Il numero di distanze che separano i punti ha un nuovo limite | Rivista Quanti

Spargi tre punti su un piano, quindi misura le distanze tra ogni coppia di essi. Con ogni probabilità troverai tre diverse distanze. Ma se disponi i punti in un triangolo equilatero, ogni distanza è la stessa. Su un piano questo è impossibile con quattro punti. Il numero minimo di distanze che puoi progettare è 2: i bordi e le diagonali di un quadrato.

Ma se sollevi uno dei punti dal piano per creare una piramide, ciascuno dei cui lati è un triangolo equilatero, avrai un insieme di quattro punti separati da un'unica distanza unica: la lunghezza di un lato di il triangolo.

Se hai molti punti, questi schemi diventano ancora più pronunciati. È probabile che un centinaio di punti sparsi casualmente in un piano definiscano 4,950 distanze distinte a coppie. Ma se disponi 100 punti in una griglia piatta e quadrata, ogni coppia di punti sarà separata da una delle sole 50 distanze possibili. Solleva i punti in una griglia tridimensionale e puoi ridurre ulteriormente quel numero.

Rispondere a domande sul numero di distanze tra i punti potrebbe sembrare un esercizio esoterico. Ma nella ricerca decennale per risolvere tali problemi, i matematici hanno sviluppato strumenti che hanno un’ampia gamma di altre applicazioni, dalla teoria dei numeri alla fisica.

"Quando le persone hanno cercato di risolvere il problema", ha detto Pablo Shmerkin dell’Università della British Columbia, “hanno iniziato a scoprire connessioni sorprendenti e inaspettate”.

L'ultimo sviluppo è arrivato alla fine dell'anno scorso, quando è nata la collaborazione di quattro matematici ha dimostrato una nuova relazione tra la geometria degli insiemi di punti e le distanze tra loro.

L'elenco delle diverse distanze determinate da un insieme di punti è chiamato insieme delle distanze; conta quanti numeri sono presenti nell'elenco e ottieni la dimensione del set di distanze. Nel 1946, il prolifico matematico Paul Erdős ipotizzò che per un gran numero di punti, la distanza impostata non può essere inferiore a quella che si ottiene disponendo i punti in una griglia. Il problema, per quanto semplice in apparenza, si rivelò estremamente profondo e difficile. Anche in due dimensioni, non è stato ancora completamente dimostrato, anche se nel 2010 due matematici arrivato così vicino che ormai la questione è considerata effettivamente risolta; rimane aperto nelle dimensioni superiori.

Nel frattempo, i matematici formularono anche nuove versioni della congettura. Uno dei più importanti di questi è sorto nell'a carta 1985 by Kenneth Falconer, un matematico presso l'Università di St. Andrews in Scozia. Falconer si chiedeva cosa si potesse dire delle distanze distinte tra un numero infinito di punti.

Se hai infiniti punti, semplicemente contare non è più molto utile. Ma i matematici hanno altri modi per definire la dimensione. La congettura di Falconer postula una relazione tra la geometria dell'insieme di punti - caratterizzata da un numero chiamato dimensione frattale - e la dimensione dell'insieme di distanze, caratterizzata da un numero chiamato misura.

La dimensione frattale si allinea con l’intuizione ordinaria riguardo alle dimensioni. Proprio come con il concetto più familiare di dimensione, un segmento di linea ha una dimensione frattale di 1, mentre un quadrato (con il suo interno riempito) ha una dimensione frattale di 2. Ma se un insieme di punti forma uno schema frattale più complicato: come una curva in cui continuano ad apparire svolte e svolte microscopiche, non importa quanto si ingrandisce: la sua dimensione frattale potrebbe non essere un numero intero. Ad esempio, la curva del fiocco di neve di Koch mostrata sotto, che presenta una serie infinita di protuberanze triangolari sempre più piccole, ha una dimensione di circa 1.26.

In generale, un insieme infinito di punti ha una dimensione frattale che dipende grosso modo da quanto è disperso. Se è distribuito sul piano, la sua dimensione frattale sarà prossima a 2. Se assomiglia di più a una linea, la sua dimensione frattale sarà vicina a 1. Gli stessi tipi di strutture possono essere definiti per insiemi di punti nello spazio tridimensionale o in dimensioni ancora più elevate.

Dall'altro lato della congettura di Falconer c'è la misura della distanza fissata. La misura è una sorta di generalizzazione matematica della nozione di lunghezza. Un singolo numero, che può essere rappresentato come un punto su una linea numerica, ha misura zero. Ma anche gli insiemi infiniti possono avere misura zero. Ad esempio, gli interi sono così poco sparsi tra i numeri reali che non hanno una “lunghezza” collettiva e quindi formano un insieme di misura zero. D'altra parte, i numeri reali compresi, ad esempio, tra 3/4 e 1 hanno misura 1/4, perché è così lungo l'intervallo.

La misura offre un modo per caratterizzare la dimensione dell'insieme di distanze distinte tra infiniti punti. Se il numero di distanze è “piccolo”, significa che la distanza impostata avrà misura zero: ci sono molte distanze duplicate. Se invece la distanza impostata ha una misura maggiore di zero significa che esistono molte distanze diverse.

In due dimensioni, Falconer ha dimostrato che qualsiasi insieme di punti con dimensione frattale maggiore di 1.5 ha una distanza impostata con misura diversa da zero. Ma i matematici arrivarono presto a credere che questo fosse vero per tutti gli insiemi con una dimensione frattale maggiore di 1. “Stiamo cercando di risolvere questo divario di 1/2”, ha detto Yumeng Ou dell’Università della Pennsylvania, uno dei coautori del nuovo articolo. Inoltre, la congettura di Falconer si estende a tre o più dimensioni: Per punti sparsi in a dspazio bidimensionale, si afferma che se la dimensione frattale dei punti è maggiore di d / 2, allora la misura della distanza impostata deve essere maggiore di 0.

Nel 2018, Ou, insieme ai colleghi, ha dimostrato che la congettura vale in due dimensioni per tutti gli insiemi con dimensione frattale maggiore di 5/4. Ora Ou - insieme a Xiumin Du della Northwestern University, Ruxiang Zhang dell'Università della California, Berkeley, e Kevin Ren dell’Università di Princeton – hanno dimostrato che in dimensioni più elevate, la soglia per garantire una distanza fissata con misura diversa da zero è leggermente inferiore a d/2 + 1/4. "I limiti nelle dimensioni superiori, in questo documento, per la prima volta in assoluto, sono migliori che nella dimensione 2", ha detto Shmerkin. (In due dimensioni la soglia è precisamente d/2 + 1/4.)

Quest'ultimo risultato è solo uno un'onda dei recenti progressi on La congettura di Falconer. La dimostrazione ha perfezionato le tecniche di analisi armonica – un’area apparentemente distante della matematica che si occupa di rappresentare funzioni arbitrariamente complicate in termini di onde semplici – per rafforzare il limite. Ma alcune di queste tecniche sono state sviluppate inizialmente per affrontare questo stesso problema.

Questa domanda sulle distanze tra i punti “è servita da terreno di gioco per alcune delle più grandi idee nell’analisi armonica”, ha affermato Alex Iosevich dell'Università di Rochester.

Anche se hanno colmato solo metà del vuoto lasciato da Falconer nel suo articolo del 1985, i matematici vedono la recente ondata di lavoro come prova che la congettura completa potrebbe finalmente essere a portata di mano. Nel frattempo, continueranno a utilizzare il problema come banco di prova per i loro strumenti più sofisticati.