Bagaimana Matematika Sederhana Menggerakan Jarum | Majalah Kuanta

Bayangkan Anda sedang berkendara di jalan dengan mobil tanpa pengemudi ketika Anda melihat masalah di depan. Seorang sopir pengiriman Amazon membawa van mereka melewati truk UPS yang diparkir ganda sebelum menyadari bahwa mereka tidak dapat melewatinya. Sekarang mereka terjebak. Dan begitu juga kamu.

Jalannya terlalu sempit untuk melakukan gerakan U-ey, jadi mobil Anda yang dilengkapi AI akan memulai belokan tiga titik. Pertama, mobil mengambil jalur berkelok menuju salah satu tepi jalan. Sesampainya di sana, mobil tersebut berbelok ke arah lain dan mundur ke tepi jalan yang berlawanan. Kemudian memutar roda kemudi kembali ke arah jalur lengkung pertama, melaju ke depan dan menjauhi halangan.

Algoritma geometris sederhana untuk melakukan putaran menengah ini dapat membantu Anda mengatasi situasi sulit. (Jika Anda pernah parkir paralel, Anda pasti tahu manfaat goyangan bolak-balik ini bagi Anda.)

Ada soal matematika yang menarik di sini tentang berapa banyak ruang yang Anda perlukan untuk memutar mobil Anda, dan ahli matematika telah mengerjakan versi idealnya selama lebih dari 100 tahun. Ini dimulai pada tahun 1917 ketika ahli matematika Jepang Sōichi Kakeya mengajukan masalah yang mirip dengan kemacetan lalu lintas. Misalkan Anda mempunyai jarum yang sangat tipis dengan panjang 1. Berapa luas daerah terkecil yang dapat Anda gunakan untuk memutar jarum 180 derajat dan mengembalikannya ke posisi semula? Ini dikenal sebagai soal jarum Kakeya, dan ahli matematika masih mempelajari variasinya. Mari kita lihat geometri sederhana yang membuat soal jarum Kakeya begitu menarik dan mengejutkan.

Seperti kebanyakan soal matematika, soal ini melibatkan beberapa penyederhanaan asumsi yang membuatnya kurang realistis namun lebih mudah dikelola. Misalnya, panjang dan lebar sebuah mobil penting saat Anda sedang mengemudi, tapi kita asumsikan jarum kita memiliki panjang 1 dan lebar nol. (Ini berarti jarum itu sendiri mempunyai luas nol, yang memainkan peran penting dalam memungkinkan kita menyelesaikan soal.) Selain itu, kita asumsikan bahwa jarum, tidak seperti mobil, dapat berputar di ujung depannya, ujung belakangnya. , atau titik mana pun di antaranya.

Tujuannya adalah mencari daerah terkecil yang memungkinkan jarum berputar 180 derajat. Menemukan hal terkecil yang memenuhi serangkaian kondisi tertentu bisa jadi menantang, namun cara yang baik untuk memulai adalah dengan mencari apa pun yang memenuhi kondisi tersebut dan melihat apa yang dapat Anda pelajari selama prosesnya. Misalnya, jawaban mudahnya adalah dengan memutar jarum 180 derajat di sekitar titik akhirnya, lalu menggesernya kembali ke atas. Ini mengembalikan jarum ke posisi semula, tapi sekarang menunjuk ke arah yang berlawanan, seperti yang dibutuhkan oleh masalah jarum Kakeya.

Daerah yang diperlukan untuk belokan adalah setengah lingkaran berjari-jari 1 yang mempunyai luas $lateks A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. Jadi kami telah menemukan satu wilayah yang berfungsi.

Kita bisa berbuat lebih baik dengan memanfaatkan kemampuan jarum matematika ajaib kita untuk berputar di titik mana pun. Daripada memutarnya pada titik akhirnya, mari kita putar pada titik tengahnya.

Anda mungkin menyebutnya kompas Kakeya: Jarum kita awalnya mengarah ke utara, tetapi setelah berputar, jarum itu berada di tempat yang sama tetapi mengarah ke selatan. Daerah ini berbentuk lingkaran dengan jari-jari $latex frac{1}{2}$, jadi luasnya adalah $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. Luas wilayah ini adalah setengah dari wilayah pertama kami, jadi kami mengalami kemajuan.

Ke mana selanjutnya? Kita dapat mengambil inspirasi dari dilema mobil tanpa pengemudi dan mempertimbangkan untuk menggunakan sesuatu seperti putaran tiga titik. Ini sebenarnya bekerja dengan cukup baik.

Daerah yang tersapu jarum menggunakan teknik ini disebut deltoid, dan juga memenuhi persyaratan Kakeya. Menghitung luasnya memerlukan lebih dari sekadar geometri dasar yang kita bahas di sini (pengetahuan tentang kurva parametrik sangat membantu), namun ternyata luas deltoid khusus ini — yang tersapu oleh segmen garis dengan panjang 1 — persis $lateks frac{pi}{8}$. Sekarang kita memiliki wilayah yang lebih kecil di mana kita dapat membalikkan keadaan Kakeya, dan Anda mungkin berpikir ini adalah hal terbaik yang dapat kami lakukan. Kakeya sendiri berpikir itu mungkin saja terjadi.

Namun permasalahan jarum suntik ini berubah drastis ketika matematikawan Rusia Abram Besicovitch menemukan bahwa kita dapat melakukannya dengan jauh lebih baik. Dia datang dengan prosedur untuk mengurangi bagian-bagian yang tidak perlu dari wilayah tersebut hingga menjadi sekecil yang dia inginkan.

Prosesnya teknis dan rumit, namun satu strategi berdasarkan gagasan Besicovitch bergantung pada dua gagasan sederhana. Pertama, perhatikan segitiga siku-siku di bawah, dengan tinggi 1 dan alas 2.

Untuk saat ini kita akan melupakan tentang memutar jarum sepenuhnya dan hanya fokus pada satu fakta sederhana: Jika kita menempatkan jarum dengan panjang 1 di titik puncak, segitiga tersebut cukup besar untuk memungkinkan jarum berputar penuh 90°. derajat dari satu sisi ke sisi lainnya.

Karena luas segitiga adalah $lateks A=frac{1}{2}bh$, segitiga ini mempunyai luas $lateks A=frac{1}{2} dikalikan 2 kali 1 = 1$.

Sekarang, inilah gagasan penting yang pertama: Kita dapat mengurangi luas wilayah sambil mempertahankan rotasi 90 derajat. Strateginya sederhana: Kita potong segitiga di tengah, lalu satukan kedua bagiannya.

Luas bangun baru ini harus lebih kecil dari luas semula karena bagian-bagian segitiga sekarang saling tumpang tindih. Sebenarnya, menghitung luas gambar itu mudah: Luasnya hanya tiga perempat persegi dengan sisi 1, jadi luasnya adalah $lateks A = frac{3}{4}$, yang lebih kecil dari luas bangun tersebut segitiga tempat kita memulai.

Dan kita masih bisa mengarahkan jarumnya ke semua arah yang sama seperti sebelumnya. Hanya ada satu masalah: Sudut aslinya telah terpecah menjadi dua bagian, sehingga arah tersebut kini terbagi menjadi dua wilayah terpisah.

Kalau jarumnya ada di sebelah kiri daerah baru, kita bisa memutarnya 45 derajat antara selatan dan tenggara, dan kalau di sebelah kanan kita bisa memutarnya 45 derajat antara selatan dan barat daya, tapi karena kedua bagiannya terpisah. , sepertinya kita tidak bisa memutarnya 90 derajat penuh seperti sebelumnya.

Di sinilah ide penting kedua muncul. Ada cara licik untuk memindahkan jarum dari satu sisi ke sisi lain yang tidak memerlukan banyak ruang. Dalam catur Anda mungkin tahu bahwa ksatria bergerak dalam bentuk L. Nah, jarum kita akan bergerak membentuk huruf N.

Begini cara melakukannya. Pertama, jarum meluncur ke atas pada salah satu sisi N. Kemudian berputar ke arah diagonal dan meluncur ke bawah. Kemudian ia berputar lagi dan mengakhiri perjalanannya dengan menggeser ke atas sisi utara yang lain.

Pada awalnya gerakan berbentuk N ini mungkin tidak terlihat banyak, tapi ini memberikan sesuatu yang sangat berguna. Hal ini memungkinkan jarum untuk “melompat” dari satu garis sejajar ke garis sejajar lainnya, yang akan membantu kita memindahkan jarum dari satu daerah ke daerah lain. Lebih penting lagi, ia melakukannya tanpa memerlukan banyak ruang. Faktanya, Anda bisa membuatnya hanya membutuhkan area sesedikit yang Anda suka. Inilah alasannya.

Ingatlah bahwa jarum kita memiliki lebar nol. Jadi setiap garis yang dilalui jarum, maju atau mundur, akan mempunyai luas nol. Artinya daerah yang diperlukan untuk menggerakkan jarum ke atas, ke bawah atau secara diagonal sepanjang bentuk N akan terdiri dari potongan-potongan yang luasnya nol.

Itu hanya menyisakan rotasi di sudut bentuk N.

Gerakan-gerakan ini memang membutuhkan ruang. Anda dapat melihat sektor kecil lingkaran di setiap sudut. Tapi inilah bagian yang licik: Anda dapat membuat wilayah ini lebih kecil dengan memanjangkan bagian utara.

Rumus luas suatu bidang lingkaran adalah $lateks A = frac{theta}{360} pi r^2$, dengan $lateks theta$ adalah besar sudut bidang dalam derajat. Tidak peduli seberapa tinggi Nnya, jari-jari sektornya akan selalu 1: Itulah panjang jarumnya. Namun seiring bertambahnya tinggi N, sudutnya menyusut, sehingga luas sektor tersebut berkurang. Oleh karena itu, Anda dapat membuat area tambahan menjadi sekecil yang Anda inginkan dengan merentangkan N sebanyak yang Anda perlukan.

Ingatlah bahwa kita dapat memperkecil luas daerah segitiga kita dengan membaginya menjadi dua dan membuat potongannya saling tumpang tindih. Masalahnya adalah hal ini membagi sudut 90 derajat menjadi dua bagian terpisah, sehingga mencegah kita memutar jarum sebanyak 90 derajat. Sekarang kita dapat menyelesaikan masalah tersebut dengan menerapkan bentuk N yang sesuai untuk memastikan bahwa jarum memiliki jalur dari satu sisi ke sisi lainnya.

Pada wilayah yang diperbarui ini, jarum masih bisa berputar penuh 90 derajat seperti sebelumnya, hanya saja sekarang terjadi dalam dua tahap. Pertama, jarum diputar 45 derajat dan sejajar dengan tepi vertikal di sebelah kiri. Selanjutnya, ia bergerak sepanjang bentuk N untuk sampai ke sisi yang lain. Setelah sampai di sana, ia bebas memutarnya 45 derajat lagi.

Ini menggerakkan jarum 90 derajat, dan untuk menjaganya tetap berputar, Anda cukup menambahkan salinan wilayah yang diputar.

Dengan tambahan bentuk N yang sesuai, jarum dapat melompat dari satu semenanjung segitiga ke semenanjung segitiga berikutnya, berputar sedikit demi sedikit hingga berputar sepenuhnya, seperti mobil yang melakukan putaran tiga angka.

Ada perhitungan yang lebih rumit dalam detailnya, tapi dua gagasan ini — bahwa kita dapat terus-menerus mengurangi luas wilayah asli dengan mengiris dan menggesernya sambil memastikan kita bisa mendapatkan bagian demi bagian menggunakan bentuk N kecil yang sewenang-wenang — membantu kita gerakkan jarum di wilayah yang terus menyusut yang pada akhirnya bisa menjadi sekecil yang Anda inginkan.

Pendekatan yang lebih standar untuk membangun wilayah semacam ini dimulai dengan segitiga sama sisi dan menggunakan “pohon Perron”, yang merupakan cara cerdas untuk mengiris segitiga dan meregangkan serta menyatukan kembali potongan-potongan tersebut. Hasilnya cukup menakjubkan.

Baru-baru ini, para ahli matematika melakukannya membuat kemajuan pada variasi baru dari masalah lama ini, diatur dalam dimensi yang lebih tinggi dan dengan gagasan ukuran yang berbeda. Kita mungkin tidak akan pernah melihat mobil bertenaga AI menelusuri tikungan tajam di Kakeya, namun kita masih bisa menghargai keindahan dan kesederhanaan dari ketiadaan yang nyaris terjadi.

Latihan

1. Berapa luas segitiga sama sisi terkecil yang berfungsi sebagai set jarum Kakeya?

2. Anda dapat melakukan sedikit lebih baik daripada segitiga sama sisi pada latihan 1 dengan menggunakan “segitiga Reuleaux,” suatu wilayah yang dibentuk oleh tiga sektor melingkar yang tumpang tindih. Berapa luas segitiga Reuleaux terkecil yang berfungsi?