I matematici si stupiscono di fronte a "Crazy" che attraversa quattro dimensioni | Rivista Quanti

Gli oggetti centrali di studio in topologia sono gli spazi chiamati varietà, che appaiono piatti quando si ingrandisce su di essi. La superficie di una sfera, ad esempio, è una varietà bidimensionale. I topologi comprendono molto bene tali varietà bidimensionali. E hanno sviluppato strumenti che consentono loro di dare un senso alle varietà tridimensionali e a quelle con cinque o più dimensioni.

Ma in quattro dimensioni “tutto va un po’ fuori di testa”, ha detto Sam Hughes, ricercatore post-dottorato presso l'Università di Oxford. Gli strumenti smettono di funzionare; emerge un comportamento esotico. COME Tom Mrowka del Massachusetts Institute of Technology ha spiegato: "C'è abbastanza spazio per avere fenomeni interessanti, ma non così tanto da farli crollare".

All'inizio degli anni '1990, Mrowka e Pietro Kronheimer dell'Università di Harvard stavano studiando come le superfici bidimensionali possano essere incorporate all'interno di varietà quadridimensionali. Hanno sviluppato nuove tecniche per caratterizzare queste superfici, consentendo loro di ottenere informazioni cruciali sulla struttura altrimenti inaccessibile delle varietà quadridimensionali. I loro risultati hanno suggerito che i membri di un’ampia classe di superfici tagliano tutti la loro varietà madre in modo relativamente semplice, lasciando invariata una proprietà fondamentale. Ma nessuno poteva dimostrare che questo fosse sempre vero.

A febbraio, insieme a Daniele Rubermann della Brandeis University, Hughes costruito una sequenza di controesempi - Superfici bidimensionali “folli” che sezionano le loro varietà madri in modi che i matematici avevano creduto impossibili. I controesempi mostrano che le varietà quadridimensionali sono ancora più notevolmente diverse di quanto avessero realizzato i matematici dei decenni precedenti. "È davvero un bellissimo articolo", ha detto Mrowka. “Continuo a guardarlo. Ci sono un sacco di piccole cose deliziose lì.

Fare una lista

Alla fine dell'anno scorso, Ruberman aiutato ad organizzare una conferenza che ha creato un nuovo elenco dei problemi aperti più significativi nella topologia a bassa dimensione. Nel prepararsi, ha esaminato un elenco precedente di importanti problemi topologici irrisolti del 1997. Comprendeva una domanda che Kronheimer aveva posto sulla base del suo lavoro con Mrowka. "Era lì e penso che fosse un po' dimenticato", ha detto Ruberman. Ora pensava di poter rispondere.

Per comprendere la domanda, è utile considerare innanzitutto due idee chiave: le varietà semplicemente connesse e il gruppo fondamentale.

Le varietà semplicemente connesse sono spazi senza fori passanti. In una dimensione, una linea infinita è semplicemente connessa, ma un cerchio no. In due dimensioni, un piano infinito e la superficie di una sfera sono semplicemente collegati, ma la superficie di una ciambella no.

I matematici rendono rigorosa questa distinzione posizionando i cicli su una varietà e considerando come possono essere deformati. Se qualsiasi anello può essere ridotto a un punto, allora una varietà è semplicemente connessa. Su un piano o sulla superficie di una sfera, ad esempio, questo è possibile: pensa a tirare una corda tesa. Ma se quella corda gira attorno a un cerchio, non può restringersi. Allo stesso modo, sulla superficie di una ciambella, gli anelli che circondano o attraversano il foro centrale non possono essere deformati in un unico punto. La ciambella stessa si mette in mezzo.

I matematici classificano gli spazi che non sono semplicemente connessi calcolando il loro “gruppo fondamentale”, un oggetto la cui struttura riflette il modo in cui i cicli si restringono. Le varietà semplicemente connesse hanno un gruppo fondamentale “banale” con un solo elemento. Ma le varietà con buchi hanno gruppi fondamentali più complicati.

Le varietà quadridimensionali semplicemente connesse possono essere ancora molto strane. Per capirli, i matematici riflettono su cosa può accadere alle superfici bidimensionali in essi racchiuse.

Per analogia, immagina di stendere un cappio di spago piatto su un pezzo di carta. Non c'è molto che puoi fare con esso. Ma sollevatelo nello spazio tridimensionale e potrete annodarlo in nodi complicati. I modi in cui puoi manipolare la corda – una varietà unidimensionale – chiariscono la natura dello spazio in cui è incorporata.

Allo stesso modo, nel mondo più complicato delle quattro dimensioni, le superfici bidimensionali sono “una sorta di chiave per l’intero business, in molti modi diversi”, ha affermato Ruberman. "Le superfici ti dicono molto di più su una varietà quadridimensionale di quanto tu abbia il diritto di aspettarti." Le superfici ti permettono di distinguere tra varietà: se una superficie può vivere all'interno di una varietà ma non in un'altra, sai che le varietà sono diverse. E le superfici possono essere utilizzate per costruire nuove varietà a partire da quelle vecchie.

Le superfici hanno anche gruppi fondamentali corrispondenti. E lo stesso vale per i loro complementi: la parte di una varietà che rimane quando si toglie la superficie. Rimuovendo l'equatore da varietà bidimensionali come la superficie di una sfera o di una ciambella, per esempio, si ottengono due emisferi disconnessi. Ma la superficie della ciambella rimane integra se si rimuove un anello verticale anziché orizzontale. Allo stesso modo, a seconda di come si ritaglia una superficie da una varietà quadridimensionale, si possono ottenere diversi tipi di complementi.

Negli anni '1990, Mrowka e Kronheimer hanno studiato cosa succede quando si elimina una superficie bidimensionale da una varietà quadridimensionale. Se la varietà stessa è semplicemente connessa, quali condizioni devono soddisfare le superfici per garantire che anche i loro complementi debbano essere semplicemente connessi?

Kronheimer e Mrowka sapevano che alcuni tipi di superfici potevano avere elementi complementari che non erano semplicemente connessi. Ma il loro lavoro sembrava indicare che un’altra ampia classe di superfici dovesse sempre avere complementi semplicemente connessi.

Per quasi tre decenni nessuno riuscì a trovare un esempio di superficie in quella classe il cui complemento non fosse semplicemente connesso. Ma nell’autunno del 2023, dopo essersi imbattuto nel problema, Ruberman pensò di farcela. Invece di iniziare con una varietà quadridimensionale e ritagliare una superficie, iniziò con una superficie bidimensionale che possedeva le proprietà necessarie e costruì una varietà attorno ad essa.

Innanzitutto, ha ingrassato la superficie fino a trasformarla in una massa quadridimensionale. Questa massa quadridimensionale aveva un confine tridimensionale, proprio come un oggetto tridimensionale come una palla ha un confine bidimensionale. Ruberman voleva collegare una varietà quadridimensionale scelta con cura all'altro lato del confine, che fungesse da complemento della superficie. Se il gambetto funzionasse, allora questa varietà avrebbe un gruppo fondamentale complicato, ma il gruppo fondamentale di tutto ciò che viene preso insieme sarebbe banale. La varietà quadridimensionale appena costruita sarebbe quindi semplicemente connessa.

Ma per poter unire tutto insieme nel modo giusto, doveva dimostrare che il gruppo fondamentale della nuova aggiunta soddisfaceva ogni sorta di proprietà. "Non avevo idea di come farlo", ha detto Ruberman.

Poi, a gennaio, Hughes – un teorico dei gruppi – ha tenuto un discorso a Brandeis. Ruberman era tra il pubblico. Riconobbe che Hughes poteva avere il pezzo mancante che stava cercando. I due si sono incontrati il ​​giorno successivo e nel giro di poche ore hanno elaborato le idee principali di cui avevano bisogno. Ciò che a Ruberman mancava “è qualcosa che i teorici dei gruppi stanno calcolando da 70, 80 anni a questo punto”, ha detto Hughes. "Siamo qui da sempre." Entro la fine della settimana avevano una prova completa.

"Io sapevo alcune cose, e lui sapeva alcune cose, e detto tra noi due, sapevamo abbastanza per farlo", ha detto Ruberman.

A causa del modo in cui la teoria dei gruppi viene utilizzata nella dimostrazione, "è un po' insolita", ha detto Maggi Miller dell'Università del Texas, Austin. "È scritto in modo leggermente diverso da quello con cui la maggior parte dei topologi quadridimensionali si sentirebbe a proprio agio."

Il risultato è ancora un altro esempio di quanto possa diventare complicata la topologia quadridimensionale. "Ci sono inglobamenti di superfici più interessanti di quanto pensassimo", ha detto Hughes. Ciò rende più difficile classificare le varietà e provare altri tipi di risultati su di esse.

Tuttavia, a marzo, İnanç Baykur dell'Università del Massachusetts, Amherst, che ha organizzato la conferenza per la stesura delle liste dello scorso anno con Ruberman, ha annunciato la soluzione a un altro problema che coinvolge varietà quadridimensionali semplicemente connesse dall'elenco del 1997.

Sembra che i topologi stiano facendo pulizia.