Introduzione
Come molte persone che sarebbero diventate matematici, Wei Ho cresciuto gareggiando in gare di matematica. In terza media, ha vinto la competizione statale Mathcounts in Wisconsin e la sua squadra si è classificata terza ai cittadini.
A differenza di molti futuri matematici, non era sicura di volerlo diventare.
"Volevo fare tutto, sempre", ha detto Ho. “Ho preso molto sul serio il balletto fino all'inizio del liceo. Ho curato la rivista letteraria. Ho fatto dibattiti e indagini forensi. Ho giocato a tennis, a calcio, al pianoforte e al violino. Al contrario, molti matematici di successo sembravano essere ossessionati dalla matematica con l'esclusione di tutto il resto. Come poteva lei, una persona con numerose passioni, competere con quel livello di attenzione?
Alla fine, Ho è stato attratto dal rigore della matematica. Le piace ancora il balletto, leggere romanzi e fare cruciverba criptici, anche se aiuta a reinventare il meccanismo matematico che è alla base di oggetti matematici fondamentali, come le equazioni polinomiali, a cui sono associate domande aperte di lunga data e sconcertanti.
Ho studia oggetti geometrici familiari, ma riformula le domande per situarle nel regno dei numeri razionali, numeri che possono essere scritti come frazioni. "Poi la teoria dei numeri inizia a mescolarsi in tutto questo", ha detto.
È particolarmente interessata alle curve ellittiche, che sono definite da un particolare tipo di equazione polinomiale che ha applicazioni in diversi rami della matematica. Le curve ellittiche compaiono nell'analisi - in senso lato, lo studio delle cose continue, come i numeri reali - e nell'algebra, che riguarda la ricerca e la definizione di strutture matematiche precise. (Sebbene il loro obiettivo sia diverso, l'analisi e l'algebra sono divise più dalla sensibilità che da un confine rigoroso, poiché vi è molta sovrapposizione tra di loro.)
Introduzione
In un preprint rivoluzionario pubblicato nel 2018, Ho e il suo collaboratore Levent Alpöge dell'Università di Harvard scoperto un nuovo limite superiore per il numero di soluzioni intere ai polinomi che definiscono le curve ellittiche. La loro tecnica attinge al lavoro decennale di Louis Mordell, un matematico americano emigrato in Gran Bretagna nel 1906. Nel loro articolo, Ho e Alpöge sono stati in grado di raccogliere nuove informazioni sulla distribuzione di queste soluzioni intere che erano sfuggite ad altri team che studiavano simili i problemi.
Ho sta trascorrendo l'anno (in congedo dalla sua posizione di facoltà presso l'Università del Michigan) come visiting professor presso l'Institute for Advanced Study, dove è stata recentemente nominata prima direttrice del programma Women and Mathematics della IAS. È anche borsista nel 2023 dell'American Mathematical Society e ricercatrice presso la Princeton University.
Spera che dirigere il programma Women and Mathematics "almeno aiuterà di più la comunità, aiuterà più persone, invece di stare solo nel mio ufficio a fare ricerche matematiche da sola o con i collaboratori", ha detto. “Posso dimostrare teoremi, e forse un giorno potrò dimostrare un teorema che tra 100 anni avrà importanza. Forse sì forse no. Ma mi sentivo come se non stessi avendo abbastanza impatto sul mondo o sulle persone intorno a me.
Quanta ha parlato con Ho in una serie di videoconferenze. Le interviste sono state condensate e modificate per chiarezza.
Come descriveresti il tuo modo di fare matematica?
A volte i matematici si dividono in persone algebriche e analitiche. La matematica che faccio tocca entrambi i lati, ma in fondo sono un algebrista, anche se sono geometrico nel modo in cui penso. Spesso tendo a vedere l'algebra e la geometria essenzialmente come la stessa cosa.
Non è del tutto esatto, ma fondamentalmente dall'opera di Descartes e soprattutto nel secolo scorso, i due soggetti sono diventati molto vicini. Esiste un dizionario piuttosto preciso che può, in alcune situazioni, aiutare a tradurre un'immagine geometrica in conseguenze algebriche.
Nel mio caso, l'immagine geometrica spesso aiuta a formulare affermazioni e congetture e a dare intuizioni, ma poi le traduciamo in algebra durante la scrittura. È più facile rilevare gli errori poiché l'algebra è in genere più rigorosa. Può anche essere più facile usare l'algebra quando la geometria diventa troppo difficile da visualizzare.
Su quali idee ti sei concentrato nel tuo lavoro recente?
Gran parte del mio lavoro ha a che fare con le curve ellittiche, che sono oggetti molto naturali nella teoria dei numeri e nella geometria aritmetica.
Dovrebbe essere difficile avere soluzioni intere di equazioni come queste. Ci aspettiamo, sostanzialmente, che quasi tutte le curve non abbiano soluzioni intere. Ma è molto difficile dimostrarlo.
Levent ed io abbiamo studiato questa distribuzione del numero di punti integrali. Usiamo una costruzione classica dal libro di Mordell del 1969 Equazioni diofantee. Siamo in grado di dare un limite superiore al numero di punti integrali su una curva ellittica. Altre persone hanno dato limiti superiori. Abbiamo trovato un limite diverso che è semplice da dichiarare.
Che ruolo ha avuto il lavoro precedente di Mordell nel tuo recente risultato?
La nostra domanda coinvolge punti integrali su curve ellittiche. Mordell ha un modo di metterlo in relazione con qualcos'altro che siamo in grado di studiare.
È una cosa che facciamo sempre in matematica: vogliamo capire un oggetto, ma dobbiamo trovare un proxy per capirlo. A volte quel proxy è molto preciso. A volte perde informazioni. Ma in realtà è qualcosa a cui possiamo accedere.
Quando hai deciso di concentrarti sulla matematica?
Non credo ci sia stato un punto di svolta per me. Sono felice della mia vita e della mia carriera ora, ma sento che se le cose fossero andate leggermente diversamente, avrei potuto essere felice in molte carriere o in altri campi. Forse è qualcosa che la maggior parte dei matematici non direbbe, perché a loro piace parlare di quanto siano appassionati di matematica e di come non potrebbero mai pensare ad altro. Per me, non credo sia vero.
Sono curioso di molte cose diverse. Forse sono diventato un matematico perché ero frustrato dalla mancanza di rigore in altri campi. Da bambino, sono stato addestrato a pensare come un matematico in qualche modo, perché è così che facevamo le cose a casa. Mio padre giocava con me a giochi di matematica, il che significava che stavo imparando il ragionamento logico fin dalla giovane età. Volevo che le cose fossero dimostrate.
Ma non ero sicuro che sarei stato un buon matematico.
Come mai?
Quando ero più giovane, non conoscevo così tante persone di matematica che erano come me in modi diversi. Usiamo queste parole sui modelli di ruolo. Non è solo che non ho visto abbastanza donne o donne asiatiche americane.
Quello che voglio dire è che non ho visto molte persone appassionate di cose diverse dalla matematica. Questo mi ha fatto dubitare molto di me stesso. Come posso avere successo in matematica se non passo il 100% del mio tempo a pensare alla matematica? Questo è quello che ho visto intorno a me. Avevo l'impressione che altre persone si avvicinassero alla matematica in modo diverso da me, i miei coetanei e le persone più grandi di me. Ho pensato che fosse difficile intraprendere una carriera in cui non sarei stato così. Avrei altri interessi.
L'aspetto umano è qualcosa di cui non ho visto altre persone preoccuparsi tanto. Avevo paura che una parte di me mi avrebbe reso cattivo nel diventare un matematico.
Introduzione
Sei appena stata nominata direttrice del programma Women and Mathematics della IAS. Cosa offre quel programma alle donne matematiche?
È un seminario di una settimana per donne in diverse fasi della carriera, tra cui donne universitarie, studentesse laureate, postdoc e alcuni docenti junior e senior. È imparare la matematica in un ambiente favorevole.
Gli studenti universitari che potrebbero non sapere di voler perseguire la matematica stanno incontrando matematici molto anziani e stanno ricevendo tutoraggio fino in fondo. Possono vedere molte persone diverse in diverse fasi della carriera e parlare con le persone delle loro esperienze. Non credo che ci siano molti altri programmi che hanno quell'intera gamma e sono focalizzati su un particolare sottocampo.
Il programma 2023 si chiama "Patterns in Integers". Avrà molte persone in combinatoria additiva e teoria analitica dei numeri. Portiamo persone provenienti da percorsi di carriera diversi per farle incontrare.
Per gli studenti laureati più anziani che già lavorano in quest'area, stanno incontrando postdoc, docenti junior e senior nel loro campo e hanno la possibilità di lavorare al loro fianco per una settimana.
Sei anche coinvolto nel Progetto pile, che è un'ampia risorsa online. Cos'ha di unico?
Il volume puro e l'accessibilità di esso. È questo enorme - più di 7,500 pagine se lo hai stampato - progetto collaborativo online. Ma realisticamente, [il matematico della Columbia University] Aise Johan de Jong scrive quasi tutto. È una risorsa rigorosa e accuratamente scritta per geometri algebrici. È una cosa incredibile che ha fatto per la comunità.
Ogni settimana o due, cresce. È un riferimento affidabile per quasi tutto. Copre un'enorme quantità di geometria algebrica per la quale avresti bisogno di guardare come 20 libri di testo.
È vivere nel senso che le cose possono essere aggiunte e modificate. Se ci sono errori, verranno catturati.
L'altra cosa interessante è il sistema di tag. Anche se questo documento è in costante crescita, puoi comunque fare riferimento a un tag specifico per sempre. Ci sono oltre 21,000 tag permanenti per risultati particolari che potresti voler citare. Pieter Belmans ha costruito l'intero back-end, che è stato utilizzato anche in altri progetti. Altre persone ne hanno adattato la tecnologia.
Il problema è - e Johan lo sa - che alla fine non sarà in grado di continuare a scrivere questo. Un giorno, se vogliamo che questo continui, è necessario che altre persone siano più coinvolte.
Che ruolo hanno i vostri workshop nel progetto Stacks?
Il punto è iniziare a coinvolgere i giovani. Li stiamo facendo scrivere pezzi e pezzi che alla fine potrebbero essere incorporati in esso. Ci sono alcune tensioni qui, perché affinché il sito web rimanga corretto e di alta qualità come risorsa, deve essere moderato con attenzione. Quindi Johan deve ancora fare molto del lavoro per inserirci le cose. Non può essere come Wikipedia dove chiunque può toccarlo. È un po' un peccato, ma deve succedere se vuoi che funzioni.
Stiamo cercando di capire come coinvolgere lentamente più persone nel progetto Stacks. Stiamo coinvolgendo tutor per lavorare su progetti con studenti laureati e postdoc. Imparano un po' di geometria algebrica. Poi scrivono qualcosa.
We appena pubblicato un volume con una serie di articoli espositivi che speriamo finiscano per entrare nel progetto Stacks.
Il progetto Stacks potrebbe continuare ad avere un impatto enorme per centinaia di anni se un numero sufficiente di persone viene coinvolto e lo porta avanti.
