Il laureato del primo anno trova una serie di numeri paradossali | Rivista Quanta

I matematici si rallegrano quando dimostrano che esistono cose apparentemente impossibili. Tale è il caso di a nuova prova pubblicato online a marzo da Cédric Pilatte, uno studente laureato del primo anno presso l'Università di Oxford.

Pilatte dimostrò che è possibile creare un insieme — una raccolta di numeri — che soddisfi due proprietà apparentemente incompatibili. Il primo è che due coppie di numeri nell'insieme non si sommano allo stesso totale. Ad esempio, somma due numeri qualsiasi in {1, 3, 5, 11} e otterrai sempre un numero univoco. È facile costruire piccoli insiemi "Sidone" come questo, ma con l'aumentare del numero di elementi, aumenta anche la probabilità che le somme coincidano, distruggendo l'essere Sidone dell'insieme.

Il secondo requisito è che l'insieme deve essere molto grande. Deve essere infinito e dovresti essere in grado di generare qualsiasi numero sufficientemente grande sommando al massimo tre numeri nell'insieme. Questa proprietà, che rende l'insieme una “base asintotica di ordine 3”, richiede un insieme di numeri ampio e denso. "Stanno tirando in direzioni opposte", ha detto Pilatte. “Gli insiemi di Sidoni sono vincolati a essere piccoli e una base asintotica è vincolata a essere grande. Non era ovvio che potesse funzionare”.

La questione dell'esistenza di un tale set è rimasta per decenni, sin da allora è stato posto dal prolifico matematico ungherese Paul Erdős e due collaboratori nel 1993. Il fascino di Erdős per i set Sidon può essere ricondotto a una conversazione che ebbe nel 1932 con il loro inventore Simon Sidon, che all'epoca era interessato a comprendere il tasso di crescita di questi set. (Erdős in seguito avrebbe descritto Sidon come "più pazzo del matematico medio", che quasi certamente intendeva come un complimento.)

Gli insiemi di Sidon sorgono in una varietà di contesti matematici tra cui la teoria dei numeri, la combinatoria, l'analisi armonica e la crittografia, ma la semplice domanda su quanto possano diventare grandi è stata un mistero duraturo su cui Erdős ha riflettuto per gran parte della sua carriera. Erdős si è presto reso conto che i set Sidon sono estremamente difficili da scalare. Nel 1941 lui e un altro matematico dimostrato che il più grande insieme di Sidone possibile i cui membri sono tutti minori di un numero intero N deve essere minore della radice quadrata di N più un termine che cresce in proporzione alla quarta radice di N. (Nel 1969, Bernt Lindström dimostrerà che è più piccolo di $latex sqrt{N}+sqrt[4]{N}+1$, e nel 2021 un altro gruppo di matematici stretto il limite a $latex sqrt{N}+0.998 volte sqrt[4]{N}$.) Gli insiemi di Sidoni, in altre parole, devono essere sparsi.

È noto da tempo che un insieme di Sidone non può essere una base asintotica di ordine 2, dove qualsiasi numero intero può essere espresso come la somma di al massimo due numeri. (I numeri dispari, ad esempio, formano una base di ordine 2.) Come ha spiegato Pilatte, questo è così semplice da dimostrare che i matematici non si sono preoccupati di scriverlo: "Che l'ordine 2 è impossibile era probabilmente noto molto prima di quanto fosse scritto esplicitamente in letteratura". Ha spiegato che ciò è dovuto al fatto che "le sequenze di Sidone non possono superare una certa densità, mentre le basi asintotiche di ordine 2 sono sempre più dense di quella soglia, quindi le due proprietà non possono valere contemporaneamente".

Si credeva generalmente che una base asintotica di ordine 3 potesse essere costruita da un insieme di Sidone, ma dimostrarlo era un'altra questione. "La gente credeva che questo dovesse essere vero", ha detto il consigliere di Pilatte Giacomo Maynard. "Ma c'era una difficoltà con le tecniche che stavamo usando."

Qualche progresso era stato fatto prima che Pilatte raccogliesse la sfida. Nel 2010, il matematico ungherese Sándor Kiss ha mostrato che un insieme di Sidone può essere una base asintotica di ordine 5 - il che significa che qualsiasi numero intero sufficientemente grande può essere scritto come la somma di al massimo cinque elementi dell'insieme - e nel 2013 Kiss e due dei suoi colleghi dimostrato la congettura per una base asintotica di ordine 4. Due anni dopo, il matematico spagnolo Javier Cilleruelo ha preso questi risultati un ulteriore passo avanti dimostrando che è possibile costruire un insieme di Sidone che sia una base asintotica di ordine 3 + e, nel senso che qualsiasi numero intero sufficientemente grande N può essere scritto come la somma di quattro membri dell'insieme di Sidon, con uno di essi più piccolo di N^e per arbitrariamente piccolo positivo e.

Questi risultati sono stati ottenuti utilizzando variazioni di un metodo probabilistico sperimentato da Erdős che prevede la generazione di un insieme casuale di numeri interi e la sua leggera modifica per creare un insieme che soddisfi entrambe le proprietà.

Pilatte si rese conto che il metodo probabilistico era stato spinto il più lontano possibile. "Puoi ottenere una base di ordine 4 usando metodi probabilistici, ma non puoi ottenere una base di ordine 3", ha detto. "Semplicemente fallisce."

Quindi Pilatte ha preso una strada diversa, rivolgendosi invece a una procedura che utilizza i logaritmi dei numeri primi come elementi costitutivi degli insiemi di Sidone. Sviluppato dal teorico dei numeri ungherese Imre Ruzsa ed Cilleruelo, questo approccio produce insiemi di Sidone più grandi e più densi rispetto al metodo probabilistico, di cui Pilatte aveva bisogno per creare una base di ordine basso che obbedisse anche alla proprietà di Sidone. Ma il metodo richiedeva una struttura con numeri primi che mancava anche ai massimi esperti mondiali. "Avresti bisogno di una comprensione dei numeri primi che vada oltre tutto ciò che abbiamo", ha detto Pilatte. "Quindi non andava bene."

La ricerca di una soluzione ha portato Pilatte in una direzione inaspettata, lontano dalla teoria additiva dei numeri e nel mondo della geometria algebrica, una branca della matematica che studia la relazione tra forme geometriche, come curve e superfici, e le equazioni che le definiscono. Riprendendo un'idea di Cilleruelo, Pilatte iniziò sostituendo i numeri con i polinomi, che resero subito il problema più trattabile.

Un polinomio è un'espressione algebrica costituita da una somma di termini, ognuno dei quali è un prodotto di un coefficiente costante per una o più variabili elevate a potenze intere non negative. I termini possono essere combinati usando addizione, sottrazione e moltiplicazione. Ad esempio, 3x² + 22x + 35 è un polinomio con tre termini. Fattorizzare un polinomio significa scomporlo in un prodotto di altri polinomi più semplici. In questo esempio, 3x² + 22x + 35 = (x +5)(3x +7). Un polinomio irriducibile - uno che non può essere scomposto - è l'analogo di un numero primo.

Scambiare numeri interi con variabili e coefficienti potrebbe sembrare strano, ma hanno più cose in comune di quanto si possa pensare. "Si scopre che i polinomi si comportano in modo molto simile agli interi", ha detto il collega di Pilatte a Oxford Tommaso Bloom. "Posso sommarli, sottrarli, moltiplicarli, dividerli." E per certi aspetti i matematici capiscono i polinomi molto meglio dei numeri. "Tutte queste cose che, con i numeri primi, ci suonano come fantascienza, sono note nel mondo dei polinomi", ha detto Maynard.

Utilizzando un risultato recente dal matematico della Columbia University Will Sawin sulla distribuzione di polinomi irriducibili nelle progressioni aritmetiche, Pilatte è stato in grado di costruire un insieme che possedeva la giusta quantità di casualità e la giusta densità di numeri per soddisfare i vincoli di Erdős.

"Ero estremamente felice", ha detto Pilatte. "Mi unisco al gruppo di persone qui che hanno risolto un problema di Erdős, ed è divertente."

Ma ciò che lo delizia di più è il modo sorprendente con cui è arrivato alla soluzione. "È bello che queste tecniche molto profonde della geometria algebrica possano essere utilizzate anche per questa domanda semplice e concreta sugli insiemi di numeri", ha detto.

I problemi di Erdő hanno una straordinaria abilità nel portare alla luce connessioni tra rami della matematica apparentemente non correlati, e le scoperte che i matematici fanno mentre cercano di rispondere sono spesso più significative delle risposte stesse. "Sono ingannevoli nella loro profondità e la soluzione di Cédric ne è un ottimo esempio", ha detto Bloom. "Sono sicuro che Erdős sarebbe stato entusiasta."

Correzione: 5 Giugno 2023
Questo articolo originariamente dava un esempio di un'espansione Sidone che in realtà non è un'espansione Sidone. Quell'esempio è stato rimosso.