Michel Talagrand Memenangkan Hadiah Abel untuk Keacakan Pekerjaan Wrangling | Majalah Kuanta

Proses acak terjadi di sekitar kita. Hujan turun pada suatu hari, namun tidak pada hari berikutnya; saham dan obligasi mendapat untung dan rugi; kemacetan lalu lintas menyatu dan hilang. Karena mereka diatur oleh banyak faktor yang berinteraksi satu sama lain dengan cara yang rumit, mustahil untuk memprediksi perilaku pasti dari sistem tersebut. Sebaliknya, kami memikirkannya dalam bentuk probabilitas, menggolongkan hasil sebagai sesuatu yang mungkin terjadi atau jarang terjadi.

Saat ini, ahli teori probabilitas Perancis Michel Talagrand dianugerahi Hadiah Abel, salah satu penghargaan tertinggi dalam matematika, karena mengembangkan pemahaman yang mendalam dan canggih tentang proses tersebut. Hadiah tersebut, yang diberikan oleh raja Norwegia, mencontoh Nobel dan bernilai 7.5 juta kroner Norwegia (sekitar $700,000). Ketika dia diberi tahu bahwa dia menang, “pikiran saya menjadi kosong,” kata Talagrand. “Jenis matematika yang saya lakukan sama sekali tidak populer ketika saya memulainya. Itu dianggap matematika inferior. Fakta bahwa saya diberi penghargaan ini adalah bukti mutlak bahwa hal ini tidak terjadi.”

Matematikawan lain setuju. Karya Talagrand “mengubah cara saya memandang dunia,” katanya Assaf Naor dari Universitas Princeton. Hari ini, tambah Helge Holden, ketua komite hadiah Abel, “mendeskripsikan dan memodelkan peristiwa dunia nyata dengan proses acak menjadi sangat populer. Kotak peralatan Talagrand segera muncul.”

Talagrand memandang hidupnya sendiri sebagai rangkaian peristiwa yang tidak terduga. Dia baru saja lulus sekolah dasar di Lyon: Meskipun dia tertarik pada sains, dia tidak suka belajar. Ketika dia berumur 5 tahun, dia kehilangan penglihatan di mata kanannya setelah retinanya terlepas; pada usia 15 tahun, dia menderita tiga ablasi retina di mata lainnya, memaksa dia menghabiskan satu bulan di rumah sakit, matanya diperban, takut dia menjadi buta. Ayahnya, seorang profesor matematika, mengunjunginya setiap hari, menyibukkan pikirannya dengan mengajarinya matematika. “Inilah cara saya mempelajari kekuatan abstraksi,” Talagrand tulis di 2019 setelah memenangkan Shaw Prize, penghargaan matematika besar lainnya dengan hadiah $1.2 juta. (Talagrand menggunakan sebagian dari uang ini, bersama dengan kemenangan Abelnya, untuk mendapatkan hadiahnya sendiri, “mengakui pencapaian para peneliti muda di bidang yang telah saya dedikasikan dalam hidup saya.”)

Dia melewatkan setengah tahun sekolah sementara dia pulih, tapi dia terinspirasi untuk mulai fokus pada studinya. Ia unggul dalam matematika, dan setelah lulus kuliah pada tahun 1974, ia dipekerjakan oleh Pusat Penelitian Ilmiah Nasional Prancis, lembaga penelitian terbesar di Eropa, tempat ia bekerja hingga pensiun pada tahun 2017. Selama waktu itu, ia memperoleh gelar doktor; jatuh cinta dengan calon istrinya, seorang ahli statistik, pada pandangan pertama (dia melamarnya tiga hari setelah bertemu dengannya); dan secara bertahap mengembangkan minat terhadap probabilitas, menerbitkan ratusan makalah tentang topik tersebut.

Itu tidak ditentukan sebelumnya. Talagrand memulai karirnya mempelajari ruang geometris berdimensi tinggi. “Selama 10 tahun, saya belum menemukan keahlian saya,” katanya. Namun dia tidak menyesali jalan memutar ini. Hal ini akhirnya membawanya pada teori probabilitas, di mana “Saya memiliki sudut pandang lain… yang memberi saya cara untuk melihat sesuatu secara berbeda,” katanya. Ini memungkinkan dia untuk memeriksa proses acak melalui lensa geometri dimensi tinggi.

“Dia menggunakan intuisi geometrisnya untuk memecahkan pertanyaan yang sepenuhnya bersifat probabilistik,” kata Naor.

Proses acak adalah kumpulan peristiwa yang hasilnya bervariasi menurut kebetulan dengan cara yang dapat dimodelkan — seperti rangkaian pelemparan koin, atau lintasan atom dalam gas, atau total curah hujan harian. Matematikawan ingin memahami hubungan antara hasil individu dan perilaku agregat. Berapa kali Anda harus melempar koin untuk mengetahui apakah itu adil? Akankah sungai meluap di tepiannya?

Talagrand berfokus pada proses yang hasilnya didistribusikan menurut kurva berbentuk lonceng yang disebut Gaussian. Distribusi seperti itu bersifat umum dan memiliki sejumlah sifat matematika yang diinginkan. Dia ingin tahu apa yang bisa dikatakan dengan pasti tentang hasil ekstrem dalam situasi ini. Jadi, dia membuktikan serangkaian ketidaksetaraan yang membatasi hasil yang mungkin dicapai. “Mendapatkan ketimpangan yang baik adalah sebuah karya seni,” kata Holden. Hal ini berguna: Metode Talagrand dapat memberikan perkiraan optimal, katakanlah, tingkat tertinggi yang mungkin terjadi pada suatu sungai dalam 10 tahun ke depan, atau besarnya potensi gempa terkuat.

Saat kita berurusan dengan data yang kompleks dan berdimensi tinggi, menemukan nilai maksimum seperti itu bisa jadi sulit.

Katakanlah Anda ingin menilai risiko banjir sungai — yang bergantung pada faktor-faktor seperti curah hujan, angin, dan suhu. Anda dapat memodelkan ketinggian sungai sebagai proses acak. Talagrand menghabiskan 15 tahun mengembangkan teknik yang disebut rantai generik yang memungkinkannya menciptakan ruang geometris berdimensi tinggi yang terkait dengan proses acak tersebut. Metodenya “memberi Anda cara untuk membaca geometri secara maksimal,” kata Naor.

Teknik ini sangat umum dan karenanya dapat diterapkan secara luas. Katakanlah Anda ingin menganalisis kumpulan data besar dan berdimensi tinggi yang bergantung pada ribuan parameter. Untuk menarik kesimpulan yang bermakna, Anda ingin mempertahankan fitur terpenting kumpulan data sambil mengkarakterisasinya hanya dalam beberapa parameter. (Misalnya, ini adalah salah satu cara untuk menganalisis dan membandingkan struktur rumit dari berbagai protein.) Banyak metode canggih mencapai penyederhanaan ini dengan menerapkan operasi acak yang memetakan data berdimensi tinggi ke ruang berdimensi lebih rendah. . Matematikawan dapat menggunakan metode rangkaian umum Talagrand untuk menentukan jumlah kesalahan maksimal yang ditimbulkan oleh proses ini — memungkinkan mereka menentukan kemungkinan beberapa fitur penting tidak dipertahankan dalam kumpulan data yang disederhanakan.

Pekerjaan Talagrand tidak hanya terbatas pada menganalisis kemungkinan hasil terbaik dan terburuk dari proses acak. Ia juga mempelajari apa yang terjadi dalam kasus rata-rata.

Dalam banyak proses, peristiwa-peristiwa individual yang acak, secara agregat, dapat menghasilkan hasil yang sangat deterministik. Jika pengukuran bersifat independen, maka totalnya menjadi sangat dapat diprediksi, meskipun setiap peristiwa tidak mungkin diprediksi. Misalnya, melempar koin yang adil. Anda tidak bisa mengatakan apa pun sebelumnya tentang apa yang akan terjadi. Balikkan 10 kali, dan Anda akan mendapatkan empat, lima atau enam kepala — mendekati nilai yang diharapkan dari lima kepala — sekitar 66% dari waktu. Namun lemparkan koin 1,000 kali, dan Anda akan mendapatkan antara 450 dan 550 kepala pada 99.7% kasus, hasil yang bahkan lebih terkonsentrasi di sekitar nilai yang diharapkan yaitu 500. “Ini sangat tajam di sekitar rata-rata,” kata Holden.

“Meskipun sesuatu mempunyai begitu banyak keacakan, keacakan itu akan menghilangkan dirinya sendiri,” kata Naor. “Apa yang awalnya tampak seperti kekacauan yang mengerikan, sebenarnya sudah terorganisir.”

Fenomena ini, yang dikenal sebagai konsentrasi ukuran, juga terjadi dalam proses acak yang jauh lebih rumit. Talagrand menemukan kumpulan ketidaksetaraan yang memungkinkan untuk mengukur konsentrasi tersebut, dan membuktikan bahwa hal tersebut muncul dalam banyak konteks berbeda. Tekniknya menandai penyimpangan dari pekerjaan sebelumnya di bidang tersebut. Membuktikan kesenjangan yang pertama, tulisnya dalam esainya pada tahun 2019, adalah “pengalaman ajaib.” Dia “dalam keadaan gembira terus-menerus.”

Dia sangat bangga dengan salah satu ketidaksetaraan konsentrasi yang terjadi setelahnya. “Tidak mudah mendapatkan hasil yang mencoba berpikir tentang alam semesta sekaligus memiliki bukti satu halaman yang mudah dijelaskan,” ujarnya. (Dia ingat dengan gembira bahwa dia pernah menggunakan layanan taksi yang pemiliknya mengenali namanya, setelah mempelajari ketidaksetaraan selama kelas probabilitas di sekolah bisnis. “Itu luar biasa,” katanya.)

Seperti metode rangkaian generiknya, ketidaksetaraan konsentrasi Talagrand muncul di seluruh matematika. “Sungguh menakjubkan sejauh mana kemajuannya,” kata Naor. “Ketimpangan di Talagrand adalah sekrup yang menyatukan segala sesuatunya.”

Pertimbangkan masalah pengoptimalan di mana Anda harus mengurutkan item dengan ukuran berbeda ke dalam wadah — model alokasi sumber daya. Jika Anda memiliki banyak barang, sangat sulit untuk menentukan jumlah wadah terkecil yang Anda perlukan. Namun pertidaksamaan Talagrand dapat memberi tahu Anda berapa banyak wadah yang mungkin Anda perlukan jika ukuran itemnya acak.

Metode serupa telah digunakan untuk membuktikan fenomena konsentrasi dalam kombinatorik, fisika, ilmu komputer, statistik dan pengaturan lainnya.

Baru-baru ini, Talagrand menerapkan pemahamannya tentang proses acak untuk membuktikan dugaan penting tentang kaca berputar, bahan magnetik tidak teratur yang diciptakan oleh interaksi acak dan sering kali saling bertentangan. Talagrand merasa frustrasi karena, meskipun kaca spin didefinisikan dengan baik secara matematis, fisikawan memahaminya lebih baik daripada ahli matematika. “Itu adalah duri di kaki kami,” katanya. Dia membuktikan sebuah hasil — tentang apa yang disebut energi bebas dari kaca berputar — yang memberikan landasan bagi teori yang lebih matematis.

Sepanjang karirnya, penelitian Talagrand ditandai dengan “kemampuan untuk mundur dan menemukan prinsip-prinsip umum yang dapat digunakan kembali di mana pun,” kata Naor. “Dia meninjau kembali dan meninjau kembali, dan memikirkan sesuatu dari berbagai sudut pandang. Dan pada akhirnya dia mengeluarkan sebuah wawasan yang menjadi pekerja keras, yang digunakan semua orang.”

“Saya sangat suka memahami hal-hal sederhana, karena otak saya sangat lambat,” kata Talagrand. “Jadi saya memikirkannya untuk waktu yang sangat, sangat lama.” Dia didorong, katanya, oleh keinginan untuk “memahami sesuatu secara mendalam, dengan cara yang murni, yang membuat teori menjadi lebih mudah. Kemudian generasi berikutnya dapat memulai dari sana dan membuat kemajuan sesuai keinginan mereka.”

Selama dekade terakhir, ia telah mencapai hal ini dengan menulis buku teks — tidak hanya tentang proses acak dan kaca berputar, tetapi juga tentang bidang yang tidak ia geluti sama sekali, yaitu teori medan kuantum. Dia ingin mempelajarinya, namun menyadari bahwa semua buku teks yang dia temukan ditulis oleh dan untuk fisikawan, bukan ahli matematika. Jadi dia menulisnya sendiri. “Setelah Anda tidak bisa lagi menciptakan sesuatu, Anda bisa menjelaskannya,” katanya.