

A lehetséges és az elkerülhetetlen

Miután megállapították, hogy vannak egész számokkal teli csomagok, a matematikusok megpróbáltak mintákat találni ezekben az egész számokban.

2010-ben a Fuchs ill Katherine Sanden nekilátott építeni a papír az 2003-ből. A páros megfigyelte, hogy ha egy adott csomagban minden görbületet elosztunk 24-gyel, egy szabály alakult ki. Néhány tömítés csak görbülettel rendelkezik, például 0, 1, 4, 9, 12 vagy 16 maradékkal. Mások csak 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 vagy 22 maradékot hagynak hátra. Hat különböző csoport volt lehetséges.

Miközben a matematikusok megvizsgálták a csomagolások különböző kategóriáit, észrevették, hogy elég kicsi köröknél – a nagy görbületűeknél – úgy tűnt, hogy az egyes kategóriákon belül minden lehetséges szám megjelenik az ilyen típusú csomagolásoknál. Ezt az ötletet lokális-globális sejtésnek nevezték el. Bebizonyítani, hogy „a kis matematikusok egyik álma lett” – mondta Fuchs. "Például sok év múlva valamikor meg tudom majd oldani."

2012-ben Kontorovich és Jean Bourgain (aki meghalt az 2018-ban) ezt bizonyította gyakorlatilag minden szám a sejtés által megjósolt előfordul. De a „gyakorlatilag mind” nem azt jelenti, hogy „minden”. Például a tökéletes négyzetek elég ritkák ahhoz, hogy matematikailag „gyakorlatilag az összes” egész szám ne legyen tökéletes négyzet, bár például a 25 és a 49 az. A matematikusok úgy gondolták, hogy azok a ritka ellenpéldák, amelyek Kontorovich és Bourgain dolgozata után is lehetségesek maradtak, valójában nem léteztek, leginkább azért, mert a két-három legjobban tanulmányozott körcsomag olyan jól követte a helyi-globális sejtést – mondta Kontorovich.

A tárcsa felhajtása

Amikor Haag és Kertzer ezen a nyáron elindult Boulderben, Rickards ötleteket firkantott fel egy táblára Stange irodájában. „Egész listánk volt” – mondta Rickards. Négy-öt kiindulási pontjuk volt a kísérletezéshez. – Olyan dolgok, amikkel játszhatsz, és meglátod, mi történik.

Az egyik ötlet az volt, hogy kiszámolják az összes lehetséges körcsomagolást, amely két tetszőleges A és B görbületet tartalmaz. Rickards írt egy programot, amely egyfajta főkönyvet ad ki, amely jelenti, hogy mely egész számok jelennek meg a fél számára, amikor A vendéglátó.

A program alapján Haag összerakott egy Python-szkriptet, amely rengeteg szimulációt ábrázolt egyszerre. Olyan volt, mint egy szorzótábla: Haag a maradékok alapján választotta ki, hogy melyik sorokat és oszlopokat osztja el 24-gyel. Az apollóni összeállításban együtt megjelenő számpárok fehér pixeleket kaptak; amelyeknek nincs fekete pixele.

Haag több tucat parcellát szántott végig – a hat csoport mindegyik maradék párja után egyet.

Pontosan úgy néztek ki, ahogy várták: fehér fal, fekete foltokkal borsozva a kisebb egész számokért. „Arra számítottunk, hogy a fekete pontok elhalnak” – mondta Stange. Rickards hozzátette: „Azt hittem, talán még be is lehetne bizonyítani, hogy kimerültek.” Úgy gondolta, hogy a sok csomagolást szintetizáló diagramok megtekintésével a csapat olyan eredményeket tud majd bizonyítani, amelyek nem voltak lehetségesek, ha egyetlen csomagolást néznek meg.

Amíg Stange távol volt, Haag minden pár maradékot kitervelt – körülbelül 120-at. Nincs meglepetés. Aztán nagyot ment.

Haag azt ábrázolta, hogyan hatnak egymásra 1,000 egész szám. (A grafikon nagyobb, mint amilyennek hangzik, mivel 1 millió lehetséges párról van szó.) Aztán a tárcsát 10,000 10,000-szer XNUMX XNUMX-re forgatta. Az egyik grafikonon a fekete foltok szabályos sorai és oszlopai nem voltak hajlandók feloldódni. Nem úgy nézett ki, mint amit a lokális-globális sejtések megjósolnak.

A csapat egy hétfőn találkozott, miután Stange visszatért. Haag bemutatta a grafikonjait, és mindegyik a furcsa pontokkal rendelkezőre összpontosított. „Ez csak egy folyamatos minta volt” – mondta Haag. "És akkor Kate azt mondta: "Mi van, ha a helyi-globális sejtés nem igaz?"

„Ez úgy néz ki, mint egy minta. Ennek folytatnia kell. Tehát a lokális-globális sejtésnek hamisnak kell lennie” – emlékezett vissza Stange. "James szkeptikusabb volt."

„Az első gondolatom az volt, hogy valami hiba lehet a kódomban” – mondta Rickards. – Úgy értem, ez volt az egyetlen ésszerű dolog, amire gondoltam.

Fél napon belül megérkezett Rickards. A minta kizárt minden olyan párt, ahol az első szám 8 × (3n ± 1)² a második pedig bármely négyzet 24-szerese. Ez azt jelenti, hogy a 24 és a 8 soha nem jelenik meg ugyanabban a csomagolásban. Számok, amelyekre számítani lehet, nem.

„Kicsit szédült voltam. Ritkán fordul elő, hogy valami igazán meglepjen – mondta Stange. "De ez az adatokkal való játék varázsa."

A júliusi lap egy szigorú bizonyítékot vázol fel arra, hogy az általuk megfigyelt minta a végtelenségig folytatódik, megcáfolva a sejtést. A bizonyítás a másodfokú reciprocitásnak nevezett évszázados elven alapul, amely két prímszám négyzetét foglalja magában. Stange csapata felfedezte, hogyan vonatkozik a kölcsönösség a körcsomagolásokra. Ez megmagyarázza, hogy bizonyos görbületek miért nem érinthetik egymást. Az akadálynak nevezett szabály az egész csomagolásban terjed. „Ez csak egy teljesen új dolog” – mondta Jeffrey Lagarias, a Michigani Egyetem matematikusa, aki társszerzője volt a 2003-as körcsomagoló dolgozatnak. – Zseniálisan megtalálták – mondta Sarnak. "Ha ezek a számok megjelennének, sértenék a kölcsönösséget."

A csapadék

Számos más számelméleti sejtés most kétséges lehet. A lokális-globális sejtéshez hasonlóan ezeket is nehéz bizonyítani, de már bebizonyosodott, hogy gyakorlatilag minden esetre érvényesek, és általában feltételezik, hogy igazak.

Például Fuchs tanulmányozza a Markov-hármasokat, olyan számkészleteket, amelyek kielégítik az egyenletet x² + y² + z² = 3xyz. Ő és mások kimutatták, hogy bizonyos típusú megoldások kapcsolódnak 10-nél nagyobb prímszámokhoz³⁹². Mindenki úgy gondolja, hogy a mintának a végtelenségig kell folytatódnia. De az új eredmény fényében Fuchs megengedte magának, hogy kételyt érezzen. – Lehet, hogy lemaradtam valamiről – mondta. – Talán mindenkinek hiányzik valami.

„Most, hogy van egyetlen példánk, ahol ez hamis, a kérdés az: vajon ezeknél a többi példánál is hamis? – mondta Rickards.

Ott van még Zaremba sejtése is. Azt mondja, hogy egy tetszőleges nevezővel rendelkező tört kifejezhető folyamatos törtként, amely csak az 1 és 5 közötti számokat használja. 2014-ben Kontorovich és Bourgain kimutatta, hogy Zaremba sejtése szinte minden számra érvényes. De a körpakolás meglepetése aláásta a Zaremba sejtésébe vetett bizalmat.

Ha a csomagolási probléma az elkövetkező dolgok előhírnöke, akkor a számítási adatok a megoldás eszközei lehetnek.

„Mindig lenyűgözőnek tartom, amikor pusztán az adatok vizsgálatából új matematika születik” – mondta Fuchs. „Anélkül nagyon nehéz elképzelni, hogy [ők] ebbe belebotlottak volna.”

Stange hozzátette, hogy mindez nem történt volna meg a kis téttel járó nyári projekt nélkül. „A serénységnek és a játékos felfedező hozzáállásnak egyaránt óriási szerepe van a felfedezésben” – mondta.

„Tiszta véletlen volt” – mondta Haag. "Ha nem megyek elég nagyra, nem vettük volna észre." A munka jót sejtet a számelmélet jövője szempontjából. „A matematika megértését az intuíción és a bizonyításokon keresztül szerezheti meg” – mondta Stange. „És ebben nagyon bízol, mert sok időt töltöttél a gondolkodással. De az adatokkal nem lehet vitatkozni.”

A szerkesztő megjegyzése: Alex Kontorovich tagja a Quanta Magazinetudományos tanácsadó testülete. A történethez interjút készítettek vele, de egyébként nem vett részt a történetben.