Matematikawan Menghilangkan Ancaman Lama terhadap Konjektur Simpul

Lebih dari 60 tahun yang lalu, Ralph Fox mengajukan masalah tentang simpul yang menghantui ahli matematika hingga hari ini. Pertanyaannya sekarang sering dirumuskan sebagai "dugaan irisan-pita", yang menyatakan bahwa dua kelompok simpul yang tampaknya berbeda sebenarnya sama. Dengan saran kesederhanaan elegan dalam dunia simpul, itu menjadi salah satu masalah paling terkenal dalam teori simpul. “Itu berarti bahwa dunia sedikit lebih terstruktur dari yang Anda duga sebelumnya,” kata Ray Arunima, seorang matematikawan di Institut Matematika Max Planck di Bonn.

Selama beberapa dekade, satu simpul tertentu diduga menjadi rute yang memungkinkan untuk menyelesaikan dugaan tersebut. Padahal di a kertas diposting musim panas lalu, lima ahli matematika menemukan bahwa simpul ini tidak akan berhasil sama sekali. Sementara argumen yang mereka perkenalkan akan memberikan wawasan baru ke dalam kelas simpul yang lebih luas, karya secara keseluruhan membuat ahli matematika tidak yakin tentang dugaan tersebut. "Saya pikir ada kontroversi yang sah tentang apakah itu akan menjadi benar atau tidak," kata Kristen Hendricks, seorang matematikawan di Rutgers University.

Dugaan irisan-pita menyangkut dua jenis simpul: simpul irisan dan simpul pita. Mencari tahu simpul mana yang dipotong adalah "salah satu pertanyaan mendasar yang menjadi topik kita," kata Abhishek Mallik, salah satu penulis makalah baru.

Simpul matematika dapat dianggap sebagai lingkaran tali biasa. Matematikawan menyebut lingkaran sederhana tanpa simpul di dalamnya sebagai "tidak diketahui". (Meskipun ini bukan simpul dalam arti kata yang biasa, ahli matematika menganggap unknot sebagai contoh paling sederhana dari sebuah simpul.)

Simpul juga menentukan batas bentuk yang oleh matematikawan disebut cakram, meskipun tidak selalu terlihat seperti cakram dalam arti kata yang biasa. Contoh paling sederhana, unknot, membentuk batas lingkaran — sebuah “cakram” yang memang terlihat seperti cakram. Tapi lingkaran itu membentuk batas tidak hanya lingkaran yang terletak datar di atas meja, tetapi juga mangkuk — yang memanjang menjadi tiga dimensi — yang diletakkan terbalik di atas meja. Cakram yang ditentukan oleh simpul dapat diperpanjang lebih jauh dari tiga dimensi menjadi empat.

Jika ada simpul pada string, disk menjadi lebih rumit. Dalam ruang tiga dimensi, cakram-cakram itu memiliki singularitas — titik-titik di mana secara matematis mereka berperilaku buruk. Simpul irisan adalah simpul yang memungkinkan — dalam empat dimensi — untuk menemukan cakram tanpa singularitas semacam itu. Iris simpul adalah "hal terbaik berikutnya ke yang tidak diketahui, "seperti Peter Teichner, juga dari Institut Max Planck, sudah begini.

Meskipun demikian, disk yang dibatasi oleh simpul irisan dalam tiga dimensi bisa jelek dan sulit untuk dikerjakan. Dugaan irisan-pita mengatakan bahwa mereka tidak harus seperti itu.

Simpul pita adalah simpul yang cakramnya menyerupai pita. Dalam tiga dimensi, pita-pita ini dapat melewati dirinya sendiri, seperti pita biasa yang dapat ditarik melalui luka yang dibuat di tengahnya. Secara matematis, pass-through seperti itu disebut singularitas pita. Tidak seperti jenis singularitas lainnya, singularitas pita dapat dengan mudah dihilangkan dengan berpindah ke empat dimensi. Ini memudahkan matematikawan untuk menunjukkan bahwa semua simpul pita adalah irisan.

Kebalikannya - bahwa setiap simpul irisan juga pita - adalah dugaan irisan-pita, yang telah menjadi pertanyaan terbuka selama beberapa dekade. (Untuk memperumit masalah lebih lanjut, simpul irisan memiliki beberapa klasifikasi terkait, termasuk "irisan halus" dan "irisan topologi." Dugaan hanya berlaku untuk jenis simpul "irisan halus", yang biasanya dimaksud oleh matematikawan dengan "irisan".)

Untuk membantah dugaan tersebut, cukuplah menemukan simpul yang terpotong dengan mulus, tetapi bukan pita. Selama beberapa dekade, ahli matematika mengincar kandidat: kabel (2, 1) dari simpul angka delapan, yang dibuat dengan memasukkan senar kedua di sepanjang simpul angka delapan dan kemudian menggabungkan kedua senar untuk membuat simpul tunggal.

Pada tahun 1980, Akio Kawauchi membuktikan bahwa simpul ini adalah irisan secara rasional dan aljabar, sifat yang mirip dengan irisan halus, tetapi tidak persis sama. Pada tahun 1994, Katura Miyazaki membuktikan bahwa itu bukan pita, meninggalkan pembukaan yang menegangkan bagi para matematikawan. Jika hasil Kawauchi bisa diperkuat hanya dengan satu sentuhan untuk menunjukkan bahwa simpul itu terpotong dengan mulus, itu akan membantah dugaan tersebut.

Makalah baru membuktikan bahwa simpul yang dipermasalahkan bukanlah irisan, membanting pintu ini hingga tertutup.

“Slice-ribbon conjecture, masih kuat,” kata Hendricks, yang telah bekerja sama dengan dua penulis makalah baru. “Itu sangat mengasyikkan, karena orang telah mencoba memahami contoh ini sejak lama.”

Bukti baru didasarkan pada sesuatu yang disebut penutup ganda bercabang. Anda dapat memvisualisasikan penutup ganda bercabang dengan memikirkan bola berongga, seperti bola basket. Untuk membuat sampul ganda bercabang pada bola basket, buka dari atas ke bawah sepanjang salah satu garis bujur. Sekarang, tarik salah satu sisi karet yang telah Anda potong, regangkan di sepanjang garis khatulistiwa sampai bahannya membungkus seluruhnya. Setelah Anda menyelesaikan transformasi ini, Anda memiliki bola basket yang terbuat dari dua lapisan bahan yang dapat dipertukarkan, sehingga disebut "penutup ganda". (Dalam skenario ini, karet dapat diregangkan dan dipelintir sesuka Anda tanpa patah atau kusut.)

Kata "bercabang" dalam "penutup ganda bercabang" berasal dari kekhasan transformasi. Karena Anda membentang secara horizontal, hanya ada satu lapisan di titik paling atas dan bawah bola, kutub utara dan selatan. Titik-titik ini disebut titik cabang, dan keberadaannya membuat penutup ganda menjadi penutup ganda bercabang.

Dalam hal simpul, penutup ganda bercabang dirangkai sedemikian rupa sehingga titik cabang adalah simpul itu sendiri: titik yang, seperti kutub utara dan selatan bola basket, hanya ditutup satu kali.

“Secara historis, melihat penutup bercabang ganda telah menjadi alat standar perdagangan,” kata Jennifer Hom, seorang ahli matematika di Institut Teknologi Georgia yang telah bekerja dengan dua penulis makalah baru. Ini karena - seperti bola basket yang mengelilingi bola udara - penutup ganda bercabang dari simpul irisan mengelilingi bentuk empat dimensi tertentu. Jika ahli matematika dapat menunjukkan bahwa penutup ganda bercabang simpul tidak mengelilingi bentuk 4D yang tepat, mereka dapat mengesampingkan kemungkinan bahwa simpul itu terpotong.

Tapi ini tidak cukup berhasil untuk kabel (2, 1) dari simpul angka delapan: Penutup ganda bercabangnya mengelilingi jenis bentuk empat dimensi yang tepat. Menunjukkan bahwa kabel (2, 1) dari simpul angka delapan tidak terpotong tergantung pada simetri bentuk yang sering diabaikan.

Saat Anda merentangkan permukaan bola basket untuk membentuk penutup ganda bercabang, Anda dapat membayangkan melakukan sesuatu yang serupa dengan bola udara tiga dimensi di dalamnya. Saat Anda menarik karet di sekitar bola, tarik saja udara bersamanya. Sama seperti dua lapisan karet yang dapat dipertukarkan, ada dua belahan bola udara yang keduanya berakhir di tempat yang sama. Dengan kata lain, simetri dari luar bola meluas ke dalam.

Dengan cara yang sama, simetri pada penutup ganda bercabang dari simpul irisan mencapai ruang 4D di dalamnya. Matematikawan biasanya mengabaikan simetri ini ketika mencoba menunjukkan bahwa simpul tidak terpotong. Tetapi dalam hal ini, itu penting. Jika penulis karya baru dapat menunjukkan bahwa tidak ada simetri seperti itu, mereka dapat menyimpulkan bahwa simpul itu tidak terpotong.

“Karena pertanyaannya tidak mengacu pada kesimetrian apa pun, Anda akan berpikir: Nah, bagaimana kesimetrian muncul dalam gambar untuk menjelaskannya? Tapi entah bagaimana, secara ajaib, dalam hal ini simetri muncul dan memecahkan masalah untuk Anda, ”kata Mallick, yang menulis makalah baru dengan Irving Dai Stanford University, JungHwan Park dari Korea Advanced Institute of Science and Technology, Matthew Stoffregen dari Michigan State University, dan Sung Kyung Kang dari Institute for Basic Science di Korea Selatan.

“Kami tahu bahwa struktur itu ada di sana. Tetapi salah satu alasan mengapa orang tidak mempelajarinya adalah karena kami tidak memiliki cara untuk melacak struktur tersebut,” kata Ray. “Anda memerlukan alat yang mewah dan berdaya tinggi untuk mendeteksinya.”

Untuk membuat argumen, tim harus menggunakan matematika yang dalam dan rumit terkait dengan simpul dan ruang sekitarnya, mengandalkan simetri yang lebih halus bahkan daripada penutup ganda bercabang. Dalam dua makalah sebelumnya, Dai, Mallick, dan Stoffregen telah menghitung beberapa properti ini. Ketika Kang berkunjung ke Stoffregen di Michigan State musim panas lalu, kabel (2, 1) dari simpul angka delapan masih ada di pikirannya, para peneliti segera menyadari bahwa formula tersebut akan menyelesaikan masalah irisannya. “Ada intuisi, yang memberi tahu saya bahwa perhitungan ini harus berhasil,” kata Kang. “Dan hanya dengan menghitungnya, kita seharusnya dapat menyelesaikan masalah ini sekarang.”

Pada akhir Juli, makalah mereka diposting online, membuktikan bahwa simpul itu sebenarnya bukan irisan. Ide-ide di koran, kata Park, harus diterapkan pada banyak simpul yang irisannya saat ini dipertanyakan. "Ini baru permulaan," katanya. Meskipun makalah ini berfokus pada simpul tertentu, Park mengatakan alat yang mereka kembangkan akan bekerja untuk keluarga simpul yang jauh lebih umum. Non-irisan dari simpul asli, bagaimanapun, memastikan bahwa dugaan irisan-pita akan tetap tidak pasti untuk saat ini.