Due studenti svelano una congettura matematica molto diffusa | Rivista Quanta

Summer Haag e Clyde Kertzer nutrivano grandi speranze per il loro progetto di ricerca estivo. Accecare un intero sottocampo della matematica non era uno di questi.

A maggio, Haag stava finendo il suo primo anno di scuola di specializzazione presso l'Università del Colorado, Boulder, dove Kertzer era uno studente universitario. Entrambi non vedevano l'ora di prendersi una pausa dalle lezioni. Haag ha pianificato di esplorare nuove escursioni e vie di arrampicata. Kertzer, originario di Boulder, voleva giocare a calcio e preparare la domanda per la scuola di specializzazione. Ma come aspiranti matematici ricercatori, avevano anche fatto domanda per un programma di ricerca estivo a metà tempo nel gruppo del matematico Caterina Stange.

Stange è una teorica dei numeri che si descrive come una matematica "rana” — qualcuno che approfondisce le complessità di un problema prima di passare a un altro. È interessata a "domande apparentemente semplici che portano a una ricchezza di struttura", ha detto. I suoi progetti spesso affrontano gli sfuggenti problemi aperti della teoria dei numeri utilizzando i computer per generare grandi set di dati.

Haag e Kertzer hanno iniziato il programma in occasione del 23esimo compleanno di Haag con un'introduzione di una settimana sugli imballaggi dei cerchi apollinei, l'antico studio di come i cerchi possono armoniosamente inserirsi in un cerchio più grande.

Immagina di disporre tre monete in modo che ognuna tocchi le altre. Puoi sempre disegnare un cerchio attorno a loro che tocchi tutti e tre dall'esterno. Quindi puoi iniziare a porre domande: in che modo le dimensioni di quel cerchio più grande sono correlate a quelle delle tre monete? Quale cerchio di dimensioni si adatterà allo spazio tra le tre monete? E se inizi a disegnare cerchi che riempiono spazi sempre più piccoli tra i cerchi, creando uno schema frattale noto come imballaggio, come si relazionano tra loro le dimensioni di quei cerchi?

Piuttosto che pensare al diametro di questi cerchi, i matematici usano una misura chiamata curvatura, l'inverso del raggio. Quindi un cerchio di raggio 2 ha curvatura 1/2, e un cerchio di raggio 1/3 ha curvatura 3. Più piccolo è il cerchio, maggiore è la curvatura.

I matematici del Rinascimento hanno dimostrato che se i primi quattro cerchi hanno una curvatura che è un numero intero, le curvature di tutti i cerchi successivi nell'imballaggio sono sicuramente numeri interi. Questo è notevole di per sé. Ma i matematici hanno fatto un ulteriore passo avanti nel problema ponendo domande su quali numeri interi si presentano man mano che i cerchi diventano sempre più piccoli e le curvature diventano sempre più grandi.

Nel 2010, Elena Fuchs, un teorico dei numeri ora all'Università della California, Davis, dimostrato che le curvature seguono una relazione particolare che le costringe in determinati secchi numerici. Poco dopo, i matematici si convinsero che non solo le curvature dovevano rientrare in un secchio o in un altro, ma anche che doveva essere utilizzato ogni numero possibile in ciascun secchio. L'idea divenne nota come congettura locale-globale.

"Molte opere lo hanno fatto riferimento come se fosse già un fatto", ha detto Kertzer. "Ne abbiamo discusso come se dovesse essere dimostrato a un certo punto nel prossimo futuro."

James Rickards, un matematico di Boulder che lavora con Stange e gli studenti, aveva scritto un codice per esaminare qualsiasi disposizione desiderata degli imballaggi circolari. Quindi, quando Haag e Kertzer si sono uniti al gruppo il 15 maggio, hanno pensato di creare fantastiche trame dell'affidabile regola locale-globale che si stava affermando.

Stange è volato in Francia per una conferenza all'inizio di giugno. Quando è tornata il 12 giugno, il team si è rannicchiato attorno ai grafici che hanno dimostrato come ad alcuni secchi sembrassero mancare determinati numeri.

"Non stavamo indagando su questo fenomeno", ha detto Rickards. “Non stavo cercando di verificare che fosse vero. Sapevo che era vero - ho solo pensato che fosse vero. E poi all'improvviso, ci troviamo di fronte a dati che dicono che non lo è.

Entro la fine della settimana, il team era fiducioso che la congettura fosse falsa. I numeri che si aspettavano di apparire non lo sono mai stati. Hanno elaborato una prova e il 6 luglio loro pubblicato il loro lavoro al sito di prestampa scientifica arxiv.org.

Fuchs ricorda di aver parlato con Stange subito dopo che la prova è scattata a posto. "Quanto credi alla congettura locale-globale?" chiese Stange. Fuchs ha risposto che ovviamente ci credeva. "Poi mi ha mostrato tutti questi dati e ho detto: 'Oh mio Dio, è incredibile'", ha detto Fuchs. "Voglio dire, credevo davvero che la congettura locale-globale fosse vera."

“Una volta che lo vedi, dici semplicemente 'Aha! Certo!'”, ha detto Pietro Sarnaki, un matematico dell'Institute for Advanced Study e della Princeton University il cui prime osservazioni ha contribuito ad alimentare la congettura locale-globale.

"È un'intuizione fantastica", ha aggiunto Alex Kontorovich della Rutgers University. "Ci prendiamo tutti a calci per non averlo trovato 20 anni fa, quando le persone hanno iniziato a giocarci per la prima volta."

Tra le macerie lasciate dal risultato, il lavoro ha messo in luce una crepa nelle fondamenta di altre congetture nella teoria dei numeri. I matematici sono stati lasciati a chiedersi quale credenza ampiamente diffusa potrebbe essere la prossima a cadere.

Storia della rotonda

Le confezioni del cerchio apollineo prendono il nome dal loro probabile ideatore, Apollonio di Perga. Circa 2,200 anni fa, il geometra greco scrisse un libro intitolato Tangenze su come costruire un cerchio tangente ad altri tre. Il libro è andato perduto nel tempo. Ma circa 500 anni dopo, il matematico greco Pappo di Alessandria mise insieme un compendio che sarebbe sopravvissuto al crollo dell'impero bizantino.

Usando solo la descrizione di Pappo Tangenze, i matematici del Rinascimento tentarono di risalire all'opera originale. Nel 1643, René Descartes aveva scoperto una semplice relazione tra le curvature di quattro cerchi qualsiasi tangenti l'uno all'altro. Descartes ha affermato che la somma di tutte le curvature quadrate è uguale alla metà del quadrato della somma delle curvature. Ciò significa che, dati tre cerchi, è possibile calcolare il raggio di un quarto cerchio tangente. Ad esempio, se hai tre cerchi con curvature di 11, 14 e 15, puoi inserire quei numeri nell'equazione di Descartes e calcolare la curvatura del cerchio che si adatterebbe al loro interno: 86.

Nel 1936, il radiochimico vincitore del Premio Nobel Federico Soddy notò qualcosa di strano mentre costruiva degli imballaggi con il parente di Cartesio. Man mano che i cerchi diventavano più piccoli e le curvature più grandi, si aspettava di ottenere numeri nodosi con radici quadrate o decimali infiniti. Invece, tutte le curvature erano numeri interi. Questa era una conseguenza abbastanza semplice dell'equazione di Descartes, ma nessuno se n'era accorto per centinaia di anni. Ha ispirato Soddy a farlo pubblicare una poesia nella rivista scientifica Natura, che iniziava:

Per coppie di labbra da baciare forse
Non comporta trigonometria.
Non è così quando quattro cerchi si baciano
Ciascuno gli altri tre.

Il possibile e l'inevitabile

Una volta stabilito che ci sono imballaggi pieni di numeri interi, i matematici hanno cercato di trovare schemi in quei numeri interi.

Nel 2010, Fuchs e Caterina Sanden deciso di costruire su a carta da 2003. Il duo ha osservato che dividendo per 24 ciascuna curvatura in un dato imballaggio, emergeva una regola. Alcuni baderne hanno solo curvature con resto di 0, 1, 4, 9, 12 o 16, per esempio. Altri lasciano solo resti di 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 o 22. C'erano sei diversi gruppi possibili.

Quando i matematici esaminarono le diverse categorie di guarnizioni, iniziarono a notare che per cerchi abbastanza piccoli - quelli con grandi curvature - sembrava che ogni numero possibile all'interno di ciascuna categoria apparisse per guarnizioni di quel tipo. Questa idea venne chiamata la congettura locale-globale. Dimostrare che è diventato "uno dei miei sogni di questi piccoli matematici", ha detto Fuchs. "Tipo, forse a un certo punto, tra molti anni, sarò in grado di risolverlo."

Nel 2012, Kontorovich e Jean Bourgain (che morto in 2018) lo ha dimostrato praticamente ogni numero previsto dalla congettura si verifica. Ma "virtualmente tutto" non significa "tutto". Ad esempio, i quadrati perfetti sono abbastanza rari che, matematicamente, "praticamente tutti" i numeri interi non sono quadrati perfetti, anche se, ad esempio, 25 e 49 lo sono. I matematici pensavano che i rari controesempi rimasti possibili dopo l'articolo di Kontorovich e Bourgain in realtà non esistessero, soprattutto perché i due o tre pacchetti di circoli più studiati sembravano seguire così bene la congettura locale-globale, ha detto Kontorovich.

Alzando quel quadrante

Quando Haag e Kertzer hanno iniziato questa estate a Boulder, Rickards ha scarabocchiato idee su una lavagna nell'ufficio di Stange. "Avevamo un intero elenco", ha detto Rickards. Avevano quattro o cinque punti di partenza con cui sperimentare. "Cose con cui puoi semplicemente giocare e vedere cosa succede."

Un'idea era quella di calcolare tutti i possibili raggruppamenti di cerchi che contengono due curvature arbitrarie A e B. Rickards ha scritto un programma che emette una sorta di libro mastro che riporta quali numeri interi si presentano alla festa quando A sta ospitando.

Sulla base di questo programma, Haag ha messo insieme uno script Python che tracciava tonnellate di simulazioni contemporaneamente. Era come una tavola pitagorica: Haag sceglieva quali righe e colonne includere in base ai loro resti quando venivano divisi per 24. Le coppie di numeri che appaiono insieme in un pacchetto apollineo ottenevano pixel bianchi; quelli che non hanno pixel neri.

Haag ha analizzato dozzine di trame, una per ogni coppia di resti in ciascuno dei sei gruppi.

Sembravano esattamente come previsto: un muro di bianco, punteggiato di macchie nere per i numeri interi più piccoli. "Ci aspettavamo che i punti neri si esaurissero", ha detto Stange. Rickards ha aggiunto: "Ho pensato che forse sarebbe stato anche possibile dimostrare che si esaurivano". Ha ipotizzato che, osservando i grafici che sintetizzano molti pacchetti insieme, il team sarebbe stato in grado di dimostrare risultati che non erano possibili quando si guardava un pacchetto da solo.

Mentre Stange era via, Haag finì per tracciare ogni coppia di resti - circa 120. Nessuna sorpresa lì. Poi è andata alla grande.

Haag aveva tracciato il modo in cui interagiscono 1,000 numeri interi. (Il grafico è più grande di quanto sembri, dal momento che coinvolge 1 milione di coppie possibili.) Quindi ha alzato il quadrante fino a 10,000 volte 10,000. In un grafico, righe e colonne regolari di macchie nere si rifiutavano di dissolversi. Non assomigliava per niente a ciò che avrebbe predetto la congettura locale-globale.

La squadra si è incontrata un lunedì dopo il ritorno di Stange. Haag ha presentato i suoi grafici e tutti si sono concentrati su quello con i punti strani. "Era solo uno schema continuo", ha detto Haag. "Ed è stato allora che Kate ha detto: 'E se la congettura locale-globale non fosse vera?'"

“Questo sembra uno schema. Deve continuare. Quindi la congettura locale-globale deve essere falsa", ha ricordato Stange pensando. "James era più scettico."

"Il mio primo pensiero è stato che doveva esserci un bug nel mio codice", ha detto Rickards. "Voglio dire, quella era l'unica cosa ragionevole a cui riuscivo a pensare."

Nel giro di mezza giornata, Rickards è arrivato. Lo schema ha escluso tutte le coppie in cui il primo numero è della forma 8 × (3n ±1)² e il secondo è 24 volte qualsiasi quadrato. Ciò significa che 24 e 8 non compaiono mai nella stessa confezione. I numeri che ti aspetteresti non si verificano.

“Ero un po' stordito. Non capita molto spesso che qualcosa ti sorprenda davvero", ha detto Stange. "Ma questa è la magia di giocare con i dati."

Il Carta di luglio delinea una prova rigorosa che il modello che hanno osservato continua indefinitamente, smentendo la congettura. La dimostrazione dipende da un principio secolare chiamato reciprocità quadratica che coinvolge i quadrati di due numeri primi. Il team di Stange ha scoperto come la reciprocità si applica agli imballaggi circolari. Spiega perché certe curvature non possono essere tangenti l'una all'altra. La regola, chiamata ostruzione, si propaga in tutto l'imballaggio. "È solo una cosa completamente nuova", ha detto Jeffrey Lagarias, un matematico dell'Università del Michigan che è stato coautore del documento Circle Packing del 2003. «L'hanno trovato ingegnosamente», disse Sarnak. "Se questi numeri apparissero, violerebbero la reciprocità".

il Fallout

Un certo numero di altre congetture nella teoria dei numeri potrebbe ora essere in dubbio. Come la congettura locale-globale, sono difficili da dimostrare ma è già stato dimostrato che valgono praticamente per tutti i casi e generalmente si presume che siano vere.

Ad esempio, Fuchs studia le triple di Markov, insiemi di numeri che soddisfano l'equazione x² + y² + z² = 3xyz. Lei e altri hanno dimostrato che alcuni tipi di soluzioni sono collegati per numeri primi maggiori di 10³⁹². Tutti credono che il modello dovrebbe continuare all'infinito. Ma alla luce del nuovo risultato, Fuchs si è permessa di provare una fitta di dubbio. «Forse mi sto perdendo qualcosa», disse. "Forse a tutti manca qualcosa."

"Ora che abbiamo un solo esempio in cui è falso, la domanda è: è falso anche per questi altri esempi?" ha detto Rickards.

C'è anche la congettura di Zaremba. Dice che una frazione con qualsiasi denominatore può essere espressa come una frazione continua che utilizza solo i numeri compresi tra 1 e 5. Nel 2014, Kontorovich e Bourgain hanno dimostrato che la congettura di Zaremba vale per quasi tutti i numeri. Ma la sorpresa per il circle packing ha minato la fiducia nella congettura di Zaremba.

Se il problema dell'imballaggio è un presagio di cose a venire, i dati computazionali possono essere lo strumento della sua rovina.

"Trovo sempre affascinante quando la nuova matematica nasce semplicemente guardando semplicemente i dati", ha detto Fuchs. "Senza di esso, è davvero difficile immaginare che [loro] si sarebbero imbattuti in questo."

Stange ha aggiunto che niente di tutto questo sarebbe successo senza il progetto estivo low-stakes. "La serendipità e un atteggiamento di esplorazione giocosa hanno entrambi un ruolo così importante nella scoperta", ha detto.

"È stata una pura coincidenza", ha detto Haag. "Se non fossi diventato abbastanza grande, non ce ne saremmo accorti." Il lavoro fa ben sperare per il futuro della teoria dei numeri. "Puoi raccogliere la comprensione della matematica attraverso la tua intuizione, attraverso le prove", ha detto Stange. “E ti fidi molto perché hai passato molto tempo a pensarci. Ma non puoi discutere con i dati.

Nota del redattore: Alex Kontorovich è un membro di Quanta Magazinecomitato consultivo scientifico. È stato intervistato per questa storia ma non ha contribuito in altro modo alla sua produzione.