Nuova dimostrazione infila l'ago in un problema di geometria appiccicosa | Rivista Quanta

Nel 1917, il matematico giapponese Sōichi Kakeya pose quello che all'inizio sembrava nient'altro che un divertente esercizio di geometria. Appoggia un ago infinitamente sottile lungo un pollice su una superficie piana, quindi ruotalo in modo che punti a sua volta in ogni direzione. Qual è l'area più piccola che l'ago può spazzare via?

Se lo giri semplicemente attorno al suo centro, otterrai un cerchio. Ma è possibile spostare l'ago in modi inventivi, in modo da ritagliarsi una quantità di spazio molto minore. Da allora i matematici hanno posto una versione correlata di questa domanda, chiamata congettura di Kakeya. Nei loro tentativi di risolverlo, hanno scoperto collegamenti sorprendenti con l'analisi armonica, la teoria dei numeri e persino la fisica.

"In qualche modo, questa geometria di linee che puntano in molte direzioni diverse è onnipresente in gran parte della matematica", ha detto Jonathan Hickmann dell'Università di Edimburgo.

Ma è anche qualcosa che i matematici non comprendono ancora del tutto. Negli ultimi anni hanno dimostrato variazioni della congettura di Kakeya in contesti più semplici, ma la questione rimane irrisolta nel normale spazio tridimensionale. Per qualche tempo è sembrato che tutti i progressi si fossero bloccati su quella versione della congettura, anche se ha numerose conseguenze matematiche.

Ora, due matematici hanno spostato l'ago, per così dire. La loro nuova prova abbatte un grosso ostacolo che dura da decenni, riaccendendo la speranza che una soluzione possa finalmente essere in vista.

Qual è il piccolo affare?

Kakeya era interessata agli insiemi nel piano che contengono un segmento di linea di lunghezza 1 in ogni direzione. Ci sono molti esempi di tali set, il più semplice è un disco con un diametro di 1. Kakeya voleva sapere come sarebbe stato il più piccolo set di questo tipo.

Ha proposto un triangolo con i lati leggermente incavati, chiamato deltoide, che ha metà dell'area del disco. Si è scoperto, tuttavia, che è possibile fare molto, molto meglio.

Nel 1919, solo un paio d'anni dopo che Kakeya aveva posto il suo problema, il matematico russo Abram Besicovitch dimostrò che se disponi i tuoi aghi in un modo molto particolare, puoi costruire un set dall'aspetto spinoso che ha un'area arbitrariamente piccola. (A causa della prima guerra mondiale e della rivoluzione russa, il suo risultato non avrebbe raggiunto il resto del mondo matematico per diversi anni.)

Per vedere come potrebbe funzionare, prendi un triangolo e dividilo lungo la sua base in pezzi triangolari più sottili. Quindi fai scorrere quei pezzi in modo che si sovrappongano il più possibile ma sporgano in direzioni leggermente diverse. Ripetendo il processo più e più volte, suddividendo il tuo triangolo in frammenti sempre più sottili e riorganizzandoli attentamente nello spazio, puoi rendere il tuo set piccolo quanto vuoi. Nel limite infinito, puoi ottenere un insieme che matematicamente non ha area ma può ancora, paradossalmente, ospitare un ago che punta in qualsiasi direzione.

"Questo è un po 'sorprendente e controintuitivo", ha detto Ruxiang Zhang dell'Università della California, Berkeley. "È un set molto patologico."

Questo risultato può essere generalizzato a dimensioni superiori: è possibile costruire un insieme con un volume arbitrariamente piccolo che contenga un segmento di linea unitario che punta in ogni direzione in nspazio tridimensionale.

Besicovitch sembrava aver risolto completamente la domanda di Kakeya. Ma decenni dopo, i matematici iniziarono a lavorare su un'altra versione del problema in cui sostituirono l'area (o il volume, nel caso delle dimensioni superiori) con una diversa nozione di dimensione.

Per comprendere questa riformulazione della domanda, prima prendi ogni segmento di linea in un set Kakeya e ingrassalo un po ', come se stessi usando un ago reale, piuttosto che uno idealizzato. Nel piano, il tuo set sarà composto da rettangoli estremamente sottili; nello spazio tridimensionale, avrai una collezione di tubi estremamente sottili.

Questi set ingrassati hanno sempre un'area (o volume, ma per ora ci atterremo al caso bidimensionale). Man mano che modifichi la larghezza dell'ago, quest'area cambierà. Negli anni '1970, il matematico Roy Davies (morto il mese scorso) ha dimostrato che se l'area totale cambia di poco, la larghezza di ciascun ago deve cambiare drasticamente. Ad esempio, se desideri che una versione ingrassata del set di Besicovitch abbia un'area di 1/10 di pollice quadrato, ogni ago deve avere uno spessore di circa 0.000045 pollici: e^-10 di un pollice, per essere precisi. Ma se volessi rendere l'area totale 1/100 di pollice quadrato - 10 volte più piccola - l'ago dovrebbe essere e^-100 di un pollice di spessore. (Quarantatre zeri seguono la virgola prima di arrivare alle altre cifre.)

"Se mi dici quanto vuoi che sia piccola l'area, allora devo richiedere un ago incredibilmente sottile", ha detto Carlo Fefferman dell'Università di Princeton.

I matematici misurano la "dimensione" dell'insieme di Kakeya usando una quantità chiamata dimensione di Minkowski, che è correlata ma non del tutto uguale a una dimensione ordinaria (definita come il numero di direzioni indipendenti necessarie per descrivere uno spazio).

Ecco un modo per pensare alla dimensione Minkowski: prendi il tuo set e coprilo con palline che hanno ciascuna un diametro di un milionesimo della tua unità preferita. Se il tuo set è un segmento di linea di lunghezza 1, avrai bisogno di almeno 1 milione di palline per coprirlo. Se il tuo set è un quadrato di area 1, te ne serviranno molti, molti di più: un milione al quadrato o un trilione. Per una sfera di volume 1, è circa 1 milione di cubi (un quintilione), e così via. La dimensione di Minkowski è il valore di questo esponente. Misura la velocità con cui il numero di palline di cui hai bisogno per coprire il tuo set cresce man mano che il diametro di ciascuna pallina si riduce. Un segmento di linea ha dimensione 1, un quadrato ha dimensione 2 e un cubo ha dimensione 3.

Queste dimensioni sono familiari. Ma usando la definizione di Minkowski, diventa possibile costruire un insieme che abbia una dimensione, diciamo, di 2.7. Sebbene un tale insieme non riempia lo spazio tridimensionale, è in un certo senso “più grande” di una superficie bidimensionale.

Quando copri un set con palline di un dato diametro, stai approssimando il volume della versione ingrassata del set. Più lentamente il volume del set diminuisce con la dimensione del tuo ago, più palle hai bisogno per coprirlo. Si può quindi riscrivere il risultato di Davies — che afferma che l'area di un insieme Kakeya nel piano diminuisce lentamente — per mostrare che l'insieme deve avere una dimensione di Minkowski pari a 2. La congettura di Kakeya generalizza questa affermazione a dimensioni superiori: un insieme Kakeya deve hanno sempre la stessa dimensione dello spazio in cui abitano.

Questa semplice affermazione è stata sorprendentemente difficile da dimostrare.

Una torre di congetture

Fino a quando Fefferman ha fatto una scoperta sorprendente nel 1971 la congettura era vista come una curiosità.

Stava lavorando su un problema completamente diverso in quel momento. Voleva comprendere la trasformata di Fourier, un potente strumento che consente ai matematici di studiare le funzioni scrivendole come somme di onde sinusoidali. Pensa a una nota musicale, composta da molte frequenze sovrapposte. (Ecco perché un Do centrale su un pianoforte suona in modo diverso da un Do centrale su un violino.) La trasformata di Fourier consente ai matematici di calcolare le frequenze costitutive di una particolare nota. Lo stesso principio funziona per suoni complicati come il linguaggio umano.

I matematici vogliono anche sapere se possono ricostruire la funzione originale se ricevono solo alcune delle sue infinite frequenze costituenti. Hanno una buona comprensione di come farlo in una dimensione. Ma nelle dimensioni superiori, possono fare scelte diverse su quali frequenze usare e quali ignorare. Fefferman ha dimostrato, con sorpresa dei suoi colleghi, che potresti non riuscire a ricostruire la tua funzione quando ti affidi a un modo particolarmente noto di scegliere le frequenze.

La sua dimostrazione dipendeva dalla costruzione di una funzione modificando l'insieme Kakeya di Besicovitch. Ciò in seguito ispirò i matematici a sviluppare una gerarchia di congetture sul comportamento dimensionale superiore della trasformata di Fourier. Oggi la gerarchia include anche congetture sul comportamento di importanti equazioni alle derivate parziali in fisica, come l'equazione di Schrödinger. Ogni congettura nella gerarchia implica automaticamente quella sottostante.

La congettura di Kakeya si trova proprio alla base di questa torre. Se è falso, allora lo sono anche le affermazioni più in alto nella gerarchia. D'altra parte, dimostrarlo vero non implicherebbe immediatamente la verità delle congetture che si trovano sopra di esso, ma potrebbe fornire strumenti e spunti per attaccarle.

“La cosa sorprendente della congettura di Kakeya è che non è solo un problema divertente; è un vero e proprio collo di bottiglia teorico”, ha detto Hickman. "Non capiamo molti di questi fenomeni nelle equazioni alle derivate parziali e nell'analisi di Fourier perché non capiamo questi insiemi di Kakeya".

Elaborare un piano

La dimostrazione di Fefferman - insieme alle connessioni successivamente scoperte con la teoria dei numeri, la combinatoria e altre aree - ha ravvivato l'interesse per il problema di Kakeya tra i migliori matematici.

Nel 1995, Thomas Wolff ha dimostrato che la dimensione Minkowski di un Kakeya ambientato nello spazio 3D deve essere almeno 2.5. Quel limite inferiore si è rivelato difficile da aumentare. Poi, nel 1999, i matematici Reti Katz, Izabella Laba ed Terence tao riuscito a batterlo. Il loro nuovo limite: 2.500000001. Nonostante quanto piccolo fosse il miglioramento, ha superato un'enorme barriera teorica. Il loro giornale era pubblicato nella Annali di matematica, la rivista più prestigiosa del settore.

Katz e Tao in seguito sperarono di applicare alcune delle idee di quel lavoro per attaccare la congettura di Kakeya 3D in un modo diverso. Hanno ipotizzato che ogni controesempio debba avere tre proprietà particolari e che la coesistenza di tali proprietà debba portare a una contraddizione. Se potessero dimostrarlo, significherebbe che la congettura di Kakeya era vera in tre dimensioni.

Non sono riusciti ad andare fino in fondo, ma hanno fatto dei progressi. In particolare, essi (insieme ad altri matematici) dimostrarono che ogni controesempio deve avere due delle tre proprietà. Deve essere "piatto", il che significa che ogni volta che i segmenti di linea si intersecano in un punto, anche quei segmenti giacciono quasi sullo stesso piano. Deve anche essere "granuloso", il che richiede che i piani dei punti di intersezione vicini siano orientati in modo simile.

Restava la terza proprietà. In un set "appiccicoso", anche i segmenti di linea che puntano quasi nella stessa direzione devono essere posizionati uno vicino all'altro nello spazio. Katz e Tao non sono stati in grado di dimostrare che tutti i controesempi devono essere appiccicosi. Ma intuitivamente, un insieme appiccicoso sembra il modo migliore per forzare molte sovrapposizioni tra i segmenti di linea, rendendo così l'insieme il più piccolo possibile, esattamente ciò di cui hai bisogno per creare un controesempio. Se qualcuno potesse dimostrare che un set appiccicoso di Kakeya aveva una dimensione di Minkowski inferiore a 3, confuterebbe la congettura di Kakeya 3D. "Sembra che 'appiccicoso' sarebbe il caso più preoccupante", ha detto Larry Guth del Massachusetts Institute of Technology.

Non è più una preoccupazione.

Il punto di attacco

Nel 2014, più di un decennio dopo che Katz e Tao hanno tentato di dimostrare la congettura di Kakeya, Tao pubblicato uno schema del loro approccio sul suo blog, dando ad altri matematici la possibilità di provarlo da soli.

Nel 2021, Hong Wang, un matematico della New York University, e Giosuè Zahl dell'Università della British Columbia ha deciso di riprendere da dove Tao e Katz avevano interrotto.

Hanno iniziato assumendo l'esistenza di un controesempio appiccicoso con una dimensione di Minkowski inferiore a 3. Sapevano dal lavoro precedente che un tale controesempio doveva essere piatto e granuloso. "Quindi eravamo nel tipo di mondo a cui stavano pensando Terry Tao e Nets Katz", ha detto Zahl. Ora avevano bisogno di mostrare che le proprietà planari, granulose e appiccicose si giocavano a vicenda e portavano a una contraddizione, il che significava che questo controesempio non poteva effettivamente esistere.

Per ottenere questa contraddizione, tuttavia, Wang e Zahl hanno rivolto la loro attenzione in una direzione che Katz e Tao non avevano previsto, verso un'area nota come teoria della proiezione.

Hanno iniziato analizzando la struttura del loro controesempio appiccicoso in modo più dettagliato. Se consideri la versione idealizzata del set, ha un numero infinito di segmenti di linea che puntano in ogni direzione. Ma in questo problema, ricorda che hai a che fare con versioni ingrassate di quei segmenti di linea: un mucchio di aghi. Ciascuno di questi aghi può contenere molti dei segmenti di linea idealizzati, il che significa che puoi codificare l'intero set infinito con un numero finito di aghi. A seconda di quanto sono spessi gli aghi, il tuo set ingrassato potrebbe avere un aspetto molto diverso.

Se il set è appiccicoso, sembrerà più o meno lo stesso, non importa quanto siano spessi gli aghi.

Wang e Zahl hanno utilizzato questa proprietà per dimostrare che man mano che gli aghi si assottigliano, l'insieme diventa sempre più planare. Attraverso questo processo, hanno potuto "estrarre un oggetto ancora più patologico", ha detto Zahl, qualcosa che sembrava avere qualità impossibili.

Questo è quello che hanno mostrato dopo. Hanno dimostrato che questo oggetto patologico doveva apparire in due modi, che portavano entrambi a contraddizioni. O saresti in grado di proiettarlo nello spazio 2D in un modo che lo rendesse molto più piccolo in molte direzioni - qualcosa che Wang e i suoi colleghi avevano appena dimostrato impossibile. Oppure, nel secondo caso, gli aghi del set sarebbero organizzati secondo un tipo di funzione ben preciso, che Zahl e i suoi collaboratori avevano recentemente dimostrato non potrebbe esistere, perché porterebbe ad altri tipi di proiezioni che non avevano senso.

Wang e Zahl ora avevano la loro contraddizione, il che significa che non ci sono controesempi appiccicosi alla congettura di Kakeya. (Hanno mostrato questo non solo per la dimensione di Minkowski, ma anche per una quantità correlata chiamata dimensione di Hausdorff). la congettura.

Il nuovo lavoro "è un forte supporto per la congettura di Kakeya che è vera", ha detto Pablo Shmerkin dell'Università della Columbia Britannica. Sebbene si applichi solo al caso tridimensionale, alcune delle sue tecniche potrebbero essere utili in dimensioni superiori. Dopo aver passato anni a fare progressi sulla congettura in altri sistemi numerici, i matematici sono entusiasti di questo ritorno al dominio originale del problema dei numeri reali.

"È straordinario che abbiano risolto completamente questo caso", ha detto Zhang. "Nell'ambientazione reale, è estremamente raro." E se qualcuno può dimostrare che un controesempio deve essere appiccicoso, il nuovo risultato implicherà la congettura completa in tre dimensioni. La gerarchia delle congetture costruita al di sopra di essa rimarrà quindi al sicuro, le sue fondamenta stabili.

"In qualche modo, questi due diversi problemi nella teoria della proiezione, che a prima vista non hanno molto a che fare l'uno con l'altro, si adattano abbastanza bene per dare esattamente ciò che era necessario per Kakeya", ha detto Zahl.