La colorazione in base ai numeri rivela schemi aritmetici nelle frazioni

Un anno dopo aver iniziato il suo dottorato di ricerca. in matematica alla McGill University, Matt Bowen aveva un problema. "Ho sostenuto i miei esami di qualificazione e li ho superati in modo assolutamente orribile", ha detto. Bowen era sicuro che i suoi punteggi non riflettessero le sue capacità matematiche e decise di dimostrarlo. Lo scorso autunno lo ha fatto, quando lui e il suo consigliere, Marcin Saok, ha registrato un importante anticipo nel campo noto come Teoria di Ramsey.

Per quasi un secolo, i teorici di Ramsey hanno raccolto prove che la struttura matematica persiste in circostanze ostili. Potrebbero spezzare grandi insiemi di numeri come gli interi o le frazioni, o tagliare le connessioni tra i punti su una rete. Poi trovano il modo di dimostrare che certe strutture sono inevitabili, anche se cerchi di evitare di crearle rompendole o affettandole in modo intelligente.

Quando i teorici di Ramsey parlano di dividere una serie di numeri, usano spesso il linguaggio della colorazione. Scegli diversi colori: rosso, blu e giallo, per esempio. Ora assegna un colore a ogni numero in una raccolta. Anche se lo fai in modo casuale o caotico, emergeranno inevitabilmente certi modelli fintanto che usi solo un numero finito di colori diversi, anche se quel numero è molto grande. I teorici di Ramsey cercano di trovare questi modelli, cercando insiemi strutturati di numeri che siano "monocromatici", nel senso che ai loro elementi è stato assegnato lo stesso colore.

I primi risultati di colorazione risalgono alla fine del XIX secolo. Nel 19, Issai Schur aveva dimostrato che comunque si colorano i numeri interi positivi (noti anche come numeri naturali), ci sarà sempre una coppia di numeri x ed y così x, y, e la loro somma x+y sono tutti dello stesso colore. Per tutto il XX secolo, i matematici hanno continuato a lavorare sui problemi di colorazione. Nel 20, Neil Hindmann risultato esteso di Schur per includere un sottoinsieme infinito di numeri interi. Come il teorema di Schur, quello di Hindman si applica indipendentemente da come i numeri naturali sono colorati (con un numero finito di pastelli). Non solo questi numeri interi nell'insieme di Hindman sono tutti dello stesso colore, ma se ne sommate una qualsiasi raccolta, anche il risultato sarà di quel colore. Tali insiemi assomigliano ai numeri pari in quanto, proprio come qualsiasi somma di numeri pari è sempre pari, così anche la somma di qualsiasi numero in uno degli insiemi di Hindman sarebbe contenuta in quell'insieme.

"Il teorema di Hindman è un incredibile pezzo di matematica", ha detto Sabok. "È una storia di cui possiamo fare un film."

Ma Hindman pensava che fosse possibile fare di più. Credeva che si potesse trovare un insieme monocromatico arbitrariamente grande (ma finito) che contenesse non solo le somme dei suoi membri, ma anche i prodotti. "Ho sostenuto per decenni che questo è un dato di fatto", ha detto, aggiungendo: "Non sostengo di poterlo provare".

La congettura di Hindman

Se rinunci alla somma e vuoi solo assicurarti che i prodotti siano dello stesso colore, è semplice adattare il teorema di Hindman usando l'elevazione a potenza per trasformare le somme in prodotti (proprio come fa un regolo calcolatore).

Lottare con somme e prodotti contemporaneamente, tuttavia, è molto più difficile. “È molto difficile far parlare quei due tra loro”, ha detto Gioele Moreira, un matematico dell'Università di Warwick. "Capire come l'addizione e la moltiplicazione si relazionano: questa è, in un certo senso, la base di tutta la teoria dei numeri, quasi."

Anche una versione più semplice suggerita per la prima volta da Hindman negli anni '1970 si è rivelata impegnativa. Ha ipotizzato che qualsiasi colorazione dei numeri naturali debba contenere un insieme monocromatico della forma {x, y, xy, x+y} — due numeri x ed y, così come la loro somma e prodotto. "Le persone non hanno fatto alcun progresso su questo problema per decenni", ha detto Bowen. "E poi all'improvviso, intorno al 2010, le persone hanno iniziato a dimostrare sempre più cose al riguardo."

Bowen ha imparato a conoscere {x, y, xy, x+y} problema nel 2016, il suo secondo semestre di college, quando uno dei suoi professori alla Carnegie Mellon University descrisse il problema in classe. Bowen è stato colpito dalla sua semplicità. "È una di quelle cose fantastiche in cui è come, beh, non so molto di matematica, ma posso capirlo", ha detto.

Nel 2017 Moreira dimostrato che Tu può sempre trovare un set monocromatico contenente tre dei quattro elementi desiderati: x, xye x + y. Nel frattempo, Bowen ha iniziato ad armeggiare casualmente con la domanda durante il suo ultimo anno. "In realtà non sono riuscito a risolvere il problema", ha detto. "Ma ci tornavo ogni sei mesi circa." Dopo la sua scarsa prestazione nel suo dottorato di ricerca. esami di qualificazione nel 2020, ha raddoppiato i suoi sforzi. Pochi giorni dopo, aveva dimostrato il {x, y, xy, x+y} congettura per il caso dei due colori, risultato che Ron Graham aveva già dimostrato negli anni '1970 con l'ausilio di un computer.

Con quel successo, Bowen ha lavorato con Sabok per estendere il risultato a qualsiasi numero di colori. Ma si sono presto invischiati nei dettagli tecnici. "La complessità del problema diventa completamente fuori controllo quando il numero di colori è elevato", ha affermato Sabok. Per 18 mesi hanno tentato di districarsi, con poca fortuna. "Durante questo anno e mezzo, abbiamo avuto circa un milione di prove sbagliate", ha detto Sabok.

Una difficoltà in particolare impedì ai due matematici di progredire. Se scegli due numeri interi a caso, probabilmente non sarai in grado di dividerli. La divisione funziona solo nel raro caso in cui il primo numero sia un multiplo del secondo. Questo si è rivelato estremamente limitante. Con quella realizzazione, Bowen e Sabok si sono concentrati per dimostrare il {x, y, xy, x+y} invece la congettura nei numeri razionali (come i matematici chiamano frazioni). Lì, i numeri possono essere divisi con abbandono.

La dimostrazione di Bowen e Sabok è più elegante quando tutti i colori coinvolti appaiono frequentemente in tutti i numeri razionali. I colori possono apparire "frequentemente" in molti modi diversi. Ciascuno potrebbe coprire grossi pezzi della linea dei numeri. Oppure potrebbe significare che non puoi viaggiare troppo lungo la linea dei numeri senza vedere tutti i colori. Di solito, però, i colori non sono conformi a tali regole. In quei casi, puoi concentrarti su piccole regioni all'interno dei numeri razionali in cui i colori appaiono più frequentemente, ha spiegato Sabok. "È qui che è arrivata la maggior parte del lavoro", ha detto.

Nell'ottobre 2022, Bowen e Sabok hanno pubblicato una prova che se si colorano i numeri razionali con un numero finito di colori, ci sarà un insieme della forma {x, y, xy, x+y} i cui elementi hanno tutti lo stesso colore. "È una prova incredibilmente intelligente", ha detto Imre Leader dell'Università di Cambridge. “Utilizza risultati noti. Ma li combina in un modo assolutamente geniale, molto originale, molto innovativo”.

Rimangono molte domande. Può un terzo numero z essere aggiunto alla raccolta, insieme alle somme e ai prodotti che ne derivano? Soddisfare le previsioni più audaci di Hindman significherebbe aggiungere un quarto, un quinto e infine arbitrariamente molti nuovi numeri alla sequenza. Sarebbe anche necessario passare dai numeri razionali ai numeri naturali e trovare un modo per aggirare l'enigma della divisione che ostacolava gli sforzi di Bowen e Sabok.

Leader crede che con Moreira, Bowen e Sabok tutti al lavoro sul problema, quella prova potrebbe non essere lontana. "Quei ragazzi sembrano particolarmente brillanti nel trovare nuovi modi per fare le cose", ha detto. "Quindi sono piuttosto ottimista sul fatto che loro o alcuni dei loro colleghi possano trovarlo."

Sabok è più cauto nelle sue previsioni. Ma non esclude nulla. "Uno degli incantesimi della matematica è che prima di ottenere una dimostrazione, tutto è possibile", ha detto.