Pengantar
Gagasan tentang ketidakterbatasan mungkin setua angka itu sendiri, kembali ke saat orang pertama kali menyadari bahwa mereka dapat terus menghitung selamanya. Tetapi meskipun kita memiliki tanda ketidakterbatasan dan dapat merujuk pada konsep tersebut dalam percakapan biasa, ketidakterbatasan tetap sangat misterius, bahkan bagi ahli matematika. Di episode ini, Steven Strogatz berbincang dengan sesama matematikawan Justin Moore dari Cornell University tentang bagaimana satu ketidakterbatasan bisa lebih besar dari yang lain (dan apakah kita dapat yakin bahwa tidak ada ketidakterbatasan perantara di antara mereka). Mereka juga membahas bagaimana fisikawan dan matematikawan menggunakan ketidakterbatasan secara berbeda dan pentingnya ketidakterbatasan pada dasar matematika.
Dengarkan Podcast Apple, Spotify, Google Podcast, Mesin penjahit, TuneIn atau aplikasi podcasting favorit Anda, atau Anda bisa streaming dari Quanta.
Salinan
Steven Strogatz (00:03): Saya Steve Strogatz, dan ini Kegembiraan Mengapa, podcast dari Majalah Quanta yang membawa Anda ke beberapa pertanyaan terbesar yang belum terjawab dalam matematika dan sains saat ini.
(00:13) Di episode ini, kita akan membahas ketidakterbatasan. Tidak ada yang benar-benar tahu dari mana ide ketidakterbatasan berasal, tetapi itu pasti sangat kuno - setua harapan dan ketakutan orang tentang hal-hal yang bisa berlangsung selamanya. Beberapa di antaranya menakutkan, seperti jurang maut, dan beberapa di antaranya membangkitkan semangat, seperti cinta tanpa akhir. Dalam matematika, gagasan tentang ketidakterbatasan mungkin setua angka itu sendiri. Begitu orang menyadari bahwa mereka bisa terus menghitung selamanya - 1, 2, 3 dan seterusnya. Tetapi meskipun ketidakterbatasan adalah ide yang sangat tua, itu tetap sangat misterius. Orang-orang telah menggaruk-garuk kepala mereka tentang ketidakterbatasan selama ribuan tahun sekarang, setidaknya sejak Zeno dan Aristoteles di Yunani kuno.
(00:57) Tapi bagaimana ahli matematika memahami ketidakterbatasan saat ini? Apakah ada ukuran infinity yang berbeda? Apakah infinity bermanfaat bagi matematikawan? Dan jika demikian, bagaimana tepatnya? Dan apa hubungannya semua ini dengan dasar matematika itu sendiri?
(01:14) Bergabung dengan saya hari ini untuk membahas ketidakterbatasan adalah Justin Moore, profesor matematika di Cornell. Minat penelitiannya meliputi teori himpunan, logika matematika, dan kombinatorik tak terbatas serta penerapannya pada bidang matematika lainnya, seperti topologi, analisis fungsional, dan aljabar. Selamat datang, Justin.
Justin Moore (01:33): Hai, Steve. Terima kasih telah menerima saya.
Strogatz (01:35): Ya, saya sangat senang berbicara dengan Anda. Saya harus mengatakan, mungkin untuk pengungkapan penuh, Justin adalah teman dan kolega saya di departemen matematika di Cornell. Oke, jadi kita mulai berpikir tentang ketidakterbatasan seperti yang dipikirkan oleh ahli matematika. Sebenarnya, mungkin sebelum kita masuk ke bagian matematika, mari kita bicara sebentar tentang dunia nyata, karena kita tidak akan lama di sana. Sekarang, apakah saya benar, bahwa Anda pernah dilatih di dunia fisika?
Moore (02:02): Ya, itu adalah jurusan ganda fisika dengan matematika, ketika saya masih sarjana. Saya agak lelah dengan fisika. Saya mulai menyukai fisika dan juga agak tertarik pada matematika dengan lebih santai. Dan entah bagaimana, selama itu, saya menjadi lebih tertarik pada matematika dan fisika.
Strogatz (02:18): Oke. Nah, bagaimana dengan fisika ketidakterbatasan? Apakah itu masuk akal? Apakah ada hal tak terbatas di dunia nyata yang kita ketahui?
Moore (02:26): Anda tahu video ini, Kekuatan 10, yang diciptakan oleh Charles dan Ray Eames? Di mana pada dasarnya setiap โ saya pikir itu setiap 10 detik, kekuatan Anda 10 lebih kecil. Yah, pada awalnya, saya pikir kekuatan 10 lebih besar. Anda memperkecil. Dan kemudian setiap 10 detik, Anda berkekuatan 10 lebih kecil, dan Anda beralih dari skala terbesar alam semesta ke skala partikel subatomik terkecil. Anda tahu, ini dibuat kembali, saya ingin mengatakan, akhir 70-an atau awal 80-an. Dan saya pikir pemahaman kita tentang beberapa hal telah berkembang sedikit sejak saat itu, tetapi tidak terlalu banyak. Tapi maksud saya, intinya adalah, ada sekitar 40 kekuatan 10 yang memisahkan skala panjang terkecil dari skala panjang terbesar, dan mungkin Anda bisa bermurah hati dan memasukkan beberapa kekuatan tambahan 10, hanya untuk ukuran yang baik. Tapi wajar untuk mengatakan bahwa tidak ada yang dapat Anda ukur dalam fisika yang lebih besar dari, Anda tahu, 10100 atau 10200 atau semacam itu.
(03:22) Dan mungkin konsep kita tentang hal-hal yang terus menerus โ gerak terus menerus atau apa pun โ mungkin ini semua hanya ilusi. Mungkin semuanya benar-benar terperinci dan terbatas. Tetapi yang benar adalah bahwa fisikawan telah menemukan banyak hal tentang dunia tempat kita hidup, dengan membayangkan bahwa segala sesuatunya halus dan berkesinambungan, dan ketidakterbatasan itu masuk akal. Ketika Anda pergi ke bagian fisika di mana mereka belum benar-benar memformalkan hal-hal, banyak masalah yang dimiliki matematikawan dengan hal ini sampai pada fisikawan adalah memperlakukan ketidakterbatasan dengan berbagai cara yang angkuh, dan mengurangkan ketidakterbatasan dari ketidakterbatasan. , dan mungkin tidak bertanggung jawab untuk itu seperti yang diinginkan oleh ahli matematika. Saya tidak berpikir bahwa itu benar-benar pernyataan yang kontroversial. Saya pikir seorang fisikawan akan โ sebagian besar fisikawan mungkin โ maksud saya, oke, mungkin Anda akan lebih tahu. Tapi saya yakin sebagian besar fisikawan akan mengatakan bahwa itu adalah pernyataan yang cukup benar.
Strogatz (04:20): Jadi, dalam hal kisah pribadi Anda sendiri โ saya berjanji tidak akan mempermalukan Anda terlalu dalam dalam hal ini โ tetapi apa yang membuat Anda tak terbatas? Apakah fisika terasa terlalu kecil bagi Anda? Atau Anda hanya menyukai ketelitian matematika, atauโฆ?
Moore (04:33): Maksud saya, saya pikir saya tertarik pada matematika secara keseluruhan dan menjauh dari fisika sebelum saya tertarik pada teori himpunan secara khusus. Ironisnya, itu karena saya - yah, jika Anda mengambil kelas fisika, pada titik tertentu, Anda akan menjadi cukup cepat dan lepas dengan matematika. Dan Anda baik-baik saja dengan itu, atau tidak. Saya adalah salah satu orang yang tidak setuju dengan itu.
Strogatz (04:56): Hah. Dan saya adalah orang yang baik-baik saja, dan saya masih melakukannya. Anda tahu, maksud saya, hal-hal itu tidak terlalu mengkhawatirkan saya, meskipun saya sangat menghargai kepedulian itu โ integritas intelektual yang dimiliki oleh matematikawan murni, Anda tahu, mengkhawatirkan hal-hal ini.
(05:11): Oke, jadi misalkan saya hanya, saya tidak tahu, seperti remaja yang ingin tahu, dan saya bahkan tidak tahu apa itu ketidakterbatasan. Apa yang akan Anda katakan itu? Haruskah saya menganggapnya sebagai angka yang sangat besar? Apakah itu suatu simbol? Apakah itu properti? Apa cara yang baik untuk memikirkan apa itu infinity?
Moore (05:26): Ya, maksud saya, saya kira itu โ ini bisa menjadi titik ideal di akhir baris, oke? Itu bisa menjadi simbol formal. Anda tahu, Anda bisa memikirkannya seperti โฆ simbol formal dalam arti yang sama seperti katakanlah, kami memperkenalkan -1, bukan? Dan saya ingat ketika saya masih kecil, para guru tidak mau menjelaskan apakah aman membicarakan angka negatif. Dan, benar, kedengarannya konyol di belakang, tetapi pada tingkat tertentu, benar, apakah -1 ada di dunia nyata? Tetapi Anda dapat memanipulasinya secara formal dan Anda dapat memanipulasi ketidakterbatasan secara formal pada tingkat tertentu, tetapi Anda mungkin harus menunjukkan sedikit lebih banyak perhatian. Anda juga dapat menggunakan tak terhingga sebagai alat untuk mengukur berapa banyak sesuatu yang ada. Dan itu membuka lebih banyak pintu di sana, karena Anda dapat berbicara tentang keberadaan himpunan tak terbatas, beberapa di antaranya lebih besar dari yang lain.
Strogatz (06:15): Oke. Baiklah. Jadi Anda telah menyebutkan kata "set" ini, dan kita pasti akan berbicara banyak tentang set hari ini. Saya memang mengatakan bahwa minat Anda termasuk teori himpunan. Apakah Anda ingin mengatakan lebih banyak tentang apa yang Anda maksud dengan satu set?
Moore (06:26): Saya kira sayaโฆ Jawabannya adalah ya dan tidak. Jadi saya pikir tidak apa-apa untuk terbang dengan kursi celana seseorang dan hanya melihatnya sebagai, Anda tahu, gagasan yang tidak terdefinisi dan menggunakannya secara intuitif. Tapi itu juga semacam digunakan sebagai mekanisme untuk memberikan dasar matematika, ketika orang menyadari bahwa kita perlu memiliki beberapa, membuat dasar yang hati-hati tentang apa itu matematika.
Strogatz (06:49): Aduh. Itu menarik. Karena saya โ seperti, sebagai anak kecil, kita belajar berhitung dengan jari kita, atau orang tua kita mungkin mulai mengucapkan kata-kata, lalu mereka mungkin menunjuk sesuatu dan berkata, โ1, 2, 3โฆโ Dan kita belajar bunyi โ anak-anak seperti itu ketika mereka masih sangat kecil, saya tahu, kan? Maksud saya, jika Anda sendiri memiliki anak kecil, atau kerabat. Jadi ada sisi itu. Dan saya pikir kebanyakan orang akan membayangkan bahwa angka adalah dasar dari matematika. Tapi Anda mengatakan, dan saya pikir sebagian besar matematikawan akan setuju, bahwa ada sesuatu yang lebih dalam daripada angka, yaitu konsep himpunan ini, bukan?
Moore (07:22): Menurut saya konsep "set" muncul sebagai konsep dasar karena sangat mendasar dan primitif. Dan jika Anda, jika Anda ingin memiliki sesuatu untuk digunakan sebagai bahan untuk matematika, Anda ingin memulai dengan sesuatu yang sifat dasarnya tampak sangat primitif, dan kemudian mulai dari sana. Dan kemudian idenya adalah Anda kemudian menggunakan set untuk menyandikan hal-hal seperti angka penghitungan, dan hal-hal seperti angka rasional, dan angka riil, dan seterusnya. Dan kemudian dari sana, segala jenis konstruksi matematika yang lebih rumit, seperti manifold, atau, atau apapun.
Strogatz (07:57): Jadi saya ingat, di a jalan Sesama episode yang biasa saya tonton bersama anak-anak saya. Itu ada di film; Saya pikir itu. Bahwa ada karakter yang sedang memesan ikan untuk ruangan yang penuh dengan penguin lapar. Dan dia meminta penguin untuk memanggil dan, dan mereka berkata, "Ikan, ikan, ikan, ikan, ikan, ikan." Dan kemudian pelayan memanggil ke dapur, "Ikan, ikan, ikan, ikan, ikan." Dan kemudian orang lain berkata, "Tidak, Anda salah." Dan orang lain berkata, "Mengapa Anda tidak mengatakan mereka memesan enam ikan saja?" Tapi itu menunjukkan bahwa gagasan tentang sejumlah jenis ini muncul setelah kumpulan objek ikan ini. Dan kemudian karakter lain terkejut dan berkata, โApakah ini bisa digunakan untuk busi? Dan roti gulung kayu manis?โ
Moore (08:42): Maksud saya, saya pikir juga, hanya saja jika Anda tertarik untuk mencoba memahami, dapatkah Anda membuktikannya? Atau bisakah Anda membuktikannya? Dan Anda mencoba menetapkan aturan tentang bagaimana Anda akan membuktikan sesuatu atau apa pun, Anda ingin prinsip dasarnya sesederhana mungkin. Jadi daripada mencoba menuliskan aturan tentang cara kerja aritmatika, Anda mulai dengan menuliskan aturan yang lebih sederhana untuk hal-hal yang lebih sederhana, lalu membangun aritmatika dari blok bangunan yang lebih mendasar ini.
Strogatz (09:08): Oke. Jadi, dan ini juga mengingatkan saya pada "Matematika Baru", ketika sebagai anak-anak di tahun 60-an, kita dulu belajar tentang persimpangan dan diagram Venn serta penyatuan, bukan? Itu adalah awal dari teori himpunan. Mereka mengajarkannya kepada kami di โ saya tidak ingat โ itu di kelas dua atau tiga; orang tua saya tidak tahu kenapa. Tapi, saya kira, ahli matematika seperti Anda, atau orang lain yang menganggap anak-anak harus belajar himpunan, baik sebelum atau pada saat yang sama mereka belajar tentang aritmatika.
Moore (09:33): Ya, sebagian besar yang dipelajari orang dalam teori himpunan, maksud saya, akhir-akhir ini adalah bagaimana himpunan tak terbatas bekerja. Karena intuisi kita tentang himpunan tak terbatas tidak sebaik intuisi kita tentang himpunan terbatas. Dan saya pikir itu banyak mengapa dorongan untuk yayasan ada di sana. Itu sebagian karena kami ingin menulis, OK, apa yang kami cukup yakin harus menjadi sifat dari himpunan tak terbatas dan himpunan secara umum, dan kemudian mencoba mengembangkan apa yang benar tentang himpunan tak terbatas dari sana?
Strogatz (10:03): Oke, jadi mengapa kita tidak memberikan beberapa contoh? Bisakah Anda memberi tahu saya beberapa contoh hal-hal yang merupakan himpunan tak terbatas?
Moore (10:08): Nah, seperti bilangan asli. Seperti yang Anda katakan - seperti 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan seterusnya - tetapi juga hal-hal seperti bilangan rasional. Anda tahu, pecahan seperti dua bilangan asli satu sama lain, atau mungkin pecahan negatif. Namun ada juga hal-hal seperti bilangan real, di mana โ Anda tahu, apa pun yang dapat Anda ungkapkan dengan desimal, termasuk hal-hal seperti pi dan e.
Strogatz (10:28): Mm-hmm. Jadi mereka bisa memiliki banyak digit tak terhingga setelah titik desimal.
Moore (10:32): Ya, ya, tak terhingga banyaknya digit. Mereka tidak perlu mengulang.
Strogatz (10:35): Aduh. Dan bagaimana dengan hal-hal seperti bentuk atau titik atau benda geometris, bukan hanya benda numerik?
Moore (10:41): Ya, Anda juga bisa berbicara tentang kumpulan bentuk geometris.
Strogatz (10:45): Oke, jadi ini adalah fitur yang bagus dari himpunan: bahwa kita dapat, dengan himpunan, menyatukan atau setidaknya memiliki bahasa yang sama untuk berbicara tentang aritmatika, geometri, โฆ .
Moore (10:54): Benar.
Strogatz (10:55): Saya kira kita dapat berbicara tentang sekumpulan fungsi, jika kita mengikuti kursus prakalkulus. Anda tahu, seperti himpunan dari himpunan fungsi kontinu, jika kita mengikuti mata kuliah kalkulus.
Moore (11:04): Tentu. Ya.
Strogatz (11:05): Atau terserah. Jadi ya, jadi ini memberi kita bahasa yang sama untuk semua bagian matematika yang berbeda.
Moore (11:09): Benar.
Strogatz (11:10): Dan โ tetapi ini adalah ide yang relatif baru sebagai dasar matematika dalam kaitannya dengan keseluruhan sejarah matematika, bukan begitu?
Moore (11:16): Ya, maksud saya, sayaโฆ Nah, matematika modern seperti yang kita kenal, kira-kira berusia antara 100 dan 150 tahun. Tapi saya biasanya mengaitkannya - bagian pertama dari abad terakhir adalah ketika, sungguh, kita mulai melihat semua bagian utama matematika seperti yang kita kenal sekarang mulai berkembang dan benar-benar menjadi mata pelajaran tersendiri. Dan itu juga sekitar waktu yang sama ketika [Bertrand] Russell menemukan paradoksnya, yang mendorong perlunya semacam dasar yang kuat untuk matematika.
Strogatz (11:49): Eh, ya. Kami harus menyebutkan - ya. Jadi Bertrand Russell, yang sedang kita bicarakan sekarang, seringkali lebih dikenal sebagai filsuf atau pasifis, namun dia adalah ahli matematika dan ahli logika yang cukup kuat, seseorang yang tertarik pada logika sebagai bagian dari matematika.
Moore: Ya, ya.
Strogatz (12:04): Jadi seperti yang Anda katakan, dia adalah salah satu orang yang membantu membuat teori himpunan benar-benar bergulir. Dan bahkan sebelum dia, ada pria ini, Georg Penyanyi, yang akan kita bicarakan sedikit, di Jerman pada akhir 1800-an.
(12:17): Oke, jadi bagaimana dalam matematika, katakanlah, apakah matematikawan menggunakan tak terhingga? Anda menyebutkan betapa bermanfaatnya itu. Di mana itu bisa digunakan?
Moore (12:27): Ya, jadi, di kelas kalkulus, ini adalah simbol yang berguna untuk melakukan kalkulasi tertentu. Berbicara tentang bagaimana suatu fungsi berperilaku saat input menjadi sangat besar. Anda dapat berbicara tentang batas tak terhingga, atau rasio jumlah sebagai angka menuju nol atau tak terhingga atau sesuatu seperti itu. Itu adalah gagasan tentang ketidakterbatasan yang dalam pengertian pertama yang saya sebutkan, di mana Anda melihat ketidakterbatasan sebagai titik ideal di akhir baris.
(12:53) Tetapi Anda juga dapat membicarakannya sebagai โ Anda tahu, Anda dapat, Anda dapat berbicara tentang menghitung jumlah elemen dari beberapa kumpulan atau kumpulan, dan melacak berapa banyak elemen yang dimilikinya atau mungkin, jika memiliki banyak elemen tak terhingga, mencoba membedakan antara berbagai ukuran tak terhingga. Maksud saya, semua orang mengerti โ atau berpura-pura mengerti โ perbedaan antara terbatas dan tidak terbatas. Dan saya pikir Penemuan luar biasa Cantor adalah bahwa Anda dapat, untuk himpunan tak terbatas, Anda dapat membuat perbedaan lebih lanjut. Anda dapat membedakan antara apa yang disebut dapat dihitung dan apa yang disebut tidak dapat dihitung. Atau bahkan secara umum, kardinal tak terhitung lebih tinggi daripada perbedaan antara kardinal tak terhitung lainnya.
Strogatz (13:34): Jadi oke, ayo pergi ke sana. Karena ini, ini benar-benar membawa kita ke inti subjek kita. Saya pikir rata-rata orang yang mendengar kata "dapat dihitung" untuk pertama kalinya mungkin berpikir itu berarti dapat dihitung secara harfiah, seperti sesuatu yang memiliki 10. Anda tahu, jika ada 10 busi di atas meja, saya dapat menghitungnya โ 1, 2, 3 , hingga 10. Tetapi Anda dan ahli matematika lainnya menggunakan countable untuk mengartikan sesuatu yang sedikit berbeda dari itu.
Moore (13:56): Ini hanya berarti Anda dapat menetapkan bilangan asli ke setiap elemen himpunan sehingga tidak ada bilangan asli yang digunakan dua kali.
Strogatz (13:56): Jadi sesuatu bisa dihitung dan tidak terbatas.
Moore (13:57): Dan tak terbatas. Jadi bilangan asli jelas dapat dihitung karena menghitung sendiri. Tapi mungkin yang sedikit kurang jelas adalah bahwa bilangan bulat termasuk negatif dari bilangan asli, yang dapat dihitung.
Strogatz (14:18): Jadi mari kita bicarakan itu sebentar. Jadi jika seseorang belum memikirkannya sebelumnya, itu menarik. Karena seperti โ begitu kata Anda, Anda akan mempertimbangkan semua angka, semua bilangan bulat positif, semua bilangan bulat negatif dan nol.
Moore (14:29): Ya.
Strogatz (14:30): Dan Anda bisa melakukan kesalahan. Seperti jika Anda mulai dari nol dan mulai menghitung ke kanan, dan Anda pergi 0, 1, 2, 3, Anda tidak akan pernah kembali ke angka negatif. Maka Anda akan gagal menghitung semua bilangan bulat.
Moore (14:41): Ya.
Strogatz: Tapi apa yang harus Anda lakukan?
Moore: Apa yang dapat Anda lakukan adalah, Anda dapat menghitung, Anda tahu, 0, 1, -1, lalu 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5. Dan jika Anda mencantumkannya dengan cara ini, pada akhirnya Anda mencantumkan semuanya.
Strogatz (14:55): Indah. Jadi argumen zig-zag di mana Anda melompat-lompat antara positif dan negatif adalah cara yang bagus, teratur, dan sistematis untuk menunjukkan bahwa jika Anda memikirkan bilangan bulat apa pun, pada akhirnya itu akan ada dalam daftar.
Moore: Ya. Ya.
Strogatz(15:07): Bagus sekali. Jadi oke, jadi bilangan bulatnya bisa dihitung. Cantor juga menemukan beberapa hal lain yang dapat dihitung โ saya tidak tahu apakah dia terkejut, tetapi banyak dari kita yang terkejut ketika pertama kali mengetahuinya. Seperti, seperti apa?
Moore (15:21): Ya, menurut saya dua contoh bagus yang mengejutkan adalah โ pertama, rasionalitas. Jadi kumpulan semua pecahan dari dua bilangan bulat dapat dihitung. Itu sebenarnya cukup mudah untuk dilihat ketika Anda, ketika Anda memikirkannya, karena Anda cukup mencantumkan semua pecahan dengan penyebut 1 โ atau pembilang dan penyebut nilai absolut paling banyak 1. Lalu, paling banyak 2, paling banyak 3, paling banyak 4 Dan pada setiap tahap, hanya ada banyak pecahan yang pembilang dan penyebutnya paling tidak besarnya paling banyak n. Dan kemudian Anda bisa menghabiskan semua rasionalitas dengan cara itu.
Strogatz (15:55): Jadi seperti, jika saya memilih angka n menjadi 3, Anda mengatakan saya dapat memiliki angka seperti 1/2 atau 2/1, atau 0/3, karena pembilang ditambah penyebutnya dijumlahkan ke 3?
Moore (16:06): Ya. Satu lagi, yang, sekali lagi, agak mengejutkan, adalah jika Anda mengambil jumlah kata yang dapat Anda tulis dalam alfabet Latin, atau alfabet apa pun yang Anda suka. Ada paling banyak kata hingga, atau rangkaian simbol hingga yang berasal dari alfabet ini. Jika Anda berpikir tentang semua kata atau semua kalimat, semua karya sastra, jika Anda suka โ
Strogatz: Oh.
Moore (16:30): โ segala sesuatu yang tidak hanya ada sekarang tetapi berpotensi ada di masa depan. Anda tahu, Anda menempatkan monyet-monyet yang jumlahnya tak terhingga itu di mesin tik dan melihat hasil apa yang dapat mereka hasilkan dalam waktu yang terbatas. Itu semua hanya satu set yang bisa dihitung.
Strogatz (16:44): Wah. Jadi semua kemungkinan buku, katakanlah, dalam bahasa Latin, dalam semua kemungkinan bahasa yang kita tahu?
Moore (16:50): Dalam semua kemungkinan bahasa. Ya. Maksud saya, jika Anda suka, Anda dapat memiliki alfabet yang dapat dihitung jika Anda mau. Itu tidak membuat sesuatu menjadi lebih besar.
Strogatz (16:56): Jadi terhitung akan tampak seperti tak terhingga yang sangat besar. Dan lagi -
Moore (16:59): Ya. Hal mengejutkan pertama adalah bahwa himpunan yang tampaknya lebih besar dari bilangan asli sebenarnya berukuran sama dengan bilangan asli. Mereka bisa dihitung. Tapi kemudian ada kejutan lain, yaitu bilangan real, himpunan bilangan desimal, tidak terhitung.
Strogatz (17:13): Jadi ada hal luar biasa yang Anda sebutkan bahwa mungkin ada himpunan yang tidak dapat dihitung. Dan saya kira, mungkin contoh yang paling sederhana adalah: Pikirkan sebuah garis yang mengarah ke tak terhingga di kedua arah. Jadi seperti garis lurus yang panjang tak terhingga. Garis nyata seperti yang kita sebut. Itu tidak terhitung.
Moore (17:32): Benar. Jika Anda, jika Anda menyerahkan kepada saya sebuah daftar, sebuah daftar konon dari semua elemen pada baris itu, ada prosedur yang disebut argumen diagonal, yang memungkinkan Anda menghasilkan titik baru yang ada pada baris tersebut, tetapi tidak pada daftar Anda. Itu adalah penemuan terkenal Cantor.
Strogatz (17:49): Jadi itu adalah penemuan yang benar-benar mencengangkan, saya kira pada saat itu, bukan? Bahwa sekarang Anda tiba-tiba dapat berbicara tentang dua set tak terbatas dan membandingkannya.
Moore (17:58): Ya, ya. Dan perbedaan antara yang dapat dihitung dan yang tidak dapat dihitung sangat berguna dalam matematika. Pada dasarnya, himpunan yang dapat dihitung, Anda masih dapat berbicara tentang jumlah yang panjangnya tak terbatas. Itu adalah sesuatu yang diajarkan pada akhir standar โ akhir kursus kalkulus semester kedua. Sedangkan penjumlahan dari himpunan tak terhitung kurang bermakna, atau setidaknya Anda harus mendefinisikannya dengan cara yang lebih rumit. Yang mengatakan, sesuatu yang lebih sejalan dengan integral atau sesuatu seperti itu.
Strogatz (18:30): Oke, jadi sekarang kita memiliki perbedaan yang dapat dihitung, seperti bilangan bulat โ 1, 2, 3, 4, 5 โ dan tidak dapat dihitung, seperti titik-titik pada garis. Ada pertanyaan lain yang menurut saya akan bagus jika kita bisa meluangkan waktu untuk itu. Disebut hipotesis kontinum. Bisakah Anda, bisakah Anda memberi tahu kami apa itu?
Moore (18:50): Ya. Jadi Cantor bertanya-tanya: Apakah ada sesuatu di antaranya? Anda bisa - Anda tahu, bilangan asli berada di dalam bilangan real, dan bilangan asli dapat dihitung. Bilangan real tidak terhitung dan lebih besar dari bilangan asli. Apakah ada himpunan bilangan real yang lebih besar dari bilangan asli, tetapi lebih kecil dari โ
Strogatz (19:10): Lebih kecil dalam pengertian penghitungan ini.
Moore (19:12): โ lebih kecil dari garis? Apakah ada sekumpulan titik pada garis itu, pada garis bilangan, yang lebih besar dari bilangan asli, lebih besar dari bilangan rasional, tetapi lebih kecil dari keseluruhan garis itu sendiri? Penegasan bahwa tidak ada himpunan perantara seperti itu disebut hipotesis kontinum. Dan itu adalah masalah pertama Hilbert, apakah hipotesis kontinum itu benar atau salah.
Strogatz (19:35): Uh huh, jadi Hilbert adalah ahli matematika yang hebat dalam hal ini - mungkin generasi yang lebih baru tetapi tidak lama kemudian. Dan pada tahun itu โ kira-kira tahun 1900, menurut saya โ dia mengumumkan atau memberikan daftar tentang apa yang menurutnya merupakan beberapa masalah terbesar di masa depan, pada titik yang harus dikerjakan oleh ahli matematika abad ke-20. Dan saya pikir ini adalah pertanyaan nomor satu dalam daftarnya?
Moore (19:58): Ya, ini pertanyaan nomor satu.
Strogatz (20:00): Wah. Jadi itu besar untuk berpikir tentang hal ini. Cantor, katamu, menyebutnya hipotesis. Dia pikir itu akan menjadi kenyataan.
Moore: Ya.
Strogatz (20:07): Bahwa tidak ada ketidakterbatasan yang dapat diapit di antara keduanya yang sudah dia ketahui
Moore (20:11): Ya. Dan masalahnya, itu bertahan dalam ujian mencari contoh tandingan. Maksud saya, jika Anda mulai melihat semua himpunan real, himpunan bagian dari baris yang dapat Anda tulis deskripsinya atau yang dapat Anda bangun dengan beberapa cara. Dia mencoba ini. Dan dia membuktikan, maksud saya, dia menunjukkan bahwa tidak ada contoh tandingan. Bahkan ada teorema sejak awal yang mengatakan bahwa himpunan jenis ini atau itu tidak bisa menjadi contoh tandingan.
Strogatz (20:40): Luar biasa. Biarkan saya memastikan saya mendapatkan ini. Saya belum pernah mendengar pernyataan ini: Hanya fakta bahwa beberapa dari mereka dapat dijelaskan membuat mereka, dalam arti tertentu, tidak cukup baik.
Moore (20:49): Misalnya, himpunan yang tertutup memiliki semua titik batasnya. Cantor membuktikan bahwa ini bukan contoh tandingan. Itu bisa dihitung atau memiliki ukuran yang sama dengan real.
Strogatz (21:00): Jadi kalau ada contoh tandingan, itu harus tidak terlukiskan.
Moore (21:04): Ya, pasti rumit.
Strogatz (21:06): Wah. Tapi tentu saja, mungkin ada satu, hanya saja itu akan menjadi hal yang sangat aneh.
Moore (21:12): Ya. Jadi hal semacam itu membawa kita ke sesuatu yang kembali ke pertanyaan mendasar ini. Anda tahu, sekitar waktu itu mereka mulai mencoba memformalkan apa itu aksioma matematika. Dan beberapa waktu kemudian, sekitar โ pada tahun 1930-an, [Kurt] Gรถdel membuktikan bahwa sebenarnya sistem aksioma apa pun yang dapat dipahami yang mungkin Anda miliki yang mencapai tujuan sederhana untuk memformalkan aritmatika pada bilangan asli, belum tentu tidak lengkap. Ada pernyataan yang tidak dapat Anda buktikan dari sistem aksioma ini, dan Anda tidak dapat menyangkalnya dari aksioma, dengan menggunakan bukti terbatas standar.
(21:52) Dan ini, menurut saya, cukup mengejutkan. Karena itu memberi tahu Anda bahwa tujuan entah bagaimana secara algoritmik mencoba menyelesaikan semua masalah Anda dalam matematika dan menghasilkan semacam fondasi algoritmik, beberapa fondasi matematika yang lengkap, dalam beberapa hal, akan hancur. Atau setidaknya harus diatur oleh intuisi yang lebih tinggi di luar - saya tidak tahu - apa yang tersedia pada saat itu.
(22:16) Dan apa yang dibuktikan Gรถdel โ salah satu hal yang dia buktikan kemudian adalah bahwa salah satu pernyataan yang tidak dapat Anda buktikan atau bantah adalah pernyataan bahwa sistem aksioma Anda konsisten sejak awal. Agar tidak menimbulkan kontradiksi. Pernyataan itu dapat dikodekan sebagai semacam pernyataan tentang teori bilangan, tentang aritmatika pada bilangan asli, tetapi tidak dengan cara yang sangat alami. Jika Anda pergi dan berbicara dengan salah satu ahli teori bilangan di departemen, mereka tidak akan menganggapnya sebagai masalah atau pernyataan teori bilangan, meskipun secara teknis demikian. Dan begitulah โ pertanyaan yang tersisa dari zaman Gรถdel adalah apakah hipotesis kontinum โ atau apakah ada pernyataan matematis alami lainnya, yang tidak dapat diputuskan berdasarkan sistem aksioma tempat kami bekerja.
Strogatz (23:02): Jadi ada konsep aksioma ini. Kita mungkin harus mencoba mengingat seperti apa bentuknya. Karena jika kita melakukan matematika dengan sangat hati-hati, kita harus meletakkan beberapa definisi, tetapi juga beberapa hal yang kita anggap โ saya tidak tahu mengapa saya tidak ingin mengatakan "kami menerima begitu saja", tetapi kami menerimanya sebagai batuan dasar.
Moore (23:19): Ya, ya. Jadi ini, maksud saya, ini adalah sesuatu yang dilakukan orang Yunani, yaitu, Anda tahu โ salah satu pencapaian dalam memformalkan geometri โ adalah, daripada mencoba mendefinisikan apa itu geometri, lihatlah sebagai: Anda adalah akan menuliskan beberapa istilah yang tidak terdefinisi, dan kemudian menuliskan aturan atau aksioma yang mengatur bagaimana perilaku istilah yang tidak terdefinisi ini. Bagi mereka, itu adalah hal-hal seperti titik dan garis. Dan ketika suatu titik berada pada garis, itu adalah konsep yang tidak terdefinisi. Dan ketika sebuah titik berada di antara dua titik lainnya pada sebuah garis, itu adalah konsep yang tidak terdefinisi. Dan kemudian Anda menuliskan satu set aksioma yang mengatur bagaimana konsep ini bekerja. Dan jika Anda telah melakukannya dengan benar, maka semua orang setuju bahwa sifat-sifat ini jelas benar untuk hal-hal ini. Dan karena itu, aksioma-aksioma ini adalah hal-hal yang terbukti dengan sendirinya benar.
(23:19) Jadi untuk geometri, Anda tahu, ada postulat paralel yang terkenal ini, yang โ Anda tidak dapat menurunkannya dari yang lain. Dan itu agak revolusioner, ketika ditemukan bahwa Anda benar-benar dapat membangun model geometri yang memenuhi semua aksioma tetapi tidak memenuhi postulat paralel. Dan karena itu, postulat paralel tidak dapat dibuktikan dari aksioma lainnya. Jadi dalam arti tertentu, apa yang telah dilakukan Gรถdel adalah mengembangkan metode untuk melakukan itu, tetapi pada tingkat model matematika, atau setidaknya model sistem aksioma yang kita miliki untuk matematika.
Strogatz (24:45): Aha, itu cara yang menarik untuk mengatakannya. Jadi, seperti, di mana kita memiliki geometri Euclidean dan kemudian kita juga memiliki geometri non-Euclidean bermodel baru yang, terkenal, digunakan Einstein dalam relativitas umum, tetapi juga digunakan di tempat lain. Dan mereka secara logis sama bagusnya dengan geometri Euclidean. Tapi sekarang alih-alih hanya berbicara tentang geometri, Anda mengatakan itu seperti kita bisa memiliki yang tradisional - yah, saya tidak yakin apa kata-katanya. Apa analogi geometri Euclidean? Apakah ada matematika tradisional?
Moore (25:16): Itu pertanyaan terbuka. Maksud saya, maksud saya - saya pikir itu sebagian pertanyaan filosofis. Mungkin ini pertanyaan sosiologis, karena soal matematika itu apa ya? Itu kembali ke pertanyaan mendasar itu. Dan saya pikir aksioma yang kita miliki aksioma ZFC yang dikembangkan lebih dari 100 tahun yang lalu, adalah aksioma yang umumnya kita setujui bahwa ini benar, atau ini adalah, ini adalah properti yang seharusnya "diatur", tetapi mereka ' kembali tidak lengkap.
Strogatz (25:44): Baiklah, tunggu, mari kita bongkar semuanya. Boleh juga. Jadi ZFC, mengapa kita tidak memulainya saja? Itu adalah nama beberapa orang dan sesuatu.
Moore (25:51): Ya, ya. โTeori himpunan Zermelo-Fraenkelโ dengan sesuatu yang disebut โaksioma pilihanโ. Ya.
Strogatz (25:55): Oke. Dan itulah aturan main yang diterima secara luas.
Moore (25:59): Ya, ini adalah daftar aksioma yang โ agak panjang, tapi tidak terlalu panjang. Hal-hal seperti, jika Anda memiliki dua himpunan, ada himpunan yang memiliki keduanya sebagai elemennya. Aksioma pasangan, bahwa Anda dapat mengambil penyatuan kumpulan kumpulan, dan itu adalah kumpulan. Dan seterusnya.
Strogatz (26:15): Oke. Jadi ada cara ZFC melakukan teori himpunan, dan itu, Anda katakan, diusulkan pada waktu tertentu dan orang-orang menyukainya, tetapi kemudian Anda mengatakan itu tidak lengkap?
Moore (26:26): Ya. Jadi itu adalah sesuatu yang bisa Anda tulis. Sebuah algoritma komputer untuk daftar aksioma. Ini adalah kumpulan aksioma yang tak terbatas. Tapi dengan pengecualian dari dua kelompok aksioma, itu terbatas. Jika Anda tidak memperhatikan, Anda akan benar-benar berpikir bahwa ini, masing-masing kelompok aksioma lainnya adalah aksioma tunggal. Tapi mereka sebenarnya adalah keluarga aksioma yang tak terbatas. Anda dapat membuat program komputer yang akan mengeluarkan semua aksioma. Kami cenderung percaya bahwa ZFC konsisten karena kami tidak menemukan kontradiksi apapun. Jika Anda percaya itu, maka dengan teorema ketidaklengkapan Gรถdel, ZFC tidak akan dapat membuktikan bahwa itu konsisten.
(27:03) Jadi ada pernyataan, seperti konsistensi ZFC, yang tidak dapat dibuktikan oleh ZFC. Itu poin yang menarik. Karena sekali lagi, kami yakin ZFC konsisten. Dan itulah, maksud saya, salah satu alasan mengapa, maksud sayaโฆ Kebanyakan ahli matematika, mereka akan bekerja didasarkan pada keyakinan bahwa CFC konsisten. Benar? Tapi itu sesuatu yang kami anggap sebagai pernyataan yang benar. Tapi itu bukanlah sesuatu yang cukup dibuktikan oleh ZFC sendiri.
Strogatz (27:27): Saya hanya berpikir. Sepanjang jalan di sini, kami telah menyebutkan Gรถdel. Saya tidak tahu bahwa kami telah mengatakan siapa dia. Apakah Anda ingin memberi tahu kami secara singkat?
Moore (27:34) Ya, benar. Maksud saya, dia semacam ahli logika revolusioner. Ini, Teorema Ketidaklengkapan adalah salah satu pencapaian utamanya. Dan pencapaian besarnya yang lain adalah menunjukkan bahwa hipotesis kontinum tidak dapat dibantah dengan menggunakan aksioma ZFC.
Strogatz (27:49): Beberapa orang menganggapnya sebagai ahli logika terhebat sejak Aristoteles. Dan Einstein, yang merupakan teman dan koleganya di Institute for Advanced Study, berkata bahwa dia senang memiliki hak istimewa untuk bekerja bersama Kurt Godel. Maksud saya, dia berada di liga intelektual yang sama dengan Einstein. Jika Anda belum pernah mendengarnya, saya sarankan Anda melihat buku tentang dia berjudul Perjalanan ke Ujung Nalar. Buku hebat tentang kehidupan Gรถdel. Tapi oke, jadi dia, benar, jadi dia ahli logika abad ke-20, awal abad ke-20. Dan Anda mengatakan dia membuktikan itu - yah, katakan lagi tentang hipotesis kontinum?
Moore (28:23): Dalam model teori himpunan apa pun, ia membangun model teori himpunan yang lebih kecil yang memenuhi hipotesis kontinum. Dan hal itu menunjukkan bahwa Anda tidak dapat menyangkal hipotesis kontinum dalam aksioma teori himpunan. Dari satu model teori himpunan, jika Anda memilikinya, maka saya dapat menghasilkan yang baru, yang memenuhi hipotesis kontinum.
Strogatz (28:43): Saya mengerti. Jadi mungkin ada versi teori himpunan, semacam versi yang lebih kecil, yang masih cukup untuk melakukan aritmatika, menurut saya.
Moore: Ya.
Strogatz (28:51): Tapi di mana, oke, hipotesis kontinum itu benar, seperti yang ditebak Cantor.
Moore: Ya.
Strogatz (28:56): Lalu. Tapi kemudian โ ada "tetapi" besar untuk cerita ini.
Moore (28:59): Ya. Bertahun-tahun kemudian, [Paulus] Cohen mengembangkan teknik yang disebut memaksa yang memungkinkan dia untuk memperbesar model teori himpunan. Dan dengan menggunakan ini, dia membuktikan bahwa Anda tidak dapat membuktikan hipotesis kontinum. Kecuali tekniknya juga bisa digunakan untuk membuktikan bahwa Anda tidak bisa membantahnya. Ini, ya, teknik yang disebut pemaksaan ini benar-benar, sangat ampuh. Memaksa dan teknik membangun model yang lebih kecil dalam model teori himpunan Anda. Ini adalah dua alat yang kami miliki untuk membangun model teori himpunan baru dari model teori himpunan lama.
Moore (29:32): Kembali ke analogi geometri. Maksud saya, bahkan model bidang hiperbolik ini, yang merupakan model geometri non-Euclidean - model itu sendiri dimulai dengan mengambil bidang Euclidean atau subhimpunannya dan membangun model geometri seperti titik dan garis di sana. Poin-poin tersebut hanyalah poin biasa pada disk ini. Dan garis-garis itu adalah lingkaran-lingkaran, lingkaran-lingkaran tertentu dalam geometri aslinya. Poin yang saya coba sampaikan adalah bahwa ini adalah hal yang bermanfaat yang Anda lakukan dalam matematika. Anda seringkali mulai dengan beberapa struktur yang memenuhi sistem aksioma Anda, seperti geometri yang memenuhi aksioma geometri Anda, dan Anda memanipulasinya entah bagaimana dan menghasilkan sesuatu yang baru, yang mungkin memenuhi serangkaian aksioma yang berbeda. Itulah yang Cohen dan Gรถdel lakukan, adalah bahwa mereka mengambil model aksioma teori himpunan - dan karenanya, dalam arti tertentu, model matematika - dan memanipulasinya menggunakan berbagai teknik untuk menghasilkan model baru, yang memuaskan baik itu hipotesis kontinum benar, atau bahwa hipotesis kontinum salah.
Strogatz (30:36): Jadi ini sangat menakjubkan bagi saya, dan saya yakin bagi banyak orang bahwa, Anda tahuโฆ Seperti, Plato memiliki filosofi bahwa, bahwa ada bentuk ideal tertentu di luar sana dan kebenaran yang โ mungkin kita bisa Saya tidak melihat mereka di Bumi ini, tetapi di beberapa alam Platonis, kebenaran mereka ada.
Moore: Ya, ya.
Strogatz (30:57): Dan Anda akan merasa bahwa bilangan real itu ada, apakah manusia memikirkannya atau tidak, dan bahwa hipotesis kontinum itu benar untuk bilangan real, atau tidak. Tapi kau memberitahuku?
Moore (31:09): Maksud saya, ya, ada aliran pemikiran yang berbeda tentang ini. Maksud saya, Anda tidak bisa โ Anda dapat melihatnya sebagai, ada hal yang menurut saya ada di bawah namanya, pandangan multiverse umum, bahwa tidak ada lagi yang dapat Anda katakan. Hanya ada semua model teori himpunan ini. Dan hal terbaik yang bisa kita lakukan adalah mencoba memahami apa yang benar di masing-masingnya dan bergerak di antara keduanya. Dan itu adalah pandangan yang sangat non-Platonis, semacam pandangan formalis tentang sesuatu. Anda mungkin juga mengambil sudut pandang bahwa ada beberapa model teori himpunan yang mungkin lebih disukai. Yaitu, Anda tahu, kenyataan di mana kita hidup, dan semua model lainnya ini, mereka adalah model aksioma, tetapi sebenarnya bukan itu yang ingin kami gambarkan dengan aksioma. Saya pikir analogi dengan geometri agak ilustratif di sana, bukan? Maksud saya, Anda dapat menghasilkan banyak model geometri yang berbeda. Tapi kita masih hidup di dunia fisik yang memiliki geometri dan mungkin itulah geometri yang paling kita pedulikan.
Strogatz (32:03): Begitu. Jadi dengan cara yang sama kita dapat memberikan geometri Euclidean beberapa status yang disukai karena itulah yang biasa kita lakukan. Ini adalah salah satu yang sudah lama ada, karena ini adalah yang paling mudah dan paling jelas, tetapi menurut kami yang lain ini bagus, dan mereka memiliki domain yang berguna dan menarik.
Moore (32:20): Tapi mungkin hal yang juga perlu ditunjukkan di sana adalah bahwa bahkan pemahaman kita tentang โ Yah, pertama, saya tidak yakin bahwa kita hidup dalam geometri Euclidean. Tapi ada, ada pertanyaan tentang itu. Tetapi bahkan pemahaman kita tentang dunia fisik sangat diperkaya dengan memahami semua geometri lain ini, eksplorasi bebas dari model geometri lainnya. Dan hal yang sama berlaku dengan teori himpunan. Saya pikir, bahkan jika di masa depan, kami menetapkan beberapa konsensus tentang apa itu aksioma baru untuk teori himpunan, mencapai tujuan itu adalah sesuatu yang pasti tidak akan mungkin terjadi tanpa semua eksplorasi yang terjadi sebelumnya.
Strogatz (33:00): Apa artinya membuktikan atau menyangkal hipotesis kontinum? Untuk masing-masing kamp ini? Apa yang dipertaruhkan?
Moore (33:08): Ya, itu โ Oke, jadi menurut saya kubu yang mengambil sudut pandang "semua dunia" semacam ini hanya akan mengatakan bahwa ini adalah pertanyaan yang tidak berarti. Bahwa Cohen dan Gรถdel dan teknik mereka untuk membangun banyak model teori himpunan adalah semacam akhir dari diskusi. Dan Anda tahu, kami mungkin akan menghasilkan banyak model teori himpunan baru, tetapi kami tidak akan pernah memiliki jawaban akhir untuk mengatakan bahwa hipotesis kontinum itu benar atau salah. Orang-orang yang mengambil sudut pandang bahwa ada semacam kebenaran atau kesalahan pada pernyataan itu, mungkin akan mencoba untuk menghasilkan beberapa aksioma baru dan mungkin beberapa pembenaran heuristik mengapa aksioma ini harus benar - baik heuristik atau mungkin pembenaran pragmatis. untuk mengapa itu benar. Dan kemudian setelah Anda berpendapat bahwa aksioma ini harus diterima, entah bagaimana itu merangkum beberapa intuisi yang kita miliki tentang matematika atau himpunan, maka jika aksioma ini juga membuktikan atau menyangkal hipotesis kontinum dalam semacam pengertian formal dari kata tersebut, maka Anda akan melihat bahwa CH itu benar atau salah.
Strogatz (34:12): Jadi di situlah kita sekarang. Bahwa memang ada dua kubu ini saat ini.
Moore (34:16): Ya, sampai taraf tertentu. Sudah begitu lama sejak hipotesis kontinum terbukti tidak dapat diputuskan berdasarkan aksioma, sehingga saya pikir sebagian besar matematikawan telah terbiasa dengan fakta bahwa mungkin hanya itu yang dapat Anda katakan. Dan saya pikir akan luar biasa pada titik ini jika matematikawan secara keseluruhan dapat menggunakan beberapa heuristik baru yang, Anda tahu, semua orang setuju bahwa itu benar. Dan mungkin itu tidak akan pernah terjadi. Mungkin, mungkin masyarakat memiliki terlalu banyak perbedaan pandangan di dalamnya. Agar adil, saya pikir itu - saya pikir ini adalah pandangan konsensus, tetapi bukan pandangan universal, bahwa ZFC adalah kumpulan aksioma sejati untuk matematika. Pasti ada orang yang berpandangan bahwa sesuatu yang tak terbatas itu tidak ada. Dan tidak masuk akal untuk membicarakannya dan kita tidak boleh membicarakannya.
Strogatz (35:05): Yah, itu tradisi yang dihormati waktu. Maksud saya, itu โ Aristoteles menyuruh kita untuk berhati-hati tentang ketidakterbatasan. Dan sepanjang sejarah matematika, orang bahkan sama hebatnya [Carl Friedrich] Gauss sangat berhati-hati tentang konsep ketidakterbatasan yang lengkap ini, yang mana Cantor membuka kaleng cacing ini untuk kita. Tapi saya tidak tahu kalau itu cacing. Sepertinya itu โ Anda tahu, apa salahnya? Itu karena kita melepaskan imajinasi kita dan menemukan banyak hal menarik.
(35:30) Tapi saya punya pertanyaan. Sebagai seseorang yang bukan ahli teori himpunan, saya tidak ingin menanyakannya dengan cara yang tidak sopan. Tapi itu mungkin terdengar sedikit tidak sopan, yang - Anda tahu ke mana saya pergi, bukan? Seperti, bagaimana ini mempengaruhi saya? Apakah sisa matematika merasakan getaran yang terjadi dalam teori himpunan? Atau apakah kami terisolasi dari apa yang kalian lakukan?
Moore (35:49): Itu pertanyaan yang bagus. Saya pikir sebagian besar ahli matematika tidak pernah menemukan pernyataan yang tidak dapat dibuktikan atau disangkal dalam sistem aksioma biasa untuk matematika di dalam ZFC. Dan ahli teori himpunan sampai taraf tertentu harus menemukan penjelasan untuk itu. Ada model teori himpunan yang lebih besar dari model asli Gรถdel tetapi lebih kecil dari semesta semua himpunan yang disebut model dasar padat, yang [Robert] Solovay ditemukan sekitar waktu kerja Cohen. Dan penemuan yang luar biasa adalah bahwa model ini โ apa yang benar di dalamnya tidak dapat dipengaruhi oleh pemaksaan. Dan oleh karena itu, pada dasarnya, jika Anda dapat mengatakan sesuatu tentang apa yang benar dalam model itu atau salah dalam model itu, itu adalah sesuatu yang sebagian besar kebal terhadap fenomena independensi.
(36:35) Tangkapannya adalah bahwa model teori himpunan ini tidak โ tidak memenuhi aksioma pilihan. Jadi aksioma pilihannya adalah โ ini adalah kaleng cacing lain di sini. Namun salah satu alasan mengapa aksioma pilihan berbeda dari aksioma lainnya adalah karena aksioma tersebut tidak konstruktif. Semua aksioma lainnya memberi tahu Anda bahwa beberapa himpunan yang Anda deskripsikan sebenarnya adalah himpunan. Begitulah cara kerja aksioma. Tetapi aksioma pilihan memberi tahu Anda bahwa dengan kumpulan kumpulan yang tidak kosong, Anda dapat memilih sesuatu dari masing-masingnya โ karenanya pilihan โ tetapi tidak memberi tahu Anda bagaimana Anda akan membuat pilihan. Ini adalah aksioma yang, di satu sisi, memungkinkan kami membangun segala macam hal aneh dan paradoks. Anda tahu, saya kira, kira-kira 100 tahun yang lalu, seperti himpunan yang tidak terukur, apa pun itu. Ada penguraian bola yang terkenal ini, itu Paradoks Banach-Tarski, itu -
Strogatz (37:29): Oh, ini menarik.
Moore (37:32): โ Anda dapat memotong bola menjadi banyak bagian, dan kemudian menyusunnya kembali menjadi dua bola dengan dimensi yang sama dari bola aslinya. Dan sekarang alasan mengapa itu tidak masuk akal adalah bahwa Anda harus dapat menetapkan massa ke masing-masing โ Anda tahu, ke bola asli, dan kemudian menetapkan massa ke semua bagian yang dapat Anda potong menjadi, dan itu harus menambahkan hingga massa asli. Dan kemudian saat Anda mengatur ulang, proses itu seharusnya tidak mengubah massa. Tapi entah bagaimana, saat Anda memasangnya kembali, Anda memiliki massa dua kali lipat dari yang Anda mulai. Sekarang, poin dalam argumen itu - di mana ada yang salah adalah pemotongan bola yang memungkinkan Anda melakukannya dengan aksioma pilihan sangat buruk sehingga Anda tidak dapat menetapkan massa pada potongan-potongan yang Anda miliki ini.
(38:11) Sekarang, perilaku paradoks itu membuat orang berpikir bahwa aksioma pilihan entah bagaimana mungkin bermasalah. Mungkin itu, itu akan mengarah pada semacam paradoks dalam matematika itu sendiri. Dan karena itu, aksioma pilihan tidak boleh diterima. Salah satu hal yang dibuktikan Gรถdel pada saat yang sama ketika dia membuktikan bahwa Anda tidak dapat menyangkal hipotesis kontinum, adalah aman juga untuk mengasumsikan aksioma pilihan. Artinya, jika aksioma ZFC tanpa aksioma pilihan konsisten, maka demikian pula himpunan aksioma ZFC dengan aksioma pilihan. Ini memberi Anda banyak hal aneh dan eksotis, mungkin, tapi dari sudut pandang mendasar, itu tidak mencemari air.
(38:51) Beberapa waktu kemudian, ditemukan hal yang disebut lemma Zorn, yang ternyata setara dengan aksioma pilihan. Dan itu sangat bermanfaat untuk mengembangkan banyak cabang matematika yang berbeda. Itu adalah sesuatu yang โ Anda mempelajarinya jika Anda seorang sarjana tingkat lanjut, atau jika Anda seorang mahasiswa pascasarjana di bidang matematika. Itu entah bagaimana bagian dari pembelajaran yang diperlukan untuk gelar sarjana dalam matematika. Dan karena utilitas ekstrim ini, itu adalah sesuatu yang baru saja kami terima hari ini. Saya pikir sebagian besar ahli matematika tidak nyaman bekerja tanpa aksioma pilihan, hanya karena dalam banyak kasus mereka mungkin menggunakannya tanpa menyadarinya.
(39:31) Jadi saya pikir ini juga merupakan contoh bagaimana kita dapat menyelesaikan hipotesis kontinum. Itu karena kami menemukan beberapa aksioma di masa depan yang sangat berguna dalam mengembangkan matematika lebih jauh, sehingga kami hanya menganggap aksioma ini benar sampai tingkat tertentu. Itulah yang terjadi dengan lemma Zorn. Dan dengan aksioma pilihan, itu bukanlah sesuatu yang awalnya dianggap benar. Faktanya, itu awalnya dilihat dengan skeptis.
Strogatz (39:56): Tapi biarkan saya melihat apakah saya bisa, karena memangโฆ Sekarang kita telah berbicara banyak tentang aksioma pilihan: Hubungannya dengan hipotesis kontinum. Apakah ada cara bernas untuk mengatakan apa itu?
Moore (40:06): Anda tahu, aksioma pilihan dan hipotesis kontinum memiliki hubungan yang aneh karena keduanyaโฆ Oke, hipotesis kontinum, dari sudut pandang ahli teori himpunan, ini memungkinkan Anda membangun banyak hal eksotik . Ini memungkinkan Anda untuk melakukan konstruksi yang sangat panjang, bahkan tak terhitung panjang, di mana Anda melakukan semuanya dengan cara yang sangat terkontrol, cara algoritmik. Dan membangun beberapa objek aneh di mana Anda mempertahankan banyak kendali di sepanjang jalan. Dengan tidak adanya aksioma pilihan, hipotesis kontinum, seperti yang saya nyatakan pada awalnya, bahwa tidak ada seperangkat aturan yang menengah, itu adalah sesuatu yang tidak memiliki gigitan yang sama seolah-olah aksioma pilihan itu benar. Dan alasannya adalah, misalnya, dengan tidak adanya aksioma pilihan, Anda dapat berbicara tentang versi yang lebih kuat dari hipotesis kontinum. Seperti, setiap subhimpunan dari garis bilangan ini, garis bilangan real, bisa dihitung, atau ada salinan himpunan Cantor yang ada di dalamnya. Seperti, ada semacam pohon titik, pohon titik biner yang berada di dalam himpunan Anda. Dan ini adalah cara yang sangat konkret untuk mengatakan bahwa ia memiliki ukuran yang sama dengan bilangan real.
Strogatz (41:14): Jadi bagi kita semua dalam matematika di luar teori himpunan, haruskah kita kehilangan tidur selama - apa yang tampaknya - jenis status tak tentu pada saat hipotesis kontinum? Kami diberi tahu bahwa itu tidak dapat diputuskan dalam model standar teori himpunan. Anda tahu, apakah itu penting? Apakah itu mempengaruhi sisa matematika?
Moore (41:35): Kebanyakan jawabannya adalah tidak. Tapi itu tidak sepenuhnya diketahui. Hipotesis kontinum. Memang benar di Model Solovay, misalnya: Setiap himpunan real dapat dihitung atau ada himpunan real tertutup di dalamnya yang tidak dapat dihitung dan tidak memiliki titik terisolasi. Tetapi ada pernyataan yang muncul dalam matematika, pertanyaan yang muncul secara alami, secara organik di bidang lain, di mana ternyata mereka bergantung pada hipotesis kontinum atau sesuatu yang lain, yang tidak bergantung pada aksioma ZFC. Salah satu contohnya adalah sesuatu yang disebut batas medial, yang merupakan perangkat yang berguna dalam probabilitas dan beberapa bagian probabilitas untuk membatasi sesuatu dan tetap mempertahankan bahwa sesuatu dapat diukur. Batas medial adalah sesuatu yang dapat Anda buat menggunakan hipotesis kontinum, tetapi itu bukan sesuatu yang dapat Anda buat di ZFC.
Strogatz (42:27): Ini membuatku bahagia, harus kukatakan. Maksud saya, saya ingin percaya bahwa matematika adalah satu jaringan besar. Dan itu, seperti pepatah lama, โNo man is an island,โ dari siapapun, saya tidak tahu. Tapi bagaimanapun, saya tidak ingin ada bagian dari matematika menjadi sebuah pulau. Jadi saya benci untuk berpikir bahwa teori himpunan entah bagaimana - maksud saya, tidak ada yang akan mengatakannya, tetapi bahkan bagian yang berisi hipotesis kontinum, saya tidak ingin itu dipisahkan dari benua besar. Dan sepertinya tidak.
Moore (42:52): Benar. Jika Anda mengambil ruang Hilbert, dan Anda melihat operator terbatas, dan operator kompak, ini adalah aljabar objek yang dipelajari dengan baik yang dipelajari dalam matematika. Anda dapat mengambil hasil bagi mereka. Mempelajari apa yang disebut kelompok automorfisme itu adalah sesuatu yang mungkin ditanyakan oleh seorang matematikawan. Dan memang, Brown, Douglas dan Fillmore ditanya tentang itu di tahun 1970-an. Dan diketahui apakah hipotesis kontinum itu benar atau salah berkaitan dengan ada atau tidaknya automorfisme yang sangat rumit dari aljabar tersebut. Anda tahu, itu adalah objek standar dalam kursus analisis fungsional yang akan Anda ajarkan di tingkat pascasarjana. Dan ini adalah properti yang sangat, sangat mendasar dari objek ini.
(43:34) Tapi intinya adalah, ini adalah sesuatu yang, di permukaannya โ ini bukan masalah dalam teori himpunan. Ahli teori himpunan yang berbeda memiliki pandangan yang berbeda tentang mengapa subjek itu penting. Tetapi bagi saya, inilah mengapa subjeknya - untuk apa itu penting. Itu memainkan peran unik untuk memberi tahu Anda ketika Anda mengajukan pertanyaan yang mungkin tidak dapat diputuskan, berdasarkan aksioma. Karena Anda tidak ingin mempelajari masalah ini yang tidak dapat Anda putuskan tanpa keberhasilan selama bertahun-tahun. Dan jika seseorang dapat memberi tahu Anda bahwa, "Ya, Anda tidak akan pernah benar-benar menemukan solusi untuk masalah itu, karena Anda tidak dapat membuktikan atau menyangkalnya," bukan? Itu hal yang baik untuk diketahui.
Strogatz (44:13): Baiklah. Nah, bagi saya ini pesan yang sangat menggembirakan yang Anda berikan, Justin, bahwa - John Donne! Itulah nama yang saya cari, John Donne. Dan katakanlah ini dengan cara modern: Tidak ada orang yang merupakan pulau. Dan sama dengan tidak ada bagian dari matematika. Ada - bahkan hal-hal yang tampak paling esoteris di luar jangkauan teori himpunan masih terkait dengan bagian matematika yang sangat membumi, kemungkinan besar, dalam analisis fungsional yang mendasari teori kuantum. Jadi, ini adalah berita baru bagi saya, dan saya hanya ingin berterima kasih karena telah mencerahkan kami. Ini sangat menyenangkan. Terima kasih.
Moore (44:46): Terima kasih telah menerima saya.
Penyiar (44:46): Jelajahi lebih banyak misteri matematika di Quanta Book Konspirasi bilangan prima, diterbitkan oleh The MIT Press, tersedia sekarang di Amazon.com, Barnesandnoble.com, atau toko buku lokal Anda. Juga, pastikan untuk memberi tahu teman Anda tentang podcast ini dan beri kami ulasan positif atau ikuti di mana Anda mendengarkan. Ini membantu orang menemukan Kegembiraan Mengapa.
Strogatz (45: 12): Kegembiraan Mengapa adalah podcast dari Majalah Quanta, sebuah publikasi independen editorial yang didukung oleh Simons Foundation. Keputusan pendanaan oleh Simons Foundation tidak memengaruhi pemilihan topik, tamu, atau keputusan editorial lainnya di podcast ini atau di Majalah Quanta. Kegembiraan Mengapa diproduksi oleh Susan Valot dan Polly Stryker. Editor kami adalah John Rennie dan Thomas Lin, didukung oleh Matt Carlstrom, Annie Melcher dan Zach Savitsky. Musik tema kami disusun oleh Richie Johnson, Julian Lin muncul dengan nama podcast. Seni episode oleh Peter Greenwood dan logo kami oleh Jaki King. Terima kasih khusus kepada Burt Odom-Reed di Cornell Broadcast Studios. Saya tuan rumah Anda Steve Strogatz. Jika Anda memiliki pertanyaan atau komentar untuk kami, silakan kirim email kepada kami di Terima kasih untuk mendengarkan.
- Konten Bertenaga SEO & Distribusi PR. Dapatkan Amplifikasi Hari Ini.
- Platoblockchain. Intelijen Metaverse Web3. Pengetahuan Diperkuat. Akses Di Sini.
- Mencetak Masa Depan bersama Adryenn Ashley. Akses Di Sini.
- Sumber: https://www.quantamagazine.org/how-can-some-infinities-be-bigger-than-others-20230419/
- :memiliki
- :adalah
- ][P
- $NAIK
- 1
- 10
- 100
- 11
- 28
- 39
- 7
- 8
- a
- Sanggup
- Tentang Kami
- tentang itu
- Mutlak
- AC
- Setuju
- prestasi
- prestasi
- sebenarnya
- maju
- mempengaruhi
- Setelah
- algoritma
- algoritmik
- secara algoritmik
- Semua
- memungkinkan
- sepanjang
- Alfabet
- sudah
- Meskipun
- menakjubkan
- jumlah
- analisis
- Kuno
- dan
- mengumumkan
- Lain
- menjawab
- Apa pun
- aplikasi
- Apple
- aplikasi
- ADALAH
- membantah
- argumen
- sekitar
- tiba
- Seni
- AS
- Menghubungkan
- At
- perhatian
- tersedia
- rata-rata
- kembali
- Buruk
- mendasarkan
- berdasarkan
- dasar
- Pada dasarnya
- BE
- indah
- karena
- menjadi
- menjadi
- menjadi
- sebelum
- Awal
- makhluk
- Percaya
- Berkeley
- Bertrand
- TERBAIK
- Lebih baik
- antara
- Luar
- Besar
- lebih besar
- Terbesar
- Bit
- Blok
- Book
- Buku-buku
- cabang
- secara singkat
- Membawa
- menyiarkan
- membangun
- Bangunan
- dibakar
- by
- perhitungan
- panggilan
- bernama
- Panggilan
- cambridge
- Kamp
- CAN
- tidak bisa
- yang
- hati-hati
- Carl
- kasus
- lepas
- gulat
- Abad
- tertentu
- Pasti
- perubahan
- karakter
- Charles
- pilihan
- lingkaran
- kelas
- jelas
- tertutup
- rekan
- koleksi
- koleksi
- bagaimana
- nyaman
- kedatangan
- komentar
- Umum
- masyarakat
- membandingkan
- lengkap
- Lengkap
- rumit
- tersusun
- komputer
- konsep
- konsep
- Konsensus
- Mempertimbangkan
- konsisten
- membangun
- konstruksi
- konstruktif
- mengandung
- benua
- kontinu
- Rangkaian kesatuan
- kontrol
- dikendalikan
- kontroversial
- Percakapan
- bisa
- Melawan
- Kelas
- dibuat
- ingin tahu
- Memotong
- pemotongan
- Hari
- memutuskan
- keputusan
- mendalam
- lebih dalam
- Derajat
- Departemen
- tergantung
- menggambarkan
- deskripsi
- tujuan
- mengembangkan
- dikembangkan
- berkembang
- alat
- diagram
- MELAKUKAN
- berbeda
- digit
- ukuran
- penyingkapan
- menemukan
- ditemukan
- menemukan
- penemuan
- membahas
- mendiskusikan
- diskusi
- berbeda
- membedakan
- Tidak
- melakukan
- domain
- Dont
- Doomed
- pintu
- dua kali lipat
- turun
- mendorong
- setiap
- Awal
- bumi
- termudah
- Tepi
- Tajuk rencana
- antara
- elemen
- elemen
- Tak berujung
- cukup
- diperkaya
- sepenuhnya
- Setara
- dasarnya
- Bahkan
- akhirnya
- Setiap
- semua orang
- segala sesuatu
- berkembang
- persis
- contoh
- contoh
- Kecuali
- pengecualian
- gembira
- menunjukkan
- ada
- Eksotik
- penjelasan
- eksplorasi
- menyelidiki
- ekspres
- tambahan
- ekstrim
- kain
- Menghadapi
- Gagal
- adil
- hampir
- iman
- keluarga
- terkenal
- terkenal
- FAST
- Favorit
- ketakutan
- Fitur
- sesama
- beberapa
- Fields
- terakhir
- Menemukan
- Pertama
- pertama kali
- Ikan
- mengikuti
- Untuk
- selama-lamanya
- resmi
- Secara formal
- bentuk
- Prinsip Dasar
- Foundations
- pecahan
- Gratis
- teman
- teman
- dari
- penuh
- kesenangan
- fungsi
- fungsionil
- fungsi
- pendanaan
- lebih lanjut
- masa depan
- permainan
- Umum
- umumnya
- menghasilkan
- generasi
- murah hati
- Jerman
- mendapatkan
- mendapatkan
- Memberikan
- diberikan
- memberikan
- Pemberian
- Go
- tujuan
- Pergi
- akan
- baik
- kelas
- lulus
- diberikan
- besar
- terbesar
- sangat
- Yunani
- Greenwood
- Kelompok
- menebak
- tamu
- tangan
- terjadi
- terjadi
- Kejadian
- senang
- Memiliki
- memiliki
- he
- kepala
- mendengar
- pendengaran
- Hati
- membantu
- bermanfaat
- membantu
- di sini
- lebih tinggi
- melihat ke belakang
- sejarah
- berharap
- tuan rumah
- Seterpercayaapakah Olymp Trade? Kesimpulan
- HTTPS
- manusia
- Lapar
- i
- ide
- ideal
- Ilusi
- imajinasi
- pentingnya
- penting
- in
- Di lain
- memasukkan
- Termasuk
- kemerdekaan
- independen
- Tak terbatas
- Angka tak terbatas
- mempengaruhi
- terpengaruh
- mulanya
- memasukkan
- contoh
- sebagai gantinya
- Lembaga
- integral
- integritas
- cendekiawan
- tertarik
- menarik
- kepentingan
- memperkenalkan
- Ironisnya
- pulau
- terpencil
- masalah
- IT
- NYA
- Diri
- John
- Johnson
- bergabung
- Justin
- Menjaga
- pemeliharaan
- Anak
- anak
- Jenis
- King
- Tahu
- Mengetahui
- dikenal
- bahasa
- Bahasa
- besar
- sebagian besar
- lebih besar
- terbesar
- Terakhir
- Terlambat
- Latin
- memimpin
- Liga
- BELAJAR
- belajar
- pengetahuan
- Dipimpin
- kata pengantar singkat
- Panjang
- membiarkan
- Tingkat
- Hidup
- 'like'
- MEMBATASI
- batas
- baris
- baris
- terkait
- Daftar
- Listening
- literatur
- sedikit
- hidup
- hidup
- lokal
- logo
- Panjang
- melihat
- terlihat seperti
- mencari
- kehilangan
- Lot
- cinta
- dicintai
- terbuat
- majalah
- mempertahankan
- utama
- membuat
- MEMBUAT
- pria
- memanipulasi
- banyak
- banyak orang
- Massa
- massa
- matematika
- matematis
- matematika
- hal
- berarti
- cara
- mengukur
- mekanisme
- tersebut
- pesan
- metode
- Menengah
- mungkin
- MIT
- model
- model
- modern
- saat
- lebih
- paling
- gerakan
- pindah
- film
- multiverse
- musik
- misterius
- nama
- nama
- Alam
- perlu
- Perlu
- negatif
- juga tidak
- New
- berita
- Gagasan
- jumlah
- nomor
- obyek
- objek
- Jelas
- of
- sering
- Tua
- on
- ONE
- Buka
- dibuka
- membuka
- operator
- biasa
- secara organik
- terorganisir
- asli
- semula
- Lainnya
- Lainnya
- kami
- di luar
- lebih
- secara keseluruhan
- sendiri
- pasangan
- Paradoks
- Paralel
- orangtua
- bagian
- khususnya
- bagian
- paul
- pembayaran
- Penguins
- Konsultan Ahli
- orang
- mungkin
- orang
- pribadi
- Petrus
- gejala
- filsafat
- fisik
- Fisika
- potongan-potongan
- Tempat
- Tempat
- plato
- Kecerdasan Data Plato
- Data Plato
- silahkan
- plus
- podcast
- Podcasting
- Titik
- Sudut pandang
- poin
- positif
- mungkin
- berpotensi
- kekuasaan
- kuat
- kekuatan
- pragmatis
- disukai
- pers
- cukup
- Perdana
- primitif
- prinsip-prinsip
- mungkin
- Masalah
- masalah
- proses
- menghasilkan
- Diproduksi
- Profesor
- program
- janji
- bukti
- properties
- milik
- diusulkan
- terlindung
- terbukti
- Rasakan itu
- terbukti
- membuktikan
- memberikan
- Publikasi
- diterbitkan
- menempatkan
- Majalah kuantitas
- Kuantum
- pertanyaan
- Pertanyaan
- menggalang
- agak
- Rasional
- RAY
- Mencapai
- nyata
- dunia nyata
- Kenyataan
- menyadari
- dunia
- alasan
- alasan
- sarankan
- terkait
- hubungan
- hubungan
- relatif
- keluarga
- sisa
- luar biasa
- ingat
- ulangi
- wajib
- penelitian
- menghormati
- ISTIRAHAT
- ulasan
- revolusioner
- keras
- ROBERT
- Peran
- bergulir
- gulungan
- Kamar
- aturan
- aman
- Tersebut
- sama
- puas
- mengatakan
- Skala
- Sekolah
- Ilmu
- Kedua
- detik
- tampaknya
- seleksi
- rasa
- terpisah
- set
- set
- menyelesaikan
- Lunas
- beberapa
- bentuk
- harus
- Menunjukkan
- ditunjukkan
- Pertunjukkan
- sisi
- menandatangani
- Sederhana
- sejak
- tunggal
- ENAM
- Ukuran
- ukuran
- Keraguan
- tidur
- kecil
- lebih kecil
- So
- padat
- larutan
- beberapa
- Seseorang
- sesuatu
- agak
- di suatu tempat
- Space
- percikan
- khusus
- Secara khusus
- menghabiskan
- Spotify
- Tahap
- taruhan
- standar
- awal
- mulai
- Mulai
- menyatakan
- Pernyataan
- Laporan
- Status
- Steve
- Masih
- Cerita
- lurus
- kuat
- lebih kuat
- struktur
- mahasiswa
- belajar
- studio
- Belajar
- Belajar
- subyek
- sukses
- seperti itu
- cukup
- Didukung
- Pasti
- mengherankan
- tercengang
- mengherankan
- Susan
- simbol
- sistem
- tabel
- Mengambil
- Dibutuhkan
- pengambilan
- Berbicara
- pembicaraan
- guru
- Pengajaran
- teknik
- remaja
- mengatakan
- istilah
- uji
- Terima kasih
- bahwa
- Grafik
- Masa depan
- Garis
- Dunia
- mereka
- Mereka
- tema
- diri
- Sana.
- karena itu
- Ini
- hal
- hal
- Pikir
- Ketiga
- pikir
- ribuan
- Melalui
- di seluruh
- waktu
- untuk
- hari ini
- terlalu
- alat
- Topik
- SAMA SEKALI
- jalur
- tradisi
- tradisional
- terlatih
- mengobati
- sangat
- benar
- kebenaran
- MENGHIDUPKAN
- Berbalik
- Dua kali
- tidak terdefinisi
- bawah
- memahami
- pemahaman
- mengerti
- serikat
- Serikat pekerja
- unik
- Universal
- Alam semesta
- universitas
- us
- menggunakan
- bekas
- biasanya
- kegunaan
- nilai
- berbagai
- View
- sudut pandang
- menunggu
- berjalan
- menginginkan
- Menonton
- air
- Cara..
- cara
- jaringan
- webp
- selamat datang
- BAIK
- Apa
- Apa itu
- apakah
- yang
- SIAPA
- siapapun
- seluruh
- sangat
- akan
- rela
- dengan
- dalam
- tanpa
- Word
- kata
- Kerja
- kerja
- bekerja
- dunia
- cacing
- cemas
- bernilai
- akan
- menulis
- penulisan
- Salah
- tahun
- tahun
- Kamu
- Anda
- diri
- zephyrnet.dll
- nol
- zoom