Tautan Pierre de Fermat ke Bukti Matematika Utama Siswa Sekolah Menengah | Majalah Kuanta

Seperti kebanyakan siswa matematika, saya memimpikan kehebatan matematika. Saya pikir saya sudah dekat sekali. Soal aljabar yang sulit di perguruan tinggi membuat saya harus bekerja hingga larut malam. Setelah berjam-jam berjuang, saya merasakan sebuah terobosan datang. Saya dengan cekatan memanipulasi ekspresi. Saya memfaktorkan, mengalikan, dan menyederhanakan, hingga penemuan saya akhirnya terungkap:

$lateks 1 + 1 = 2$.

Saya tidak bisa menahan tawa. Dunia telah mengetahui bahwa $lateks 1 + 1 = 2$, sehingga “teorema Honner” tidak berlaku. Meskipun banyak matematikawan muda yang mengalami kekecewaan karena tidak adanya terobosan, hal ini tetap luar biasa kisah Daniel Larsen membuat mimpi itu tetap hidup.

Larsen adalah seorang siswa sekolah menengah pada tahun 2022 ketika ia membuktikan hasil tentang suatu bilangan tertentu yang luput dari perhatian para ahli matematika selama beberapa dekade. Dia membuktikan bahwa bilangan Carmichael — sejenis bilangan yang tidak terlalu prima — dapat ditemukan lebih sering daripada yang diketahui sebelumnya, sehingga menghasilkan teorema baru yang selamanya akan dikaitkan dengan karyanya. Jadi, apa itu bilangan Carmichael? Untuk menjawabnya, kita perlu kembali ke masa lalu.

Nama Pierre de Fermat termasuk dalam salah satu teorema paling terkenal dalam matematika. Selama lebih dari 300 tahun, Teorema Terakhir Fermat berdiri sebagai simbol utama kehebatan matematika yang tidak dapat dicapai. Pada tahun 1600-an, Fermat menuliskan catatan tentang usulan teoremanya dalam sebuah buku yang sedang dibacanya, mengaku mengetahui cara membuktikannya tanpa memberikan rincian apa pun. Para matematikawan berusaha memecahkan masalah tersebut sendiri hingga tahun 1990-an, ketika Andrew Wiles akhirnya membuktikannya menggunakan teknik baru yang ditemukan ratusan tahun setelah kematian Fermat.

Namun “teorema kecil” Fermat yang berkaitan dengan bilangan Carmichael kurang terkenal. Inilah salah satu cara untuk menyatakannya:

Diberikan bilangan prima $lateks p$, maka untuk sembarang bilangan bulat $lateks a$, besaran $lateks a^p – a$ habis dibagi $lateks p$.

Misalnya, ambil bilangan prima $lateks p = 11$ dan bilangan bulat $lateks a = 2$. Teorema kecil Fermat mengatakan bahwa $lateks 2^{11} – 2 = 2046$ habis dibagi 11, dan hasilnya adalah: $lateks 2046 div 11 = 186$. Atau ambil $lateks p = 7$ dan $lateks a = 4$: $lateks 4^7 – 4 = 16380 = 7 dikali 2340$, jadi $lateks 4^7 – 4$ memang habis dibagi 7.

Berbeda dengan Teorema Terakhir Fermat, tidak diperlukan waktu 300 tahun untuk menyelesaikan teorema kecilnya. Leonhard Euler menerbitkan buktinya kurang dari satu abad kemudian. Dan karena ini tentang bilangan prima, orang menemukan cara untuk menggunakannya.

Salah satu cara menggunakan teorema kecil Fermat adalah dengan menunjukkan bahwa suatu bilangan bukanlah bilangan prima. Katakanlah Anda bertanya-tanya apakah 21 adalah bilangan prima atau bukan. Jika 21 adalah bilangan prima, maka menurut teorema kecil Fermat, untuk bilangan bulat $latex a$, $latex a^{21}$ – $latex a$ harus habis dibagi 21. Namun jika Anda mencoba beberapa nilai $ lateks a$ Anda melihat bahwa ini tidak berhasil. Misalnya, $lateks 2^{21} – 2 = 2097150$, yang bukan kelipatan 21. Oleh karena itu, karena tidak memenuhi teorema kecil Fermat, 21 tidak mungkin bilangan prima.

Ini mungkin tampak seperti cara konyol untuk memeriksa apakah suatu bilangan prima. Kita tahu $lateks 21 = 3 kali 7$. Namun memeriksa apakah bilangan besar merupakan bilangan prima adalah tugas yang memakan waktu dan penting dalam matematika modern, sehingga matematikawan selalu mencari jalan pintas. Untuk itu, para ahli matematika bertanya-tanya apakah kebalikan dari teorema kecil Fermat mungkin benar.

Apa kebalikan dari teorema? Anda mungkin ingat dari pelajaran matematika bahwa teorema dapat dianggap sebagai pernyataan kondisional dalam bentuk “jika P kemudian Q.” Sebuah teorema mengatakan bahwa jika P bagian (pendahulu atau hipotesis) benar, maka Q bagian (konsekuensi atau kesimpulan) juga harus benar. Kebalikan dari teorema adalah pernyataan yang didapat saat mengganti anteseden dan konsekuen. Jadi kebalikan dari “Jika P kemudian Q” adalah pernyataan “Jika Q kemudian P. "

Mari kita perhatikan teorema Pythagoras. Kita sering diberitahu bahwa tertulis $lateks a^2 + b^2 = c^2$. Tapi ini kurang tepat. Teorema Pythagoras sebenarnya merupakan pernyataan bersyarat: Teorema ini menyatakan bahwa jika sebuah segitiga siku-siku mempunyai panjang sisi $lateks a$, $lateks b$ dan $lateks c$, dengan $lateks c$ adalah panjang sisi miringnya, maka $lateks a ^2 + b^2 = c^2$. Jadi apa kebalikannya? Dikatakan bahwa jika panjang sisi segitiga $lateks a$, $lateks b$ dan $lateks c$ memenuhi persamaan $lateks a^2 + b^2 = c^2$, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.

Sangat menggoda untuk berpikir bahwa kebalikan dari suatu teorema selalu benar, dan banyak siswa yang jatuh ke dalam perangkap itu. Kebalikan dari teorema Pythagoras ternyata benar, yang memungkinkan kita menyimpulkan bahwa segitiga dengan panjang sisi 9, 40 dan 41 pastilah segitiga siku-siku karena $lateks 9^2 + 40^2 = 41^2$. Namun kebalikan dari pernyataan yang benar tidak harus benar: Misalnya, meskipun benar bahwa jika $lateks x$ adalah bilangan positif, maka $lateks x^2$ adalah positif, kebalikannya — jika $lateks x^2$ adalah bilangan positif, maka $latex x$ positif — bukan, karena $latex (-1)^2$ positif tetapi −1 sendiri tidak.

Merupakan praktik matematika yang baik untuk mengeksplorasi kebalikan dari suatu pernyataan, dan matematikawan yang mencari tes primalitas ingin mengetahui apakah kebalikan dari teorema kecil Fermat itu benar. Kebalikannya mengatakan bahwa, jika bilangan bulat $lateks q$, jika bilangan $lateks a^q – a$ habis dibagi $lateks q$ untuk sembarang bilangan bulat $lateks a$, maka $lateks q$ harus berupa bilangan prima. Jika hal ini benar, hal ini akan menghindari beberapa pekerjaan komputasi untuk memeriksa apakah $latex q$ habis dibagi oleh bilangan apa pun selain 1 dan bilangan itu sendiri. Seperti yang sering terjadi dalam matematika, pertanyaan yang satu ini memunculkan pertanyaan-pertanyaan baru, yang pada akhirnya memunculkan beberapa ide matematika baru.

Saat Anda mulai menjelajahi kebalikan dari teorema kecil Fermat, Anda akan menemukan bahwa teorema tersebut benar untuk banyak bilangan. Misalnya, untuk bilangan bulat $lateks a$, bilangan $lateks a^2 – a$ habis dibagi 2. Anda dapat melihatnya dengan memfaktorkan $lateks a^2 – a$ sebagai $lateks a kali (a-1) $. Sejak a dan $lateks a − 1$ adalah bilangan bulat berurutan, salah satu bilangan tersebut harus genap, sehingga hasil kali bilangan tersebut harus habis dibagi 2.

Argumen serupa menunjukkan bahwa $lateks a^3 – a$ selalu habis dibagi 3 dan $lateks a^5 – a$ selalu habis dibagi 5 (lihat latihan di bawah untuk lebih jelasnya). Jadi kebalikan dari teorema kecil Fermat berlaku untuk 3 dan 5. Kebalikannya memberitahu kita apa yang kita harapkan untuk bilangan non-prima kecil juga. Jika kita menggunakannya untuk memeriksa apakah 4 bilangan prima atau bukan, kita akan menghitung $lateks 2^4 – 2$ dan mengamati bahwa 14 tidak habis dibagi 4.

Faktanya, Anda dapat memeriksa hingga angka 561 dan semuanya akan menunjukkan kebalikan dari teorema kecil Fermat yang benar. Bilangan prima kurang dari 561 membagi $lateks a^p – a$ untuk setiap bilangan a, dan non-bilangan prima kurang dari 561 tidak. Namun hal tersebut berubah pada 561. Dengan teori bilangan yang lebih maju, dapat ditunjukkan bahwa $lateks a^{561} – a$ selalu habis dibagi 561, jadi jika kebalikan dari teorema kecil Fermat benar, maka 561 pastilah bilangan prima . Tapi bukan: $lateks 561 = 3 × 11 × 17$. Jadi kebalikan dari teorema kecil Fermat salah.

Matematikawan menyebut bilangan seperti 561 sebagai “prima semu” karena bilangan tersebut memenuhi beberapa kondisi yang terkait dengan bilangan prima (seperti membagi $lateks a^p – a$ untuk semua a) tetapi sebenarnya bukan bilangan prima. Contoh kebalikan dari teorema kecil Fermat telah ditemukan — tiga contoh berikutnya adalah 1,105, 1,729 dan 2,465. Angka ini kemudian dikenal sebagai bilangan Carmichael, yang diambil dari nama ahli matematika Amerika Robert Carmichael. Setelah ditemukan, muncul pertanyaan baru: Apakah ada cara lain untuk mengidentifikasi nomor Carmichael? Apakah mereka mempunyai sifat khusus lainnya? Apakah jumlahnya tak terhingga banyaknya? Jika ya, seberapa sering hal tersebut terjadi?

Pertanyaan terakhir inilah yang akhirnya menarik perhatian Daniel Larsen. Matematikawan telah membuktikan bahwa bilangan Carmichael memang jumlahnya tak terhingga, namun untuk menunjukkan hal ini mereka harus menyusun bilangan Carmichael yang jaraknya sangat jauh. Hal ini menyisakan pertanyaan tentang bagaimana bilangan Carmichael yang jumlahnya tak terhingga ini terdistribusi di sepanjang garis bilangan. Apakah sifat mereka selalu berjauhan, atau mungkinkah mereka terjadi dengan frekuensi dan keteraturan yang lebih banyak daripada bukti awal yang ditunjukkan?

Pertanyaan tentang bilangan prima semu seperti itu mengingatkan kita pada pertanyaan serupa dan penting tentang bilangan prima itu sendiri. Dua ribu tahun yang lalu, Euclid membuktikan bahwa ada banyak bilangan prima yang tak terhingga, namun butuh waktu lebih lama untuk memahami bagaimana bilangan prima didistribusikan ke seluruh garis bilangan. Pada tahun 1800-an, postulat Bertrand menunjukkan bahwa untuk setiap $lateks n > 3$, selalu ada bilangan prima antara $lateks n$ dan $lateks 2n$. Hal ini memberi kita gambaran tentang seberapa sering kita mengharapkan bilangan prima saat kita berjalan di sepanjang garis bilangan.

Matematikawan bertanya-tanya apakah beberapa versi postulat Bertrand benar untuk bilangan Carmichael. Daniel Larsen juga bertanya-tanya, dan melanjutkan karya beberapa matematikawan modern terkenal - peraih medali Fields James Maynard dan Terence Tao, antara lain — dia mengalihkan rasa penasarannya menjadi hasil baru tentang bagaimana bilangan Carmichael didistribusikan. Dan meskipun para matematikawan muda mungkin tidak berharap untuk mencapai banyak hal saat menyelesaikan pekerjaan rumahnya malam ini, kerja keras, ketekunan, dan kesuksesan Daniel Larsen seharusnya menginspirasi mereka untuk terus maju, bahkan jika mereka berada dalam kondisi sulit. membuktikan kembali sesuatu yang sudah kita ketahui.

Latihan

1. Gunakan pemfaktoran untuk menunjukkan bahwa, jika $lateks a$ adalah bilangan asli, maka $lateks a^3 – a$ selalu habis dibagi 3.

2. Pernyataan “Jika suatu segi empat adalah persegi panjang, maka diagonal-diagonal segiempat tersebut kongruen” adalah benar. Apakah yang sebaliknya benar?

3. Tunjukkan bahwa jika $lateks a$ adalah bilangan asli, maka bilangan $lateks a^5 – a$ selalu habis dibagi 5.