Una vista ravvicinata rivela il punto di “fusione” di un grafico infinito | Rivista Quanti

Nel 2008, il matematico Oded Schramm morì in un incidente durante un'escursione sulle montagne Cascade, a circa 50 miglia a est di Seattle. Sebbene avesse solo 46 anni, aveva costruito aree della matematica completamente nuove.

"Era un matematico fantastico", ha detto Itai Benjamini, matematico del Weizmann Institute of Science e amico e collaboratore di Schramm. “Estremamente creativo, estremamente elegante, estremamente originale.”

Le domande da lui poste stanno ancora spingendo oltre le frontiere della teoria della probabilità e della fisica statistica. Molte di queste domande riguardano strutture matematiche che presentano una transizione di fase: un improvviso cambiamento macroscopico, come il ghiaccio che si scioglie in acqua. Proprio come materiali diversi hanno punti di fusione diversi, anche le transizioni di fase delle strutture matematiche variano.

Schramm ha ipotizzato che la transizione di fase in un processo chiamato percolazione possa essere stimata utilizzando solo una visione ravvicinata del sistema – chiamata prospettiva locale – per molte importanti strutture matematiche. Zoomare completamente e osservare il tutto non cambierà in modo significativo il calcolo. Negli ultimi 15 anni, i matematici hanno sminuzzato piccoli pezzi della congettura, ma fino ad ora non sono stati in grado di risolverla completamente.

In un prestampa pubblicata in ottobre, Tom Hutchcroft del California Institute of Technology e il suo studente di dottorato Filippo Eso dimostrato la congettura della località di Schramm. La loro dimostrazione si basa su idee importanti provenienti dalla teoria della probabilità e da altre aree della matematica, che hanno combinato in modo intelligente.

“È un documento straordinario. È un accumulo di lungo lavoro”, ha detto Benjamini.

Cluster infiniti

La parola “percolazione” originariamente si riferiva al movimento di un fluido attraverso un mezzo poroso, come l’acqua che scorre attraverso i fondi di caffè o l’olio che filtra attraverso le fessure di una roccia.

Nel 1957, i matematici Simon Ralph Broadbent e John Michael Hammersley svilupparono un modello matematico di questo processo fisico. Nei decenni successivi, questo modello è diventato oggetto di studio a pieno titolo. I matematici studiano la percolazione perché raggiunge un equilibrio importante: la struttura è semplice, ma presenta caratteristiche complesse e sconcertanti.

“È una sorta di modello canonico per i matematici”, ha detto Hutchcroft. “Puoi pensare alle cose visivamente. Questo rende davvero bello lavorare con lui”.

La percolazione inizia con un grafico, che è una raccolta di vertici (punti) che possono essere collegati da bordi (linee). Uno degli esempi più semplici è una griglia quadrata, con i vertici allineati per formare gli angoli dei quadrati e gli spigoli che ne collegano alcuni.

Poco prima della sua morte, Schramm congetturò che il teorema di Grimmett e Marstrand potesse essere generalizzato. Pensava che la soglia di percolazione fosse determinata interamente dalla prospettiva ravvicinata, o “microscopica”, per un’ampia classe di grafici noti come grafici transitivi.

Nel 2009 Benjamini, Asaf Nachmias ed Yuval Peres dimostrato La congettura della località di Schramm, come è ora nota, per un tipo specifico di grafo transitivo che assomiglia ad un albero. Schramm, tuttavia, aveva postulato che ciò sarebbe valido per tutti i grafi transitivi (con l'eccezione dei grafi unidimensionali).

In un grafo transitivo, tutti i vertici sembrano simili. Una griglia bidimensionale ne è un esempio. Se scegli due vertici qualsiasi, puoi sempre trovare una simmetria che sposta un vertice nell'altro.

Questa relazione vale per qualsiasi grafo transitivo. A causa di queste simmetrie, se ingrandisci e guardi due patch di uguale dimensione di un grafico transitivo, sembreranno uguali. Per questo motivo Schramm riteneva che la prospettiva ravvicinata fosse sufficiente per consentire ai matematici di calcolare la soglia di percolazione per tutti i grafi transitivi.

I grafici transitivi possono assumere molte forme e forme. Possono essere una griglia semplice, composta da quadrati, triangoli, esagoni o qualche altra forma. Oppure possono formare un oggetto più complesso, come un “albero regolare a 3”, in cui un punto centrale si collega a tre vertici e ciascun vertice poi si ramifica per crearne due nuovi all’infinito, i cui primi passi sono visti qui:

La varietà di grafi transitivi ha contribuito alla difficoltà di dimostrare la congettura della località di Schramm. Nei 15 anni trascorsi tra la congettura di Schramm e la dimostrazione di Easo e Hutchcroft, vari gruppi di matematici dimostrarono la congettura per tipi specifici di grafici, ma le loro idee non si estesero mai al caso generale.

"Lo spazio di tutte le possibili geometrie è davvero vasto e ci sono sempre cose strane in agguato", ha detto Hutchcroft.

Allargamento dell'obiettivo

Inizialmente Easo e Hutchcroft non stavano cercando una soluzione alla congettura della località di Schramm, che si applica a grafi infiniti. Stavano invece studiando la percolazione su grafi finiti. Ma hanno avuto un'idea che ha improvvisamente spostato la loro attenzione sulla congettura.

"Abbiamo ideato questo nuovo strumento e abbiamo pensato, oh, sembra il tipo di cosa che potrebbe essere utile per attaccare la località", ha detto Easo.

Per dimostrare la congettura, dovevano dimostrare che la prospettiva microscopica fornisce un’istantanea accurata della soglia di percolazione. Quando visualizzi solo una parte di un grafico e osservi un grande cluster connesso, potresti presumere che il grafico abbia un cluster infinito e sia quindi al di sopra della soglia di percolazione. Easo e Hutchcroft hanno deciso di dimostrarlo.

Si sono basati su una tecnica che può essere considerata come “l’allargamento della lente”. Inizia da un singolo vertice. Quindi rimpicciolisci per visualizzare tutti i vertici che si trovano a un solo bordo di distanza nel grafico originale. Sulla griglia quadrata, ora sarai in grado di vedere cinque vertici totali. Allarga nuovamente la lente per vedere tutti i vertici entro una distanza di due bordi, quindi una distanza di tre bordi, quattro bordi e così via.

Easo e Hutchcroft impostano il quadrante che determina quanti collegamenti ci sono vicino al punto in cui hanno visto un grande ammasso. Hanno poi allargato la lente, osservando sempre più bordi riunirsi nel loro grande ammasso. Così facendo, hanno dovuto aumentare la probabilità che fossero presenti collegamenti, il che rende più semplice dimostrare che il grafico ha una grande componente connessa. Questo è un delicato atto di equilibrio. Dovevano ampliare il campo visivo abbastanza rapidamente e aggiungere collegamenti abbastanza lentamente da rivelare l'intero grafico infinito senza modificare drasticamente la posizione del quadrante.

Sono stati in grado di dimostrare che i grandi ammassi crescono più velocemente di quelli più piccoli, così che, come ha detto Easo, “il tuo ammasso cresce sempre più velocemente man mano che diventa sempre più grande, proprio come quando fai rotolare una palla di neve”.

Per la griglia quadrata, il conteggio dei vertici cresce in modo relativamente lento. È più o meno la larghezza della tua lente al quadrato. Dopo 10 passaggi, troverai circa 100 vertici. Ma un albero regolare di 3 cresce esponenzialmente più velocemente: circa 2 aumentati alla potenza della larghezza dell'obiettivo. Dopo 10 passaggi, vedrai circa 1,024 vertici. L'illustrazione seguente mostra come l'albero regolare a 3 posizioni sia molto più grande dopo soli sette passaggi, anche se la griglia quadrata ha inizialmente più vertici. In generale, i grafici possono avere tassi di crescita diversi su scale diverse: potrebbero iniziare velocemente e poi rallentare.

Nel 2018, Hutchcroft usato un'idea simile per dimostrare la congettura della località per grafi a crescita rapida come l'albero 3-regolare. Ma non ha funzionato per i grafici a crescita lenta come la griglia quadrata, o per i grafici che crescono a velocità intermedia, non soddisfacendo né i criteri matematici per la crescita rapida né quelli per la crescita lenta.

"È qui che le cose diventano davvero frustranti per circa tre anni", ha detto Hutchcroft.

Struttura contro espansione

Per i grafici che mescolano tassi di crescita su scale diverse, è necessario utilizzare una varietà di tecniche.

Un fatto molto utile è che, come ha spiegato Easo, “se un grafico sembra a crescita lenta su una certa scala, allora si blocca”. Continuerà a crescere lentamente su scala più ampia. Poiché i grafici a crescita lenta hanno una struttura aggiuntiva determinata da una branca della matematica chiamata teoria dei gruppi, era anche noto che se si ingrandisce abbastanza, i grafici a crescita lenta mostrano una geometria matematicamente docile.

Nel 2021, Sébastien Martineau dell'Università della Sorbona di Parigi, in collaborazione con Daniel Contreras e Vincenzo Tassion dell'ETH di Zurigo, ha potuto utilizzare questo immobile dimostrare la congettura della località di Schramm per i grafici che alla fine crescono lentamente.

A questo punto, i due gruppi di matematici avevano affrontato con successo la congettura da direzioni diverse: crescita rapida e crescita lenta. Ma questo ha lasciato lacune considerevoli. Innanzitutto, esiste una categoria di crescita intermedia che non è stata coperta dalla tecnica di Easo e Hutchcroft o dalla dimostrazione di Contreras, Martineau e Tassion. Un altro problema era che le argomentazioni non si applicavano ancora ai grafici con tassi di crescita variabili, ma solo a quelli che rimanevano veloci o rimanevano lenti. Affinché l’argomentazione di Contreras, Martineau e Tassion potesse essere applicata a grafici arbitrari, non era sufficiente che la geometria alla fine sembrasse addomesticata quando si riduce lo zoom, ha spiegato Easo: “Abbiamo bisogno che appaia addomesticata ora, vicino alla scala attuale”.

Il mezzo del nulla

I grafici transitivi della crescita intermedia sono molto misteriosi. I matematici non hanno mai trovato un esempio di grafo transitivo la cui crescita rientri in questo intervallo. È possibile che non esistano nemmeno. Ma i matematici non hanno dimostrato che non esistono, quindi qualsiasi prova completa della congettura di località di Schramm deve tenerne conto. In aggiunta alla sfida, Easo e Hutchcroft dovevano affrontare i grafici che potevano avere solo una breve crescita intermedia su una particolare scala di lunghezza, anche se crescono più velocemente o più lentamente quando si ingrandisce o riduce.

Easo e Hutchcroft hanno trascorso gran parte dello scorso anno lavorando per estendere i loro risultati da applicare ai grafici che non erano coperti da nessuno dei metodi precedenti.

Innanzitutto, hanno modificato la tecnica del 2018 che Hutchcroft aveva applicato ai grafici in rapida crescita per lavorare su grafici che modificano i livelli di crescita su scale diverse. Hanno poi affrontato il caso della crescita lenta un giornale di 27 pagine hanno condiviso in agosto che hanno ampliato il lavoro su Contreras, Martineau e Tassion. Infine, nella loro prestampa di ottobre, hanno ideato un altro argomento utilizzando la teoria delle passeggiate casuali (linee che si muovono casualmente nello spazio) per gestire il caso della crescita intermedia. Una volta completata la tricotomia, avevano dimostrato la congettura della località di Schramm.

"Abbiamo dovuto utilizzare tutto ciò che sapevamo per risolvere il problema", ha detto Hutchcroft.

La soluzione offre ai matematici una visione migliore di ciò che accade al di sopra della soglia di percolazione, dove la probabilità di un cluster infinito è del 100%, e al di sotto di essa, dove la probabilità è dello 0%. Ma i matematici sono ancora sconcertati da ciò che accade esattamente alla soglia della maggior parte dei grafici, inclusa la griglia tridimensionale. "Questa è probabilmente la domanda aperta più famosa e basilare nella teoria della percolazione", ha detto Russell Lione dell'Università dell'Indiana.

La griglia bidimensionale è uno dei pochi casi in cui i matematici hanno dimostrato cosa accade esattamente alla soglia: non si formano cluster infiniti. E dopo che Grimmett e Marstrand hanno dimostrato una versione della congettura della località per grandi lastre, Grimmett e collaboratori hanno dimostrato che se si taglia una griglia 3D a metà orizzontalmente, creando un pavimento, e si sintonizza il quadrante esattamente sulla soglia di percolazione, non appaiono cluster infiniti. Il loro risultato suggerisce che l’intera griglia tridimensionale, come la sua controparte bidimensionale, potrebbe non avere un cluster infinito alla soglia di percolazione.

Nel 1996 Benjamini e Schramm congetturato che la possibilità di trovare un cluster infinito proprio alla soglia è zero per tutti i grafici transitivi, proprio come lo è per la griglia 2D o per la griglia 3D tagliata a metà. Ora che la congettura della località è stata risolta, la comprensione di ciò che accade proprio nel punto di transizione potrebbe essere un po’ più vicina.

Correzione: Dicembre 18, 2023
Il numero di nodi all'interno di n collegamenti di un nodo iniziale su un grafo 3-regolare cresce approssimativamente di 2ⁿ, non 3ⁿ come affermato originariamente in questo articolo. L'articolo è stato corretto.

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