'Mumurasi' Kurva Elips Ditemukan Dengan AI Terbang | Majalah Kuanta

Kurva elips adalah salah satu objek yang paling menarik dalam matematika modern. Tampaknya tidak rumit, tetapi merupakan penghubung antara matematika yang dipelajari banyak orang di sekolah menengah dan penelitian matematika pada tingkat yang paling sulit dipahami. Mereka adalah inti dari pembuktian Teorema Terakhir Fermat yang dipopulerkan oleh Andrew Wiles pada tahun 1990an. Mereka adalah alat kunci dalam kriptografi modern. Dan pada tahun 2000, Clay Mathematics Institute menamai a dugaan tentang statistik kurva elips, salah satu dari tujuh “Masalah Hadiah Milenium”, yang masing-masing memberikan hadiah $1 juta untuk solusinya. Dugaan itu, pertama kali dikemukakan oleh Bryan Birch dan Peter Swinnerton-Dyer pada tahun 1960an, masih belum terbukti.

Memahami kurva elips adalah upaya berisiko tinggi yang merupakan inti dari matematika. Jadi pada tahun 2022, ketika kolaborasi transatlantik menggunakan teknik statistik dan kecerdasan buatan untuk menemukan pola yang benar-benar tidak terduga dalam kurva elips, hal ini merupakan kontribusi yang disambut baik, meskipun tidak terduga. “Hanya masalah waktu sebelum pembelajaran mesin hadir di depan pintu kami dengan sesuatu yang menarik,” katanya Peter Sarnak, seorang ahli matematika di Institute for Advanced Study dan Universitas Princeton. Awalnya, tidak ada yang bisa menjelaskan mengapa pola yang baru ditemukan itu ada. Sejak saat itu, dalam serangkaian makalah baru-baru ini, para ahli matematika mulai mengungkap alasan di balik pola-pola tersebut, yang dijuluki “murmuration” karena kemiripannya dengan bentuk cairan burung jalak yang berkelompok, dan mulai membuktikan bahwa hal tersebut pasti terjadi tidak hanya di tempat tertentu. contoh diperiksa pada tahun 2022, tetapi dalam kurva elips secara lebih umum.

Pentingnya Menjadi Elips

Untuk memahami pola-pola tersebut, kita harus meletakkan sedikit dasar tentang apa itu kurva elips dan bagaimana para ahli matematika mengkategorikannya.

Kurva elips menghubungkan kuadrat suatu variabel, biasa ditulis sebagai y, pangkat ketiga dari yang lain, biasa ditulis sebagai x: y² = x³ + Ax + B, untuk beberapa pasangan angka A dan B, Asalkan A dan B memenuhi beberapa kondisi langsung. Persamaan ini mendefinisikan kurva yang dapat digambarkan pada bidang, seperti yang ditunjukkan di bawah ini. (Meskipun namanya mirip, elips bukanlah kurva elips.)

Meskipun tampak sederhana, kurva elips ternyata menjadi alat yang sangat ampuh bagi para ahli teori bilangan — ahli matematika yang mencari pola dalam bilangan bulat. Daripada membiarkan variabelnya x dan y berkisar pada semua bilangan, para ahli matematika suka membatasinya pada sistem bilangan yang berbeda, yang mereka sebut sebagai pendefinisian kurva “di atas” sistem bilangan tertentu. Kurva elips yang terbatas pada bilangan rasional — bilangan yang dapat ditulis sebagai pecahan — sangat berguna. “Kurva elips pada bilangan real atau kompleks cukup membosankan,” kata Sarnak. “Hanya angka-angka rasional yang mendalam.”

Inilah salah satu cara yang benar. Jika Anda menggambar garis lurus antara dua titik rasional pada kurva elips, titik potong lagi garis tersebut juga akan menjadi rasional. Anda dapat menggunakan fakta tersebut untuk mendefinisikan “penjumlahan” dalam kurva elips, seperti yang ditunjukkan di bawah ini.

Buatlah garis di antaranya P dan Q. Garis itu akan memotong kurva di titik ketiga, R. (Ahli matematika mempunyai trik khusus untuk menangani kasus di mana garis tidak memotong kurva dengan menambahkan “titik di tak terhingga”.) Refleksi dari R di seluruh x-axis adalah jumlah Anda P + Q. Bersamaan dengan operasi penjumlahan ini, semua solusi kurva membentuk objek matematika yang disebut grup.

Matematikawan menggunakan ini untuk menentukan “peringkat” suatu kurva. Itu peringkat suatu kurva berkaitan dengan jumlah solusi rasional yang dimilikinya. Kurva peringkat 0 memiliki jumlah solusi yang terbatas. Kurva dengan peringkat lebih tinggi memiliki jumlah solusi tak terhingga yang hubungannya satu sama lain menggunakan operasi penjumlahan dijelaskan oleh peringkat.

Peringkat tidak dipahami dengan baik; ahli matematika tidak selalu memiliki cara untuk menghitungnya dan tidak tahu seberapa besar hasilnya. (Peringkat pasti terbesar yang diketahui untuk suatu kurva tertentu adalah 20.) Kurva yang tampak serupa dapat memiliki peringkat yang sangat berbeda.

Kurva elips juga banyak berkaitan dengan bilangan prima, yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Secara khusus, ahli matematika melihat kurva pada bidang berhingga — sistem aritmatika siklis yang ditentukan untuk setiap bilangan prima. Bidang berhingga seperti sebuah jam yang jumlah jamnya sama dengan bilangan prima: Jika Anda terus menghitung ke atas, angka-angka tersebut akan dimulai dari awal lagi. Di bidang berhingga untuk 7, misalnya, 5 ditambah 2 sama dengan nol, dan 5 ditambah 3 sama dengan 1.

Kurva elips mempunyai barisan bilangan yang saling berhubungan, disebut a_p, yang berkaitan dengan jumlah solusi yang ada pada kurva di bidang berhingga yang ditentukan oleh bilangan prima p. Lebih kecil a_p berarti lebih banyak solusi; lebih besar a_p berarti lebih sedikit solusi. Meskipun peringkatnya sulit dihitung, urutannya a_p jauh lebih mudah.

Berdasarkan berbagai perhitungan yang dilakukan pada salah satu komputer pertama, Birch dan Swinnerton-Dyer menduga adanya hubungan antara pangkat kurva elips dan barisannya. a_p. Siapa pun yang dapat membuktikan bahwa mereka benar akan memenangkan satu juta dolar dan keabadian matematika.

Muncul Pola Kejutan

Setelah dimulainya pandemi, Yang-Hui Dia, seorang peneliti di Institut Ilmu Matematika London, memutuskan untuk mengambil beberapa tantangan baru. Dia pernah mengambil jurusan fisika di perguruan tinggi, dan memperoleh gelar doktor dari Institut Teknologi Massachusetts dalam bidang fisika matematika. Tapi dia semakin tertarik pada teori bilangan, dan mengingat semakin meningkatnya kemampuan kecerdasan buatan, dia berpikir untuk mencoba menggunakan AI sebagai alat untuk menemukan pola angka yang tidak terduga. (Dia sudah melakukannya menggunakan pembelajaran mesin untuk mengklasifikasikan Manifold Calabi-Yau, struktur matematika yang banyak digunakan dalam teori string.)

Pada bulan Agustus 2020, ketika pandemi semakin parah, Universitas Nottingham menjamunya untuk sebuah pembicaraan online. Dia pesimis dengan kemajuannya dan kemungkinan besar menggunakan pembelajaran mesin untuk mengungkap matematika baru. “Narasinya adalah bahwa teori bilangan itu sulit karena Anda tidak dapat mempelajari hal-hal dalam teori bilangan dengan mesin,” katanya Thomas Oliver, seorang ahli matematika di Universitas Westminster yang menjadi salah satu penonton. Seperti yang Dia ingat, “Saya tidak dapat menemukan apa pun karena saya bukan ahlinya. Saya bahkan tidak menggunakan hal yang benar untuk melihat ini.”

Oliver dan Kyu-Hwan Lee, seorang ahli matematika di Universitas Connecticut, mulai bekerja dengan He. “Kami memutuskan melakukan ini hanya untuk mempelajari apa itu pembelajaran mesin, dibandingkan serius mempelajari matematika,” kata Oliver. “Tetapi kami segera menemukan bahwa Anda dapat mempelajari banyak hal dengan mesin.”

Oliver dan Lee menyarankan agar Dia menerapkan tekniknya untuk memeriksa L-fungsi, deret tak hingga yang berkaitan erat dengan kurva elips melalui deret tersebut a_p. Mereka dapat menggunakan database online tentang kurva elips dan yang terkait L-fungsi yang disebut LMFDB untuk melatih pengklasifikasi pembelajaran mesin mereka. Pada saat itu, database memiliki lebih dari 3 juta kurva elips di atas rasional. Pada Oktober 2020, mereka telah melakukannya kertas yang menggunakan informasi yang diperoleh L-berfungsi untuk memprediksi sifat tertentu dari kurva elips. Pada bulan November mereka berbagi kertas lain yang menggunakan pembelajaran mesin untuk mengklasifikasikan objek lain dalam teori bilangan. Pada bulan Desember, mereka mampu melakukannya memprediksi jajaran kurva elips dengan akurasi tinggi.

Namun mereka tidak yakin mengapa algoritme pembelajaran mesin mereka bekerja dengan baik. Lee bertanya kepada mahasiswa sarjananya, Alexei Pozdnyakov, untuk melihat apakah dia dapat mengetahui apa yang sedang terjadi. LMFDB mengurutkan kurva elips berdasarkan besaran yang disebut konduktor, yang merangkum informasi tentang bilangan prima yang kurvanya gagal berperilaku baik. Jadi Pozdnyakov mencoba melihat sejumlah besar kurva dengan konduktor serupa secara bersamaan — katakanlah, semua kurva dengan konduktor antara 7,500 dan 10,000.

Totalnya berjumlah sekitar 10,000 kurva. Sekitar setengah dari mereka memiliki peringkat 0, dan setengahnya lagi memiliki peringkat 1. (Peringkat yang lebih tinggi sangat jarang terjadi.) Dia kemudian menghitung rata-rata nilai dari a_p untuk semua kurva peringkat 0, dirata-ratakan secara terpisah a_p untuk semua kurva peringkat 1, dan plot hasilnya. Kedua kumpulan titik tersebut membentuk dua gelombang yang berbeda dan mudah dilihat. Itulah sebabnya pengklasifikasi pembelajaran mesin mampu memastikan peringkat kurva tertentu dengan benar.

“Awalnya saya merasa senang telah menyelesaikan tugas ini,” kata Pozdnyakov. “Tetapi Kyu-Hwan segera menyadari bahwa pola ini mengejutkan, dan saat itulah menjadi sangat menarik.”

Lee dan Oliver terpesona. “Alexey menunjukkan gambar itu kepada kami, dan menurut saya, hal tersebut mirip dengan apa yang dilakukan burung,” kata Oliver. “Dan kemudian Kyu-Hwan mencarinya dan mengatakan itu disebut gumaman, dan kemudian Yang berkata kita harus memanggil surat kabar itu 'Murmurasi Kurva Elips. '"

Mereka mengunggah makalah mereka pada bulan April 2022 dan meneruskannya ke beberapa ahli matematika lainnya, dengan gugup berharap diberi tahu bahwa apa yang disebut “penemuan” mereka sudah diketahui secara luas. Oliver mengatakan hubungan itu begitu terlihat sehingga seharusnya sudah diketahui sejak lama.

Segera, pracetak tersebut menarik minat, khususnya dari Andrew Sutherland, seorang ilmuwan peneliti di MIT yang merupakan salah satu redaktur pelaksana LMFDB. Sutherland menyadari bahwa 3 juta kurva elips tidak cukup untuk tujuannya. Dia ingin melihat rentang konduktor yang jauh lebih besar untuk melihat seberapa kuat murmusinya. Dia mengambil data dari gudang besar lainnya yang berisi sekitar 150 juta kurva elips. Masih belum puas, ia kemudian menarik data dari repositori berbeda yang memiliki 300 juta kurva.

“Tetapi itu pun belum cukup, jadi saya menghitung kumpulan data baru yang berisi lebih dari satu miliar kurva elips, dan itulah yang saya gunakan untuk menghitung gambar beresolusi sangat tinggi,” kata Sutherland. Gumaman tersebut muncul apakah dia rata-rata membuat lebih dari 15,000 kurva elips dalam satu waktu atau satu juta dalam satu waktu. Bentuknya tetap sama bahkan ketika dia melihat kurva pada bilangan prima yang semakin besar, sebuah fenomena yang disebut invarian skala. Sutherland juga menyadari bahwa murmurasi tidak hanya terjadi pada kurva elips, tetapi juga muncul secara lebih umum L-fungsi. Dia menulis surat yang merangkum temuannya dan mengirimkannya ke Sarnak dan Michael Rubinstein di Universitas Waterloo.

“Jika ada penjelasan yang diketahui, saya harap Anda akan mengetahuinya,” tulis Sutherland.

Mereka tidak melakukannya.

Menjelaskan Polanya

Lee, He dan Oliver menyelenggarakan lokakarya tentang murmurasi pada Agustus 2023 di Institut Penelitian Komputasi dan Eksperimental dalam Matematika (ICERM) Universitas Brown. Sarnak dan Rubinstein datang, begitu pula murid Sarnak Nina Zubrilina.

Zubrilina mempresentasikan penelitiannya tentang pola murmurasi di bentuk modular, fungsi kompleks khusus yang, seperti kurva elips, telah dikaitkan L-fungsi. Dalam bentuk modular dengan konduktor besar, murmurasi menyatu menjadi kurva yang jelas, bukannya membentuk pola yang terlihat tetapi tersebar. Di dalam kertas Diposting pada 11 Oktober 2023, Zubrilina membuktikan bahwa gumaman semacam ini mengikuti formula eksplisit yang ia temukan.

“Prestasi besar Nina adalah dia diberi formula untuk ini; Saya menyebutnya rumus kepadatan murmurasi Zubrilina,” kata Sarnak. “Dengan menggunakan matematika yang sangat canggih, dia telah membuktikan rumus yang tepat dan sesuai dengan data dengan sempurna.”

Rumusnya rumit, namun Sarnak memujinya sebagai jenis fungsi baru yang penting, sebanding dengan fungsi Airy yang menentukan solusi persamaan diferensial yang digunakan dalam berbagai konteks fisika, mulai dari optik hingga mekanika kuantum.

Meskipun formula Zubrilina adalah yang pertama, formula lainnya telah mengikuti. “Setiap minggunya, ada makalah baru yang diterbitkan,” kata Sarnak, “terutama menggunakan alat Zubrilina, yang menjelaskan aspek lain dari gumaman.”

Jonatan Bober, Andrew Booker dan Min lee dari Universitas Bristol, bersama dengan David Lowry-Duda dari ICERM, membuktikan adanya jenis murmurasi yang berbeda dalam bentuk modular di makalah bulan Oktober lainnya. Dan Kyu-Hwan Lee, Oliver dan Pozdnyakov membuktikan keberadaannya dari murmurasi pada objek yang disebut karakter Dirichlet yang berkerabat dekat dengan L-fungsi.

Sutherland terkesan dengan banyaknya keberuntungan yang menyebabkan ditemukannya gumaman. Jika data kurva elips tidak diurutkan oleh konduktor, murmurasi akan hilang. “Mereka beruntung bisa mengambil data dari LMFDB, yang telah disortir sebelumnya menurut konduktornya,” katanya. “Itulah yang menghubungkan kurva elips dengan bentuk modularnya, tapi itu sama sekali tidak jelas. … Dua kurva yang persamaannya terlihat sangat mirip dapat memiliki konduktor yang sangat berbeda.” Misalnya, Sutherland mencatat hal itu y² = x³ - 11x + 6 memiliki konduktor 17, tetapi membalik tanda minus menjadi tanda plus, y² = x³ + 11x + 6 memiliki konduktor 100,736.

Meski begitu, gumaman tersebut hanya ditemukan karena kurangnya pengalaman Pozdnyakov. “Saya rasa kita tidak akan menemukannya tanpa dia,” kata Oliver, “karena para ahli secara tradisional melakukan normalisasi a_p memiliki nilai absolut 1. Namun dia tidak menormalkannya…sehingga osilasinya sangat besar dan terlihat.”

Pola statistik yang digunakan algoritme AI untuk mengurutkan kurva elips berdasarkan peringkat terdapat dalam ruang parameter dengan ratusan dimensi — terlalu banyak untuk dipilah-pilah dalam pikiran, apalagi divisualisasikan, kata Oliver. Namun meskipun pembelajaran mesin menemukan osilasi yang tersembunyi, “baru kemudian kita memahami bahwa itu adalah gumaman.”

Catatan Editor: Andrew Sutherland, Kyu-Hwan Lee dan L-functions and modular form database (LMFDB) semuanya telah menerima dana dari Simons Foundation, yang juga mendanai publikasi independen editorial ini. Keputusan pendanaan Simons Foundation tidak berpengaruh terhadap liputan kami. Informasi lebih lanjut tersedia di sini.