Koneksi Tersembunyi yang Mengubah Teori Bilangan | Majalah Kuanta

Ada tiga macam bilangan prima. Yang pertama adalah outlier soliter: 2, satu-satunya bilangan prima genap. Setelah itu, separuh bilangan prima menyisakan sisa 1 ketika dibagi 4. Setengah bilangan prima lainnya menyisakan sisa 3. (5 dan 13 berada pada kubu pertama, 7 dan 11 pada kubu kedua.) Tidak ada alasan yang jelas bahwa sisa tersebut -1 bilangan prima dan sisa 3 bilangan prima harus berperilaku berbeda secara mendasar. Tapi mereka melakukannya.

Salah satu perbedaan utama berasal dari sifat yang disebut timbal balik kuadrat, yang pertama kali dibuktikan oleh Carl Gauss, ahli matematika paling berpengaruh di abad ke-19. “Ini adalah pernyataan yang cukup sederhana dan dapat diterapkan di mana saja, dalam semua jenis matematika, bukan hanya teori bilangan,” katanya James Rickards, seorang ahli matematika di Universitas Colorado, Boulder. “Tapi itu juga tidak terlalu jelas sehingga menjadi sangat menarik.”

Teori bilangan adalah cabang matematika yang mempelajari bilangan bulat (bukan, katakanlah, bentuk atau besaran kontinu). Bilangan prima – bilangan yang hanya dapat dibagi oleh 1 dan bilangan bulatnya sendiri – merupakan inti dari DNA, sama seperti DNA adalah inti dari biologi. Timbal balik kuadrat telah mengubah konsepsi matematikawan tentang seberapa banyak hal yang dapat dibuktikan. Jika Anda menganggap bilangan prima sebagai pegunungan, timbal balik adalah seperti jalan sempit yang memungkinkan ahli matematika mendaki ke puncak yang sebelumnya tidak dapat dijangkau dan, dari puncak tersebut, melihat kebenaran yang selama ini tersembunyi.

Meskipun ini merupakan teorema lama, teorema ini masih memiliki penerapan baru. Musim panas ini, Rickards dan rekannya Katherine Stange, bersama dengan dua siswa, membantah dugaan yang diterima secara luas tentang bagaimana lingkaran kecil dapat dimasukkan ke dalam lingkaran yang lebih besar. Hasilnya mengejutkan para matematikawan. Peter Sarnak, seorang ahli teori bilangan di Institute for Advanced Study dan Universitas Princeton, berbicara dengan Stange di sebuah konferensi segera setelah timnya diposting kertas mereka. “Dia mengatakan kepada saya bahwa dia punya contoh tandingan,” kenang Sarnak. “Saya langsung bertanya kepadanya, 'Apakah Anda melakukan tindakan timbal balik di suatu tempat?' Dan memang itulah yang dia gunakan.'”

Pola dalam Pasangan Bilangan Prima

Untuk memahami timbal balik, Anda harus terlebih dahulu memahami aritmatika modular. Operasi modular mengandalkan penghitungan sisa saat Anda membaginya dengan angka yang disebut modulus. Misalnya, 9 modulo 7 adalah 2, karena jika 9 dibagi 7, maka tersisa 2. Dalam sistem bilangan modulo 7, terdapat 7 bilangan: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. Anda dapat menambah, mengurangi, mengalikan, dan membagi angka-angka ini.

Sama seperti bilangan bulat, sistem bilangan ini juga dapat memiliki kuadrat sempurna—bilangan yang merupakan hasil kali bilangan lain dengan bilangan itu sendiri. Misalnya, 0, 1, 2 dan 4 adalah kuadrat sempurna modulo 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4, dan 3 × 3 = 2 mod 7). Setiap kuadrat biasa akan sama dengan 0, 1, 2, atau 4 modulo 7. (Misalnya, 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) Karena sistem bilangan modular berhingga, kuadrat sempurna lebih umum digunakan.

Timbal balik kuadrat berasal dari pertanyaan yang relatif mudah. Diberikan dua bilangan prima p dan q, jika Anda mengetahuinya p adalah modulo persegi sempurna q, bisakah kamu mengatakan apakah itu benar atau tidak q adalah modulo persegi sempurna p?

Ternyata selama itu juga p or q menyisakan sisa 1 bila dibagi 4, jika p adalah modulo persegi sempurna q, kemudian q juga merupakan modulo persegi sempurna p. Kedua bilangan prima dikatakan saling timbal balik.

Di sisi lain, jika keduanya meninggalkan sisa 3 (misalnya, 7 dan 11) maka keduanya tidak saling membalas: Jika p adalah modulo persegi q, itu artinya q tidak akan menjadi modulo persegi p. Dalam contoh ini, 11 adalah kuadrat modulo 7, karena 11 = 4 mod 7 dan kita telah mengetahui bahwa 4 adalah salah satu kuadrat sempurna modulo 7. Oleh karena itu, 7 bukanlah kuadrat modulo 11. Jika kita mengambil daftar bilangan biasa persegi (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,…) dan lihat sisanya modulo 11, maka 7 tidak akan pernah muncul.

Ini, dalam istilah teknis, sungguh aneh!

Kekuatan Generalisasi

Seperti banyak gagasan matematika, timbal balik berpengaruh karena dapat digeneralisasi.

Segera setelah Gauss menerbitkan bukti pertama timbal balik kuadrat pada tahun 1801, para ahli matematika mencoba memperluas gagasannya melampaui kuadrat. “Mengapa bukan kekuatan ketiga atau kekuatan keempat? Mereka membayangkan mungkin ada hukum timbal balik kubik atau hukum timbal balik kuartik,” kata Keith Conrad, seorang ahli teori bilangan di Universitas Connecticut.

Namun mereka mengalami kebuntuan, kata Conrad, “karena tidak ada pola yang mudah.” Hal ini berubah ketika Gauss membawa timbal balik ke dalam bilangan kompleks, yang menambahkan akar kuadrat dari minus 1, yang diwakili oleh i, ke angka biasa. Dia memperkenalkan gagasan bahwa ahli teori bilangan tidak hanya dapat menganalisis bilangan bulat biasa tetapi juga sistem matematika mirip bilangan bulat lainnya, seperti bilangan bulat Gaussian, yang merupakan bilangan kompleks yang bagian riil dan imajinernya keduanya bilangan bulat.

Dengan bilangan bulat Gaussian, seluruh gagasan tentang bilangan prima berubah. Misalnya, 5 bukan bilangan prima lagi, karena 5 = (2 + i) × (2 − i). “Anda harus memulai kembali seperti saat Anda berada di sekolah dasar lagi,” kata Conrad. Pada tahun 1832, Gauss membuktikan hukum timbal balik kuartik untuk bilangan bulat kompleks yang menyandang namanya.

Tiba-tiba, para ahli matematika belajar menerapkan alat-alat seperti aritmatika modular dan faktorisasi pada sistem bilangan baru ini. Timbal balik kuadrat adalah inspirasinya, menurut Conrad.

Pola-pola yang selama ini sulit dipahami tanpa bilangan kompleks kini mulai bermunculan. Pada pertengahan tahun 1840-an Gotthold Eisenstein dan Carl Jacobi telah membuktikan hukum timbal balik kubik yang pertama.

Kemudian, pada tahun 1920-an, Emil Artin, salah satu pendiri aljabar modern, menemukan apa yang disebut Conrad sebagai “hukum timbal balik utama”. Semua undang-undang timbal balik lainnya dapat dilihat sebagai kasus khusus dari hukum timbal balik Artin.

Satu abad kemudian, para ahli matematika masih merancang bukti baru hukum timbal balik kuadrat pertama Gauss dan menggeneralisasikannya ke dalam konteks matematika baru. Memiliki banyak bukti berbeda dapat bermanfaat. “Jika Anda ingin memperluas hasil ke lingkungan baru, mungkin salah satu argumen akan dengan mudah terbawa, sedangkan argumen lainnya tidak,” kata Conrad.

Mengapa Timbal Balik Sangat Bermanfaat

Timbal balik kuadrat digunakan dalam bidang penelitian yang beragam seperti teori grafik, topologi aljabar, dan kriptografi. Yang terakhir, algoritma enkripsi kunci publik yang berpengaruh dikembangkan pada tahun 1982 oleh Safi Goldwasser dan Silvio micali bergantung pada perkalian dua bilangan prima besar p dan q bersama-sama dan mengeluarkan hasilnya, N, bersama dengan nomor, x, yang bukan modulo persegi N. Algoritma ini menggunakan N dan x untuk mengenkripsi pesan digital menjadi rangkaian angka yang lebih besar. Satu-satunya cara untuk mendekripsi string ini adalah dengan memutuskan apakah setiap angka dalam string terenkripsi adalah modulo persegi atau tidak N — hampir tidak mungkin tanpa mengetahui nilai bilangan prima p dan q.

Dan tentu saja, timbal balik kuadrat muncul berulang kali dalam teori bilangan. Misalnya, dapat digunakan untuk membuktikan bahwa bilangan prima apa pun yang sama dengan 1 modulo 4 dapat ditulis sebagai jumlah dua kuadrat (misalnya, 13 sama dengan 1 modulo 4, dan 13 = 4 + 9 = 2² + 3²). Sebaliknya, bilangan prima yang sama dengan 3 modulo 4 tidak pernah dapat ditulis sebagai jumlah dari dua kuadrat.

Sarnak mencatat bahwa timbal balik dapat digunakan untuk menyelesaikan pertanyaan terbuka, seperti mencari tahu angka mana yang dapat ditulis sebagai jumlah dari tiga kubus. Diketahui bahwa bilangan yang sama dengan 4 atau 5 modulo 9 tidak sama dengan jumlah tiga kubus, namun bilangan lainnya tetap menjadi misteri. (Pada tahun 2019, Andrew Booker headline yang dihasilkan ketika dia menemukan bahwa (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

Meski banyak penerapannya, dan banyak bukti berbeda, ada sesuatu tentang timbal balik yang masih menjadi misteri, kata Stange.

“Yang sering terjadi dengan pembuktian matematis adalah Anda dapat mengikuti setiap langkah; Anda dapat percaya bahwa itu benar,” katanya. “Dan Anda masih bisa mengungkapkan perasaan seperti, 'Tapi kenapa?'”

Pemahaman, pada tingkat mendalam, apa yang membuat 7 dan 11 berbeda dari 5 dan 13 mungkin selamanya berada di luar jangkauan. “Kita hanya bisa menangani begitu banyak tingkat abstraksi,” katanya. “Ia muncul di mana-mana dalam teori bilangan… namun ini hanyalah satu langkah melampaui apa yang tampaknya baru saja Anda ketahui.”

Quanta sedang melakukan serangkaian survei untuk melayani audiens kami dengan lebih baik. Ambil milik kami survei pembaca matematika dan anda akan diikut sertakan untuk menang secara gratis Quanta barang dagangan