Una breve storia della complicata piastrellatura matematica | Rivista Quanti

Ogni giorno vediamo esempi di motivi ripetuti. Questa simmetria e regolarità possono sembrare banali e quasi invisibili, come nel caso dei mattoni sui muri degli edifici o del motivo esagonale in un nido d’ape. Oppure, se siamo abbastanza fortunati da incontrare qualcosa come le eleganti piastrelle dell'Alhambra spagnola o i disegni creativi di MC Escher, i modelli possono ispirarci e stupirci.

Per secoli, i matematici hanno giocato con queste forme ripetitive, estraendo da esse intuizioni affascinanti e nuove possibilità. La bellezza della matematica rivaleggia con la bellezza dei disegni stessi.

Le piastrellature più semplici sono costituite da poligoni identici con lati di uguale lunghezza e angoli di uguale misura uniti da bordo intero a bordo intero. Ma sebbene ci siano infiniti di questi poligoni “regolari” – uno per ogni numero di lati – ci sono solo tre piastrellature regolari, formate da forme con tre, quattro o sei lati – cioè triangoli, quadrati ed esagoni.

Le altre forme semplicemente non sono costruite per questo. Un pentagono regolare (con cinque lati) ha un angolo interno di 108 gradi. Questo non si divide equamente in 360 gradi, quindi qualsiasi tentativo di assemblare pentagoni regolari in una piastrellatura è destinato a produrre lacune che non possono essere colmate; diciamo che il pentagono regolare non può affiancare il piano. E i poligoni regolari con più di sei lati hanno angoli interni troppo grandi perché tre possano incontrarsi in un unico punto, e quindi non possono neanche farlo.

Un altro approccio alla piastrellatura con poligoni regolari viene da Johannes Kepler, oggi meglio conosciuto per le sue scoperte sul movimento planetario. Nel 1619 dimostrò che anche se si utilizza più di un poligono regolare, è possibile creare solo otto nuovi modelli di piastrellatura in cui la configurazione attorno a ciascun vertice è identica. (Se ci è permesso deviare da questa restrizione, ci sono più possibilità.)

Quando consentiamo i poligoni irregolari, le cose diventano più interessanti. Sorprendentemente, ogni triangolo può affiancare il piano e, ancor più sorprendentemente, lo stesso vale per ogni quadrilatero.

D'altra parte, è impossibile affiancare al piano un qualsiasi poligono convesso con più di sei lati; la somma degli angoli interni è semplicemente troppo grande. Quindi rimangono solo pentagoni ed esagoni come possibilità rimanenti.

Nella sua tesi di dottorato del 1918, Karl Reinhardt dimostrò che è possibile piastrellare il piano con infiniti esagoni convessi – quelli senza rientranze – che raggruppò in tre famiglie.

I pentagoni convessi che affiancano l'aereo erano più difficili da classificare. Reinhardt ha scoperto cinque famiglie di tali pentagoni; 50 anni dopo, Richard Kershner ne trovò altri tre. Poi, nel 1975, Martin Gardner scrisse del problema per Scientific American, portandolo all'attenzione di matematici professionisti e dilettanti. Uno di questi dilettanti, un programmatore di computer di nome Richard James III, inviò a Gardner un esempio di nona famiglia, chiedendo: "Sei d'accordo che Kershner abbia mancato questo?" Lui aveva.

Anche Marjorie Rice, una casalinga, lesse l'articolo di Gardner e iniziò a risolvere il problema al tavolo della sua cucina. Ha armeggiato per oltre due anni e ha scoperto altre quattro famiglie di pentagoni piastrellati.

I ricercatori hanno trovato una quattordicesima famiglia di pentagoni piastrellati nel 14 e tre decenni dopo, un altro team ha trovato una quindicesima famiglia utilizzando una ricerca al computer. Nessuno sapeva se questa scoperta completasse la lista o se ci fossero ancora altre famiglie nascoste. A questa domanda è stata data risposta nel 1985 quando Michaël Rao dimostrato che tutti i pentagoni piastrellati convessi - e con essi tutti i poligoni piastrellati convessi - erano stati trovati.

Tutte queste piastrellature si ripetono. Cioè, hanno una simmetria periodica, il che significa sostanzialmente che se tracciassimo la piastrellatura su un pezzo di carta e facessimo scorrere la carta in determinate direzioni, si allineerebbe di nuovo esattamente con la piastrellatura.

Sono possibili anche altri tipi di simmetrie. Ad esempio, una simmetria speculare implica che i nostri schemi si allineeranno se capovolgiamo la nostra carta da lucido attorno a una linea fissa. La simmetria rotazionale significa che si allineeranno se ruotiamo la carta. E possiamo combinare le azioni per ottenere una simmetria di glide-riflessione, che è come far scorrere la carta e poi girarla.

Nel 1891, il cristallografo russo Evgraf Fedorov dimostrò che esistono solo 17 modi in cui queste simmetrie possono essere combinate. Poiché questa restrizione si applica a tutte le decorazioni periodiche dell'aereo, queste vengono comunemente chiamate i 17 "gruppi di sfondi".

Una volta che si ha familiarità con questa classificazione dei modelli di simmetria, è quasi impossibile vedere un disegno periodico, per quanto intricato, e non vederlo come un puzzle da decodificare: dove e come, esattamente, si ripete? Dove sono queste simmetrie?

Naturalmente, non tutti i progetti di piastrellatura sono periodici. È possibile, e spesso facile, posizionare le tessere sul piano in modo che il disegno risultante non si ripeta mai. Nel nostro esempio con esagoni, quadrati e triangoli, puoi farlo semplicemente ruotando un singolo esagono e i poligoni che lo circondano di 30 gradi. La piastrellatura risultante non ha più simmetrie traslazionali.

Nel 1961, il logico Hao Wang ipotizzò che se un insieme di forme piastrella il piano, allora le forme devono essere in grado di piastrellare periodicamente il piano. Solo pochi anni dopo, il suo studente laureato Robert Berger dimostrò che si sbagliava scoprendo un enorme insieme di oltre 20,000 tessere che affiancano l'aereo, ma solo in modo non periodico. Tali set di tessere sono chiamati aperiodici.

Sebbene Berger e altri riuscirono a ridurre significativamente le dimensioni di questi insiemi aperiodici, a metà degli anni '1970 Roger Penrose catturò l'attenzione del mondo scoprendo insiemi molto piccoli delle sue tessere aperiodiche. I set più piccoli richiedono solo due tessere.

Queste forme e modelli hanno affascinato matematici, scienziati e il pubblico in generale. Ma hanno sollevato un’ovvia domanda successiva: esiste un’unica tessera aperiodica? L’obiettivo finale della teoria della piastrellatura era ora quello di trovare una piastrella “einstein” – che non prende il nome dal fisico, ma dalla frase tedesca “una pietra”.

Nel 2010, Joshua Socolar e Joan Taylor sono arrivati ​​molto vicini alla scoperta di un Einstein. Il problema con il loro approccio era questo la loro tessera doveva essere disconnessa; sarebbe come piastrellare l'aereo con forme come lo stato delle Hawaii, un'unica entità composta da regioni separate, piuttosto che con forme connesse come la California. I matematici sospettavano sempre più che se un Einstein fosse esistito, avrebbe dovuto essere qualcosa di molto complicato dal punto di vista geometrico.

Nel marzo 2023, un dilettante ha scioccato nuovamente il mondo. Un tecnico tipografico in pensione e un hobbista matematico di nome David Smith aveva scoperto non solo una monotile aperiodica, ma una famiglia infinita di questi sfuggenti Einstein. Si è unito a Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss e Joseph Samuel Myers - esperti in informatica, matematica e teoria delle piastrellature - e insieme hanno presentato un Einstein geometricamente semplice chiamato la piastrella del cappello (che Internet pensava assomigliasse a una maglietta ).

La reazione è stata rapida e positiva. Gli scopritori hanno parlato a conferenze e hanno tenuto discorsi online. Gli artisti matematici hanno colto al volo l'opportunità di trovare modi creativi per produrre disegni simili a quelli di Escher basati su queste nuove piastrelle geometricamente interessanti. La tegola del cappello è apparsa anche nel monologo di uno spettacolo televisivo a tarda notte.

Eppure c’era ancora margine di miglioramento. Per affiancare l'aereo con il cappello, devi capovolgere circa un settimo delle tessere. Un proprietario di casa che desidera piastrellare il proprio bagno con la piastrella del cappello dovrebbe acquistare due tipi di piastrelle: una piastrella standard e la sua immagine speculare. Era davvero necessario?

Ancor prima che l'eccitazione per la tessera del cappello si calmasse, la squadra fece un altro annuncio. Smith aveva trovato, in quella infinita famiglia di monotileni aperiodici, uno che chiamò “spettro” in grado di piastrellare il piano senza richiedere copie riflesse. Finalmente era apparso un vero Einstein.

Siamo ora nel bel mezzo di una rinascita nell’esplorazione matematica delle piastrellature e delle tassellazioni. Si è basata su importanti contributi di dilettanti, ha ispirato la creatività di artisti matematici e ha sfruttato la potenza dei computer per ampliare i confini della conoscenza. E da esso abbiamo ottenuto nuove intuizioni sulla natura della simmetria, della geometria e del design.

Correzione: Ottobre 30, 2023
La versione originale di questo articolo affermava che è impossibile affiancare un piano con qualsiasi poligono con più di sei lati. Questo è vero solo se il poligono è convesso.

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