Perché i matematici riprovano ciò che già sanno

La prima prova che molte persone imparano, all'inizio delle scuole superiori, è la prova dell'antico matematico greco Euclide che ci sono infiniti numeri primi. Occorrono solo poche righe e non utilizza concetti più complicati di numeri interi e moltiplicazione.

La sua dimostrazione si basa sul fatto che, se ci fosse un numero finito di numeri primi, moltiplicandoli tutti insieme e aggiungendo 1 implicherebbe l'esistenza di un altro numero primo. Questa contraddizione implica che i numeri primi devono essere infiniti.

I matematici hanno un passatempo curiosamente popolare: dimostrarlo ancora e ancora.

Perché preoccuparsi di fare questo? Per prima cosa, è divertente. Ancora più importante, "Penso che il confine tra matematica ricreativa e matematica seria sia molto sottile", ha detto Guglielmo Gasarco, professore di informatica all'Università del Maryland e autore di una nuova prova pubblicato online all'inizio di quest'anno.

La prova di Gasarch è solo l'ultima di una lunga serie di nuove prove. Nel 2018, Romeo Mestrovic dell'Università del Montenegro ha compilato quasi 200 dimostrazioni del teorema di Euclide in a indagine storica completa. In effetti, l'intero campo della teoria analitica dei numeri, che utilizza quantità continuamente variabili per studiare i numeri interi, presumibilmente originato nel 1737, quando il gigante matematico Leonhard Euler usò il fatto che la serie infinita 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … diverge (nel senso che non si somma a un numero finito), per dimostrare ancora una volta che esiste un numero infinito di numeri primi.

Christian Elsholtz, un matematico della Graz University of Technology in Austria e autore di un'altra prova recente, ha detto che invece di dimostrare risultati concreti da molti risultati minori - quello che fanno i matematici quando assemblano sistematicamente lemmi in teoremi - ha fatto il contrario. “Uso l'Ultimo Teorema di Fermat, che in realtà è un risultato non banale. E poi concludo con un risultato molto semplice. Lavorare all'indietro in questo modo può rivelare connessioni nascoste tra diverse aree della matematica, ha detto.

"C'è una piccola competizione là fuori per le persone che hanno la prova più ridicolmente difficile", ha detto Andrea Granville, matematico all'Università di Montreal e autore di due altre prove. “Deve essere divertente. Fare qualcosa di tecnicamente orribile non è il punto. L'unico modo in cui vuoi fare qualcosa di difficile è che sia divertente.

Granville ha detto che c'è un punto serio in questa amichevole superiorità. I ricercatori non sono solo nutriti di domande che cercano di risolvere. “Il processo di creazione in matematica non riguarda, basta impostare un compito su una macchina e la macchina lo risolve. Si tratta di qualcuno che prende ciò che ha fatto in passato e lo usa per creare una tecnica e creare un modo per sviluppare idee.

Come dice Gasarch, “Tutti i giornali passano da una bella nuova dimostrazione che i numeri primi sono infiniti alla matematica seria. Un giorno stai solo guardando i numeri primi, e il giorno dopo stai guardando le densità dei quadrati.

La dimostrazione di Gasarch parte dal fatto che se si colorano gli interi con un numero finito di colori, ci sarà sempre una coppia di numeri dello stesso colore la cui somma è anche quel colore, che era dimostrato nel 1916 di Issai Schur. Gasarch usò il teorema di Schur per dimostrare che, se ci fosse un numero finito di numeri primi, allora esisterebbe un cubo perfetto (un numero intero, come 125, che è uguale a un altro numero intero moltiplicato per se stesso tre volte) che è la somma di due altri cubi perfetti. Ma nel 1770, Eulero aveva dimostrato che non esiste un tale cubo: il n = 3 caso dell'ultimo teorema di Fermat, che presuppone che non ci siano soluzioni intere a aⁿ + bⁿ = cⁿ per n maggiore di 2. Basandosi su questa contraddizione, Gasarch ha concluso che ci deve essere un numero infinito di numeri primi.

Una delle dimostrazioni di Granville del 2017 utilizzava un diverso teorema di Fermat. Granville si basava principalmente su a 1927 teorema di Bartel Leendert van der Waerden, che ha dimostrato che se si colorano gli interi con un numero finito di colori, esistono sempre catene arbitrariamente lunghe di interi equidistanti con lo stesso colore. Come Gasarch, Granville è partito dal presupposto che i numeri primi siano finiti. Ha quindi utilizzato il teorema di van der Waerden per trovare una sequenza di quattro quadrati perfetti equidistanti e di colore identico. Ma Fermat aveva dimostrato che tale sequenza non può esistere. Contraddizione! Poiché una tale sequenza potrebbe esistere se ci fosse un numero finito di numeri primi, ma non può esistere, ci deve essere un numero infinito di numeri primi. La dimostrazione di Granville è stata la seconda dimostrazione primaria recente per attingere al teorema di van der Waerden - Levent Alpöge, ora postdoc all'Università di Harvard, aveva anche utilizzato il risultato in a carta 2015, pubblicato mentre era ancora al college.

Granville è un fan particolare dell'articolo di Elsholtz, che applica anche l'ultimo teorema di Fermat e l'ipotesi controfattuale che ci siano solo un numero finito di numeri primi. Come Gasarch, Elsholtz incorporò il teorema di Schur, sebbene in un modo un po' diverso. Elsholtz ha anche fornito una seconda dimostrazione usando a Teorema del 1953 di Klaus Roth, che dice che gli insiemi di numeri interi superiori a una certa dimensione devono contenere gruppi di tre numeri equidistanti.

Alcune domande matematiche più profonde, e persino pratiche, potrebbero essere risolte basandosi su questo lavoro. Ad esempio, la crittografia a chiave pubblica che si basa sulla difficoltà di fattorizzare grandi numeri sarebbe molto facile da decifrare se vivessimo in un mondo con un numero finito di numeri primi. Elsholtz si chiede se potrebbe quindi esserci qualche connessione tra le prove di infiniti numeri primi e la dimostrazione di quanto sia difficile decifrare tali schemi di crittografia. C'è "qualche debole connessione con il teorema di Euclide", ha detto Elsholtz. "Sarebbe interessante vedere le connessioni più profonde."

Granville ha detto che la migliore matematica può nascere da strane combinazioni di diverse aree e materie e spesso emerge dopo che i matematici hanno passato anni a smanettare su problemi di livello inferiore ma divertenti. È affascinato dal fatto che argomenti apparentemente remoti possano essere applicati alla teoria dei numeri. In un recente sondaggio, Granville ha elogiato la "scarsa eleganza" di a Prova del 1955 di Hillel Furstenberg, che utilizzava la topologia point-set. Come Alpöge, Furstenberg era ancora al college quando la sua dimostrazione fu pubblicata. Sarebbe passato a un illustre carriera in un varietà di discipline matematiche.

Granville chiese retoricamente se le nuove prove del vecchio risultato di Euclide fossero "solo curiosità o qualcosa che ha un'importanza a lungo termine". Rispondendo alla sua stessa domanda, ha detto: "Non posso dirtelo".