Le tessere che non si ripetono mai possono salvaguardare le informazioni quantistiche | Rivista Quanti

Se vuoi piastrellare il pavimento del bagno, le piastrelle quadrate sono l'opzione più semplice: si incastrano senza spazi vuoti in uno schema a griglia che può continuare all'infinito. Quella griglia quadrata ha una proprietà condivisa da molte altre piastrellature: sposta l'intera griglia di una quantità fissa e il modello risultante è indistinguibile dall'originale. Ma per molti matematici queste tassellazioni “periodiche” sono noiose. Se hai visto una piccola macchia, hai visto tutto.

Negli anni '1960 i matematici iniziarono a studiare Set di tessere “aperiodiche”. con un comportamento molto più ricco. Forse la più famosa è una coppia di piastrelle a forma di diamante scoperte negli anni '1970 dal fisico poliedrico e futuro premio Nobel Roger Penrose. Copie di queste due tessere possono formare infiniti modelli diversi che continuano all'infinito, chiamati piastrellature di Penrose. Tuttavia, non importa come disponi le tessere, non otterrai mai uno schema ripetuto periodicamente.

"Queste sono cose che non dovrebbero realmente esistere", ha detto Nikola Breuckmann, un fisico dell'Università di Bristol.

Per oltre mezzo secolo, le piastrellature aperiodiche hanno affascinato matematici, hobbisti e ricercatori in molti altri campi. Ora, due fisici hanno scoperto una connessione tra piastrellature aperiodiche e un ramo dell’informatica apparentemente non correlato: lo studio di come i futuri computer quantistici possono codificare le informazioni per proteggerlo dagli errori. In un carta Pubblicato sul server di prestampa arxiv.org a novembre, i ricercatori hanno mostrato come trasformare le piastrellature di Penrose in un tipo completamente nuovo di codice di correzione degli errori quantistici. Costruirono anche codici simili basati su altri due tipi di piastrellatura aperiodica.

Al centro della corrispondenza c’è una semplice osservazione: sia nelle piastrellature aperiodiche che nei codici di correzione degli errori quantistici, l’apprendimento di una piccola parte di un grande sistema non rivela nulla del sistema nel suo insieme.

"È una di quelle cose belle che sembrano ovvie in retrospettiva", ha detto Toby Cubitt, un ricercatore di informazioni quantistiche presso l'University College di Londra. "Tu dici: 'Perché non ci ho pensato?'"

Conoscenza Proibita

I computer comuni rappresentano le informazioni utilizzando bit con due stati distinti, etichettati 0 e 1. Anche i bit quantistici, o qubit, hanno due stati, ma possono anche essere ridotti alle cosiddette sovrapposizioni in cui i loro stati 0 e 1 coesistono. Sfruttando sovrapposizioni più elaborate che coinvolgono molti qubit, computer quantistici può eseguire determinati calcoli molto più velocemente di qualsiasi macchina convenzionale.

Eppure le sovrapposizioni quantistiche sono creature ombrose. Misura un qubit in uno stato di sovrapposizione e collasserà a 0 o 1, cancellando qualsiasi calcolo in corso. A peggiorare le cose, gli errori derivanti da deboli interazioni tra i qubit e il loro ambiente possono imitare gli effetti distruttivi della misurazione. Tutto ciò che disturba un qubit nel modo sbagliato, che si tratti di un ricercatore ficcanaso o di un fotone vagante, può rovinare il calcolo.

Questa estrema fragilità potrebbe far sembrare l’informatica quantistica senza speranza. Ma nel 1995, il matematico applicato Peter Shor scoperto un modo intelligente per archiviare informazioni quantistiche. La sua codifica aveva due proprietà chiave. Innanzitutto, potrebbe tollerare errori che interessano solo singoli qubit. In secondo luogo, veniva fornito con una procedura per correggere gli errori man mano che si verificavano, impedendo che si accumulassero e facessero deragliare un calcolo. La scoperta di Shor è stata il primo esempio di codice quantistico di correzione degli errori e le sue due proprietà chiave sono le caratteristiche distintive di tutti questi codici.

La prima proprietà deriva da un principio semplice: le informazioni segrete sono meno vulnerabili quando vengono condivise. Le reti di spionaggio utilizzano una strategia simile. Ogni spia sa molto poco della rete nel suo complesso, quindi l'organizzazione rimane al sicuro anche se un individuo viene catturato. Ma i codici di correzione degli errori quantistici portano questa logica all’estremo. In una rete di spionaggio quantistico, nessuna singola spia saprebbe nulla, ma insieme saprebbero molto.

Ogni codice di correzione degli errori quantistici è una ricetta specifica per distribuire le informazioni quantistiche su molti qubit in uno stato di sovrapposizione collettiva. Questa procedura trasforma efficacemente un cluster di qubit fisici in un singolo qubit virtuale. Ripeti il ​​processo più volte con una vasta gamma di qubit e otterrai molti qubit virtuali che puoi utilizzare per eseguire calcoli.

I qubit fisici che compongono ciascun qubit virtuale sono come quelle ignare spie quantistiche. Misura uno qualsiasi di essi e non imparerai nulla sullo stato del qubit virtuale di cui fa parte: una proprietà chiamata indistinguibilità locale. Poiché ogni qubit fisico non codifica alcuna informazione, gli errori nei singoli qubit non rovineranno il calcolo. Le informazioni che contano sono in qualche modo ovunque, ma da nessuna parte in particolare.

"Non è possibile identificarlo con un singolo qubit", ha detto Cubitt.

Tutti i codici di correzione degli errori quantistici possono assorbire almeno un errore senza alcun effetto sulle informazioni codificate, ma alla fine soccomberanno tutti man mano che gli errori si accumulano. È qui che entra in gioco la seconda proprietà dei codici di correzione degli errori quantistici: la correzione effettiva degli errori. Ciò è strettamente correlato all'indistinguibilità locale: poiché gli errori nei singoli qubit non distruggono alcuna informazione, è sempre possibile invertire qualsiasi errore utilizzando procedure stabilite specifiche per ciascun codice.

Preso per un giro

Zi Li, un postdoc presso il Perimeter Institute for Theoretical Physics di Waterloo, in Canada, era esperto nella teoria della correzione degli errori quantistici. Ma l'argomento era lontano dalla sua mente quando iniziò una conversazione con il suo collega Latham Boyle. Era l'autunno del 2022 e i due fisici erano su una navetta serale da Waterloo a Toronto. Boyle, un esperto di piastrellature aperiodiche che all'epoca viveva a Toronto e ora lavora all'Università di Edimburgo, era un volto familiare su quei viaggi in navetta, che spesso rimanevano bloccati nel traffico intenso.

"Normalmente potrebbero essere molto infelici", ha detto Boyle. "Questo è stato il più grande di tutti i tempi."

Prima di quella fatidica sera, Li e Boyle conoscevano il lavoro dell'altro, ma le loro aree di ricerca non si sovrapponevano direttamente e non avevano mai avuto una conversazione personale. Ma come innumerevoli ricercatori in campi non correlati, Li era curioso delle piastrellature aperiodiche. "È molto difficile non essere interessati", ha detto.

L'interesse si trasformò in fascino quando Boyle menzionò una proprietà speciale delle piastrellature aperiodiche: l'indistinguibilità locale. In quel contesto, il termine significa qualcosa di diverso. Lo stesso insieme di tessere può formare infinite piastrellature che sembrano complessivamente completamente diverse, ma è impossibile distinguere due piastrellature esaminando qualsiasi area locale. Questo perché ogni porzione finita di qualsiasi piastrellatura, non importa quanto grande, apparirà da qualche parte in ogni altra piastrellatura.

"Se ti metto in una casella o nell'altra e ti do il resto della tua vita da esplorare, non sarai mai in grado di capire se ti ho messo nella tua casella o nella mia", ha detto Boyle.

A Li, questo sembrava molto simile alla definizione di indistinguibilità locale nella correzione degli errori quantistici. Ha menzionato il collegamento con Boyle, che è rimasto immediatamente paralizzato. La matematica sottostante nei due casi era piuttosto diversa, ma la somiglianza era troppo intrigante per essere ignorata.

Li e Boyle si sono chiesti se potessero tracciare una connessione più precisa tra le due definizioni di indistinguibilità locale costruendo un codice quantistico di correzione degli errori basato su una classe di tassellature aperiodiche. Continuarono a parlare per l'intero viaggio in navetta di due ore e quando arrivarono a Toronto erano sicuri che un codice del genere fosse possibile: si trattava solo di costruire una prova formale.

Piastrelle quantistiche

Li e Boyle decisero di iniziare con le piastrellature di Penrose, che erano semplici e familiari. Per trasformarli in un codice di correzione degli errori quantistici, dovrebbero prima definire come apparirebbero gli stati e gli errori quantistici in questo insolito sistema. Quella parte è stata facile. Un piano bidimensionale infinito ricoperto di piastrelle di Penrose, come una griglia di qubit, può essere descritto utilizzando la struttura matematica della fisica quantistica: gli stati quantistici sono piastrellature specifiche invece di 0 e 1. Un errore elimina semplicemente una singola patch del modello di piastrellatura, nello stesso modo in cui alcuni errori negli array di qubit cancellano lo stato di ogni qubit in un piccolo cluster.

Il passo successivo è stato identificare le configurazioni di piastrellatura che non sarebbero state influenzate da errori localizzati, come gli stati dei qubit virtuali nei normali codici di correzione degli errori quantistici. La soluzione, come in un codice ordinario, era usare le sovrapposizioni. Una sovrapposizione accuratamente scelta di piastrelle Penrose è simile alla disposizione delle piastrelle del bagno proposta dal decoratore d'interni più indeciso del mondo. Anche se manca un pezzo di quel progetto confuso, non tradirà alcuna informazione sulla planimetria complessiva.

Per questo approccio al lavoro, Li e Boyle hanno dovuto prima distinguere due relazioni qualitativamente diverse tra le distinte piastrellature di Penrose. Data una qualsiasi piastrellatura, puoi generare un numero infinito di nuove piastrellature spostandola in qualsiasi direzione o ruotandola. L'insieme di tutte le piastrellature generate in questo modo è chiamato classe di equivalenza.

Ma non tutte le piastrellature di Penrose rientrano nella stessa classe di equivalenza. Una piastrellatura in una classe di equivalenza non può essere trasformata in una piastrellatura in un'altra classe attraverso alcuna combinazione di rotazioni e traslazioni: i due modelli infiniti sono qualitativamente diversi, ma ancora localmente indistinguibili.

Con questa distinzione in atto, Li e Boyle poterono finalmente costruire un codice di correzione degli errori. Ricordiamo che in un normale codice di correzione degli errori quantistici, un qubit virtuale è codificato in sovrapposizioni di qubit fisici. Nel loro codice basato sulla piastrellatura, gli stati analoghi sono sovrapposizioni di tutte le piastrellature all'interno di un'unica classe di equivalenza. Se il piano è piastrellato con questo tipo di sovrapposizione, esiste una procedura per colmare le lacune senza rivelare alcuna informazione sullo stato quantistico complessivo.

"I Penrose in qualche modo conoscevano la correzione degli errori quantistici prima dell'invenzione del computer quantistico", ha detto Boyle.

L'intuizione di Li e Boyle durante il viaggio in autobus era stata giusta. A un livello profondo, le due definizioni di indistinguibilità locale erano esse stesse indistinguibili.

Trovare il modello

Sebbene matematicamente ben definito, il nuovo codice di Li e Boyle era poco pratico. I bordi delle tessere nelle piastrellature di Penrose non cadono a intervalli regolari, quindi specificarne la distribuzione richiede numeri reali continui anziché numeri interi discreti. I computer quantistici, d’altro canto, utilizzano tipicamente sistemi discreti come griglie di qubit. Quel che è peggio, le piastrellature di Penrose sono indistinguibili solo localmente su un piano infinito, il che non si traduce bene nel mondo reale finito.

"È una connessione molto curiosa", ha detto Barbara Terhal, un ricercatore di informatica quantistica presso l'Università di Tecnologia di Delft. "Ma è anche bello riportarlo con i piedi per terra."

Li e Boyle hanno già fatto un passo in quella direzione, costruendo altri due codici basati sulla piastrellatura in cui il sistema quantistico sottostante è finito in un caso e discreto nell'altro. Il codice discreto può anche essere reso finito, ma restano altre sfide. Entrambi i codici finiti possono correggere solo errori raggruppati insieme, mentre i codici di correzione degli errori quantistici più popolari possono gestire errori distribuiti in modo casuale. Non è ancora chiaro se questa sia una limitazione intrinseca dei codici basati sul piastrellamento o se potrebbe essere aggirata con una progettazione più intelligente.

"C'è molto lavoro di follow-up che può essere fatto", ha detto Felix Flicker, un fisico dell'Università di Bristol. "Tutti i buoni giornali dovrebbero farlo."

Non sono solo i dettagli tecnici che devono essere compresi meglio: la nuova scoperta solleva anche domande più fondamentali. Un ovvio passo successivo è determinare quali altre piastrellature funzionano anche come codici. Proprio l’anno scorso i matematici lo hanno scoperto una famiglia di piastrellature aperiodiche che ciascuno utilizza solo una singola tessera. "Sarebbe affascinante vedere come questi recenti sviluppi potrebbero forse collegarsi al problema della correzione degli errori quantistici", ha scritto Penrose in una e-mail.

Un'altra direzione prevede l'esplorazione delle connessioni tra i codici di correzione degli errori quantistici e alcuni codici modelli di gravità quantistica. In un carta 2020, Boyle, Flicker e la defunta Madeline Dickens mostrarono che nella geometria spazio-temporale di quei modelli compaiono piastrellature aperiodiche. Ma quella connessione derivava da una proprietà delle piastrellature che non ha alcun ruolo nel lavoro di Li e Boyle. Sembra che la gravità quantistica, la correzione degli errori quantistici e le piastrellature aperiodiche siano pezzi diversi di un puzzle i cui contorni i ricercatori stanno appena iniziando a comprendere. Come nel caso delle piastrellature aperiodiche stesse, capire come questi pezzi si incastrano può essere straordinariamente sottile.

"Ci sono radici profonde che collegano queste cose diverse", ha detto Flicker. “Questa allettante serie di connessioni chiede di essere risolta”.