Una torre di congetture che poggia su un ago | Rivista Quanti

In matematica, un problema semplice spesso non è quello che sembra. All'inizio di quest'estate, Quanta segnalato su uno di questi problemi: Qual è l'area più piccola che puoi spazzare ruotando un ago infinitamente sottile in tutte le direzioni possibili? Giralo attorno al suo centro come un quadrante e otterrai un cerchio. Ma ruotalo in modo più intelligente e potrai coprire una frazione di spazio arbitrariamente piccola. Se non hai bisogno che l'ago si muova con un movimento continuo, ma semplicemente appoggia un ago in ogni direzione, puoi costruire una disposizione di aghi che non copra alcuna area.

I matematici chiamano queste disposizioni insiemi Kakeya. Sebbene sappiano che tali insiemi possono essere piccoli in termini di area (o volume, se stai disponendo gli aghi in tre o più dimensioni), credono che gli insiemi debbano sempre essere grandi se la loro dimensione viene misurata con una metrica chiamata Hausdorff. dimensione.

I matematici devono ancora dimostrare questa affermazione, nota come congettura di Kakeya. Ma anche se apparentemente è una semplice domanda sugli aghi, “la geometria di questi insiemi Kakeya è alla base di tutta una serie di domande su equazioni differenziali parziali, analisi armonica e altre aree”, ha affermato Jonathan Hickmann dell'Università di Edimburgo.

La congettura di Kakeya è alla base di una gerarchia di tre problemi centrali nell’analisi armonica, una branca della matematica che studia come le funzioni possono essere rappresentate come somme di funzioni periodiche come onde sinusoidali che oscillano regolarmente.

Il passo successivo in questa gerarchia è la congettura della “restrizione”. Se è vera, lo è anche la congettura di Kakeya. (Ciò significa anche che se la congettura di Kakeya risulta essere falsa, la congettura di restrizione non può essere vera.) La congettura di restrizione, a sua volta, è implicita nella cosiddetta congettura di Bochner-Riesz. E in cima si trova la congettura di livellamento locale.

Le prime due congetture riguardano il comportamento della trasformata di Fourier, una tecnica di analisi armonica per, in effetti, calcolare come esprimere quasi tutte le funzioni come somma di onde sinusoidali. È uno degli strumenti matematici più potenti a disposizione di fisici e ingegneri. La trasformata di Fourier ha svolto un ruolo fondamentale nella risoluzione di equazioni differenziali, nell’espressione di idee quantomeccaniche come il principio di indeterminazione di Heisenberg e nell’analisi ed elaborazione dei segnali, rendendo possibili cose come i moderni telefoni cellulari.

Poiché ogni affermazione nella gerarchia implica quella sottostante, se la congettura di Kakeya è falsa, nessuna delle altre congetture è vera. L'intera torre crollerà. "Puoi creare un controesempio di super mostro che smentirebbe molte congetture", ha detto Hickman.

D’altro canto, dimostrare che la congettura di Kakeya è vera non implicherebbe automaticamente la verità delle altre congetture, ma fornirebbe ai matematici importanti spunti su come procedere.

E così, “quasi la metà della comunità di analisi armonica che conosco sta lavorando su questo e sui problemi correlati, o ci ha lavorato ad un certo punto”, ha detto Shaoming Guo dell’Università del Wisconsin, Madison.

Più recentemente, i matematici hanno scoperto, con loro sorpresa, che le tecniche che hanno sviluppato per affrontare questi problemi possono essere utilizzate anche per dimostrare risultati importanti nel campo apparentemente non correlato della teoria dei numeri. "È un fenomeno molto più generale di quanto si pensasse", ha detto Guo.

Layer Cake

La storia inizia con la trasformata di Fourier. "Vuoi scomporre [le funzioni] in piccoli pezzi, analizzare le loro interazioni e aggiungerle di nuovo insieme", ha detto Yumeng Ou dell'Università della Pennsylvania. Per le funzioni unidimensionali (curve che è possibile tracciare su un pezzo di carta) i matematici sanno bene come farlo, anche quando devono invertire la trasformata di Fourier utilizzando solo alcuni pezzi.

Ma in due o più dimensioni le cose possono diventare complicate.

Nel 1971, Charlie Feffermann, un matematico dell'Università di Princeton, ha scoperto come utilizzare gli insiemi di Kakeya per dimostrare che l'inversione della trasformata di Fourier può portare a risultati strani e sorprendenti in più dimensioni.

I matematici hanno trovato una soluzione sotto forma della congettura di Bochner-Riesz, che sostanzialmente afferma che esistono modi più sofisticati per recuperare la funzione originale che non si guastano come nell'esempio di Fefferman. Ma questa soluzione dipendeva dalla verità della congettura di Kakeya.

Se fosse vero, "troncare le frequenze porterebbe solo a piccoli errori", ha detto Betsy Stovall dell’Università del Wisconsin, Madison. "Significa che i piccoli errori non esplodono."

Così cominciò la gerarchia. Successivamente i matematici scoprirono un’altra importante connessione: se vera, la congettura di Bochner-Riesz implicava anche un’affermazione chiamata congettura di restrizione. Questa congettura afferma che se inizi con una versione limitata della trasformata di Fourier – “limitando” i valori che guardi solo a quelli che vivono su superfici particolari – questa può comunque darti informazioni importanti sulla funzione originale. E si è scoperto che se la congettura di restrizione era vera, lo era anche la congettura di Kakeya. (Ciò ha posto nella torre la congettura di restrizione tra Kakeya e Bochner-Riesz.)

Il problema culminante nella gerarchia, chiamato congettura di livellamento locale, non affronta direttamente la trasformata di Fourier, ma piuttosto pone dei limiti alla dimensione delle soluzioni alle equazioni che descrivono il comportamento delle onde.

Puoi pensare anche a questo in termini di geometria delle linee in un set Kakeya. Puoi scomporre una soluzione generale dell'equazione delle onde in un insieme di pezzi che si muovono in direzioni diverse e interagiscono tra loro in modi diversi nel tempo. Ciascuno di questi pezzi assomiglia matematicamente a un ago in un set Kakeya. La congettura di Kakeya asserisce che tale configurazione non può avere troppa sovrapposizione. In questo contesto fisico, le sovrapposizioni corrisponderebbero alla persistenza di comportamenti irregolari e inattesi nella soluzione. Ad esempio, un’onda sonora potrebbe amplificarsi in molte regioni in molti momenti diversi.

La congettura del livellamento locale afferma che tali irregolarità dovrebbero mediarsi. "È come prendere la media del mercato finanziario", ha detto Cipriano Demetra dell’Università dell’Indiana Bloomington. "Potrebbero verificarsi dei crolli qua e là, ma se investi i tuoi soldi e vai in pensione tra 40 anni, ci sono buone probabilità che tu ottenga dei buoni investimenti."

Ma come per tutte le congetture della gerarchia, ciò dipende dalla verità della congettura di Kakeya. "L'idea è che se si escludono molte intersezioni nei set Kakeya, ciò significa che si possono escludere queste situazioni in cui parti della soluzione cospirano insieme per creare una sorta di esplosione", ha detto Stovall.

Questa congettura è la più difficile di tutte: mentre i casi bidimensionali dei problemi di Kakeya, di restrizione e di Bochner-Riesz sono stati risolti decenni fa, la congettura di livellamento locale bidimensionale è stata dimostrata solo pochi anni fa. (Nelle dimensioni superiori, tutti questi problemi rimangono aperti.)

Ma nonostante i lenti progressi nel dimostrare la congettura di livellamento locale, il lavoro su di essa ha portato a enormi progressi altrove. Nel 1999, nel tentativo di affrontare la congettura, il matematico Thomas Wolff introdusse un metodo noto come disaccoppiamento. Da allora, quella tecnica ha acquisito vita propria: è stata utilizzata per fare importanti passi avanti non solo nell'analisi armonica, ma nella teoria dei numeri, nella geometria e in altre aree. "Utilizzando i risultati del disaccoppiamento, ora hai record mondiali in problemi molto famosi e importanti", ha detto Christopher Sogge della Johns Hopkins University, che per prima formulò la congettura dello livellamento locale negli anni ’1990. Ad esempio, il disaccoppiamento è stato utilizzato per aiutare a contare in quanti modi un numero intero può essere rappresentato come somma di quadrati, cubi o qualche altra potenza.

Come dice Demetra, questi risultati sono possibili perché “possiamo considerare i numeri come onde”. Il fatto che tutti questi problemi siano riconducibili ai set di aghi Kakeya “è affascinante”, ha aggiunto. "Non pensi che così tanta bellezza, difficoltà e importanza possano essere nascoste in qualcosa che può essere formulato utilizzando segmenti di linea."