Nel 'selvaggio West' della geometria, i matematici ridefiniscono la sfera | Rivista Quanti

Se sei mai rimasto bloccato nel traffico in un pomeriggio piovoso, probabilmente hai visto le gocce di pioggia correre l'una contro l'altra lungo il finestrino dell'auto. Quando coppie di goccioline si scontrano, si fondono in una nuova gocciolina, perdendo le loro identità separate.

Questa fusione è possibile perché le gocce d’acqua sono quasi sferiche. Quando le forme sono flessibili, come lo sono le gocce di pioggia, collegare una sfera non cambia nulla. In certi settori della matematica, una sfera attaccata a un'altra sfera è ancora una sfera, anche se forse più grande o più voluminosa. E se una sfera viene incollata su una ciambella, hai comunque una ciambella, con la vescica. Ma se due ciambelle si uniscono, formano una forma a due fori. Per i matematici, questo è qualcosa di completamente diverso.

Questa qualità rende le sfere un banco di prova cruciale per i geometri. I matematici possono spesso trasferire le lezioni apprese sulle sfere a forme più complesse osservando cosa succede quando le due cose vengono cucite insieme. In effetti, possono applicare questa tecnica a qualsiasi varietà, una classe di oggetti matematici che include forme semplici come sfere e ciambelle, nonché strutture infinite come un piano bidimensionale o uno spazio tridimensionale.

Le sfere sono particolarmente importanti in una sottodisciplina della geometria nota come geometria del contatto. Nella geometria del contatto, ogni punto su una varietà tridimensionale – come lo spazio 3D in cui viviamo – corrisponde a un piano. Gli aerei possono inclinarsi e torcersi da un punto all'altro. Se lo fanno in modo da soddisfare determinati criteri matematici, l'intero insieme di piani viene chiamato struttura di contatto. Una varietà (come lo spazio 3D) insieme ad una struttura di contatto (tutti i piani) è chiamata varietà di contatto.

Sebbene le strutture di contatto possano sembrare poco più che decorazioni, apportano intuizioni fondamentali sulle varietà in cui vivono, oltre a collegamenti con la fisica. I matematici moderni possono utilizzare le varietà di contatto per riformulare le teorie su come si comporta la luce e su come flussi di acqua attraverso lo spazio.

I risultati sulle varietà di contatto tridimensionali ritornano spesso alle sfere. Se si incolla una sfera di contatto su un'altra varietà di contatto, ad esempio una ciambella 3D, la versione 3D della sfera può donare parti della sua struttura di contatto all'unione. Se vuoi dimostrare che una ciambella può avere una struttura di contatto i cui piani si torcono mille volte mentre circondano il foro della ciambella, puoi prima costruire quella struttura sulla sfera e poi aggiungerla alla ciambella tagliando un piccolo foro in entrambe le forme e rattoppandoli insieme lungo i bordi. I matematici che esplorano quali strutture di contatto possono esistere su una data varietà spesso si affidano a questo quadro, ha affermato John Etnyre, un matematico del Georgia Institute of Technology. “Fanno molto lavoro per ridurre il problema alla comprensione di ciò che accade sulla sfera”, ha detto.

As Jonathan Bowden, matematico dell'Università di Ratisbona, afferma: "Se tu non riesci a capire una sfera, come posso io capire qualcos'altro?"

Tendiamo a pensare alle sfere come a forme semplici: sono semplicemente tutti i punti che si trovano a una distanza fissa da un punto centrale. Gli esempi includono un cerchio, che è unidimensionale, così come la superficie bidimensionale di una palla normale come un pallone da basket. Ma quando aggiungi strutture di contatto, le sfere possono diventare più complicate di quanto potresti aspettarti. E mentre i matematici tentano di districarsi in un oceano disorganizzato di varietà di contatto, nuovi tipi di sfere possono fornire loro indizi su ciò che potrebbero ripescare dalle profondità.

In un recente documento che è stato sostanzialmente aggiornato la scorsa settimana, quattro matematici: Bowden, Fabio Gironella, Agostino Moreno ed Zhengyi Zhou - hanno scoperto un nuovo tipo di sfera di contatto e, con essa, un numero infinito di nuove varietà di contatto.

Sport a pieno contatto

Come campo, la geometria del contatto è emersa gradualmente nel corso dei secoli. Sebbene i matematici moderni, guardando indietro, vedano accenni alla geometria del contatto nello studio dell'ottica nel XVII secolo e della termodinamica nel XIX, solo negli anni '17 era la frase "varietà di contatto" usata per la prima volta in un articolo, secondo il matematico Hansjörg Geiges' storia dell'argomento.

A quel tempo i matematici erano già a conoscenza di alcuni esempi di varietà di contatto. Per motivi tecnici i collettori a contatto sono disponibili solo in dimensioni dispari. Lo spazio tridimensionale standard ha una struttura di contatto costituita da file di piani che si inclinano gradualmente in avanti. Questa struttura si estende naturalmente a ciò che i matematici chiamano la sfera tridimensionale. (Questa è la superficie di una palla quadridimensionale, proprio come la sfera matematica bidimensionale è la superficie di una normale palla tridimensionale.)

A partire dalla fine degli anni sessanta i matematici cominciarono a presentare nuovi esempi di varietà di contatto. Nel 1960 Mikhael Gromov fece progressi nella ricerca di nuove strutture di contatto su alcune varietà, come lo spazio tridimensionale, e Jean Martinet lo seguì nel 1971 con esempi sulle cosiddette forme compatte (che sono finite con un confine netto) come la sfera 3D. Nel 1977, Robert Lutz scoprì come creare una nuova struttura di contatto su qualsiasi varietà tridimensionale. La costruzione di Lutz prevedeva di tagliare il collettore di contatto, attorcigliarlo e ricucirlo insieme in modo da mantenere la stessa forma sottostante, ma forzando la struttura di contatto in una nuova configurazione. Il risultato è una nuova struttura di contatto per lo spazio 3D infinito, la sfera 3D e un numero qualsiasi di oggetti ancora più strani, come un cubo dove, se infili la mano nel fondo, lo vedrai penzolare dall'alto.

Tuttavia, questi risultati lasciarono ai matematici della fine del XX secolo molte domande senza risposta sulle varietà di contatto. Che tipi di strutture di contatto esistevano? Come dovrebbero essere classificati? "Quando i matematici affrontano un argomento, vogliono sempre classificare o comprendere gli oggetti", ha detto Jakov Eliashberg, un matematico dell'Università di Stanford che fu determinante nello sviluppo iniziale della geometria del contatto.

Nelle dimensioni cinque e superiori – ricordate, le varietà di contatto possono avere solo un numero dispari di dimensioni – a queste domande non viene ancora data risposta. Nel caso tridimensionale, gran parte del progresso è stato compiuto quasi da solo da Eliashberg, arrivato a Berkeley, in California, negli anni ’1980 come immigrato dall’Unione Sovietica.

Gira e grida

Spinto da una domanda di un nuovo conoscente di Berkeley di nome Jesús Gonzalo Pérez, che aveva studiato la tecnica di Lutz per creare nuove varietà di contatto, Eliashberg notò che tutte le varietà di contatto tridimensionali che potevi ottenere usando la strategia di Lutz avevano alcuni punti in comune. Nel 1989 ha pubblicato a carta seminale descrivendo dettagliatamente queste varietà. Chiamò la nuova classe di varietà di contatto “overtwisted” a causa del modo in cui i piani della struttura di contatto ruotavano più volte, oltre la torsione richiesta per qualificarsi come struttura di contatto. L'articolo di Eliashberg del 1989 rispondeva praticamente a tutte le domande che i matematici potevano avere sulle varietà ipertorte in tre dimensioni, ma qualsiasi altra varietà di contatto – che Eliashberg chiamava “stretta” a causa di quanto poco la sua struttura di contatto si attorcigliava – era molto più difficile da raggiungere.

"Mentre le strutture sovratorte esistono in abbondanza, le strutture a contatto stretto sono più rare o, almeno, molto meno comprese", ha affermato Moreno, matematico dell'Università di Heidelberg.

Una distinzione tra varietà a contatto eccessivo e a stretto contatto diventa chiara se consideriamo una varietà come il confine di uno spazio più ampio. Poiché le varietà di contatto sono di dimensione dispari, formano sempre il bordo di una varietà di dimensione pari. (Pensate a come la curva unidimensionale di un cerchio circonda un disco bidimensionale, o a come una linea infinita taglia il piano bidimensionale in due metà separate.) La geometria del contatto ha una controparte a dimensione pari chiamata geometria simplettica. I matematici volevano sapere se l'interno di una varietà di contatto – che è sempre di dimensione pari – forma o meno una varietà simplettica.

In tal caso, il collettore di contatti originale viene chiamato “riempibile”. La riempibilità è una proprietà speciale. I risultati di Eliashberg e Gromov degli anni '1980 e dei primi anni '1990 implicavano che i collettori di contatto riempibili non possono essere attorcigliati eccessivamente: devono essere stretti. Ma lo scenario inverso era più oscuro: una varietà poteva essere stretta ma non riempibile?

"Per molto tempo, è stato possibile che forse essere stretti fosse in realtà solo un riflesso dell'essere riempibili", ha detto Etnyre. Eliashberg aveva dimostrato che una sfera tridimensionale ha solo una struttura a contatto stretto, anch'essa riempibile. Ma nel 2002, insieme a Ko Honda dell'Università della California, Los Angeles, Etnyre trovato un esempio di un collettore di contatto tridimensionale che era stretto ma non riempibile.

Nei casi di dimensione superiore, le cose erano incerte. “Abbiamo molti strumenti per studiare le strutture di contatto nella dimensione tre, e non ne abbiamo praticamente nessuno nelle dimensioni elevate. E questo è un vero problema", ha detto Etnyre.

“Nella topologia del contatto, le dimensioni superiori rappresentano davvero il selvaggio west. La gente davvero non sa quasi nulla di quello che succede", ha detto Honda. La domanda è diventata: esistono collettori di contatto stretti ma non riempibili di grandi dimensioni? E se sì, che aspetto hanno?

Tenerlo stretto

Nel 2013, tre matematici ha trovato un modo per creare tali varietà, ma “le varietà che costruirono erano in realtà molto, molto complicate”, ha detto Etnyre. Non era noto, ha aggiunto, se quel livello di complessità fosse necessario. Se è così, potrebbe esserci ancora uno stretto legame tra tenuta e riempibilità per varietà semplici come le sfere.

Nel 2015, Bowden, allora presso l'Università Ludwig Maximilian di Monaco, e due collaboratori hanno dimostrato che alcune varietà di contatto potevano essere accuratamente suddivise e riunite insieme per formare una sfera senza sacrificare le loro strutture di contatto. Il loro lavoro suggeriva che i matematici potevano non solo trasferire una struttura di contatto da una sfera a una varietà di contatto più complicata – la direzione usuale delle cose – ma anche creare una struttura di contatto completamente nuova su una sfera partendo da un esempio più complicato.

Dal 2019 aveva iniziato a lavorare con Gironella e Moreno. Quell'anno, loro pubblicato un documento basandosi su tecniche di diversi matematici precedenti. I tre hanno trovato esempi di varietà di contatto che avevano riempimenti simplettici, ma volubili: i riempimenti, chiamati “riempimenti deboli”, svanivano se la varietà di contatto veniva modificata nel modo giusto.

Dopo l’inizio della pandemia si cominciò a sospettare che sarebbero state in grado di costruire sfere con le proprietà desiderate. Hanno preso alcune delle varietà di contatto e le hanno rielaborate con cura in sfere: tagliando un buco qui, rattoppandolo là. Una volta finiti, avevano una collezione infinita di sfere strette ma non riempibili. E poiché le sfere possono trasferire parti delle loro strutture di contatto in altre varietà, ciò ha creato varietà di contatto strette ma non riempibili di tutte le forme e varietà.

I tre hanno mostrato a Zhou una prima bozza del loro articolo a metà del 2022, sperando che rivedesse alcuni dei loro calcoli. Zhou aveva precedentemente collaborato sia con Moreno che con Gironella e conosceva alcune delle tecniche utilizzate dalla loro bozza. "Ho letto l'articolo e ho capito che aveva un enorme potenziale per ottenere risultati ancora più forti", ha detto Zhou, un matematico dell'Accademia cinese delle scienze. Tornò da loro pieno di nuove idee.

Il gruppo ha incorporato le intuizioni di Zhou nel proprio articolo e tutti e quattro lo hanno pubblicato online nel novembre 2022. Il loro lavoro mostra che sono possibili sfere strette ma non riempibili nelle dimensioni cinque e superiori e utilizza questo risultato per creare molti nuovi esempi di varietà a stretto contatto che sono solo debolmente compilabili, ammettendo le volubili “riempimenti deboli” del documento del 2019. Poi la settimana scorsa hanno aggiornato il documento con un’importante generalizzazione. Ora sono in grado di trovare strutture di contatto strette e debolmente riempibili per qualsiasi varietà con dimensione sette o superiore.

Anche se la loro dimostrazione rivela un numero infinito di nuovi esempi, lo studio delle varietà di contatto di dimensione superiore – e persino delle sfere di dimensione superiore – è solo agli inizi.

“Questo ci sta dando uno sguardo su quello che sembra essere un mondo molto selvaggio e in un certo senso complicato”, ha detto Moreno, aggiungendo poi: “Le dimensioni superiori attireranno l’attenzione di diverse generazioni a venire, direi”.

“In questo momento, stai solo cercando di trovare qualche esempio; stai cercando di distinguere le cose; stai solo cercando di avere un'idea di cosa c'è. E comprendere le cose sulla sfera è una specie di germe, o seme che potrebbe aiutarti a comprendere altre situazioni”, ha detto Etnyre. “Non abbiamo ancora gli strumenti per compiere il passo successivo”.

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