Introduzione
Per secoli i matematici hanno cercato di comprendere e modellare il moto dei fluidi. Le equazioni che descrivono come le increspature solcano la superficie di uno stagno hanno anche aiutato i ricercatori a prevedere il tempo, progettare aeroplani migliori e caratterizzare il modo in cui il sangue scorre attraverso il sistema circolatorio. Queste equazioni sono ingannevolmente semplici se scritte nel giusto linguaggio matematico. Tuttavia, le loro soluzioni sono così complesse che dare un senso anche a domande basilari su di esse può essere proibitivamente difficile.
Forse la più antica e importante di queste equazioni, formulata da Leonhard Euler più di 250 anni fa, descrive il flusso di un fluido ideale, incomprimibile: un fluido senza viscosità, o attrito interno, che non può essere forzato in un volume più piccolo. "Quasi tutte le equazioni fluide non lineari sono in qualche modo derivate dalle equazioni di Eulero", ha detto Tarek Elgindi, un matematico della Duke University. "Sono i primi, si potrebbe dire."
Eppure molto rimane sconosciuto sulle equazioni di Eulero, incluso se sono sempre un modello accurato del flusso del fluido ideale. Uno dei problemi centrali della fluidodinamica è capire se le equazioni falliscono mai, producendo valori senza senso che le rendono incapaci di prevedere gli stati futuri di un fluido.
I matematici hanno a lungo sospettato che esistano condizioni iniziali che causano la rottura delle equazioni. Ma non sono stati in grado di dimostrarlo.
In una prestampa pubblicato online il mese scorso, una coppia di matematici ha dimostrato che una particolare versione delle equazioni di Eulero a volte fallisce. La dimostrazione segna un importante passo avanti e, sebbene non risolva completamente il problema per la versione più generale delle equazioni, offre la speranza che una tale soluzione sia finalmente a portata di mano. "E 'un risultato sorprendente", ha detto Tristan Buckmaster, un matematico dell'Università del Maryland che non era coinvolto nel lavoro. "Non ci sono risultati del genere in letteratura".
C'è solo un problema.
La prova di 177 pagine - il risultato di un programma di ricerca decennale - fa un uso significativo dei computer. Ciò probabilmente rende difficile per altri matematici verificarlo. (In effetti, sono ancora in procinto di farlo, anche se molti esperti ritengono che il nuovo lavoro si rivelerà corretto.) Li costringe anche a fare i conti con domande filosofiche su cosa sia una "prova" e cosa farà intendo se l'unico modo praticabile per risolvere questioni così importanti in futuro è con l'aiuto dei computer.
Avvistamento della Bestia
In linea di principio, se conosci la posizione e la velocità di ogni particella in un fluido, le equazioni di Eulero dovrebbero essere in grado di prevedere come si evolverà il fluido per sempre. Ma i matematici vogliono sapere se è davvero così. Forse in alcune situazioni le equazioni procederanno come previsto, producendo valori precisi per lo stato del fluido in un dato momento, solo che uno di quei valori improvvisamente salirà alle stelle all'infinito. A quel punto, si dice che le equazioni di Eulero diano origine a una "singolarità" o, più drammaticamente, a "esplodere".
Una volta raggiunta quella singolarità, le equazioni non saranno più in grado di calcolare il flusso del fluido. Ma "fino a pochi anni fa, ciò che le persone erano in grado di fare era molto, molto lontano dal [provare l'esplosione]", ha detto Charlie Feffermann, un matematico della Princeton University.
Diventa ancora più complicato se stai cercando di modellare un fluido che ha viscosità (come fanno quasi tutti i fluidi del mondo reale). Un Millennium Prize da un milione di dollari del Clay Mathematics Institute attende chiunque sia in grado di dimostrare se simili fallimenti si verificano nelle equazioni di Navier-Stokes, una generalizzazione delle equazioni di Eulero che tiene conto della viscosità.
Nel 2013, Thomas Ho, un matematico del California Institute of Technology, e Guo Luo, ora all'Università Hang Seng di Hong Kong, ha proposto uno scenario in cui le equazioni di Eulero porterebbero a una singolarità. Hanno sviluppato una simulazione al computer di un fluido in un cilindro la cui metà superiore ruotava in senso orario mentre la metà inferiore ruotava in senso antiorario. Mentre eseguivano la simulazione, correnti più complicate iniziarono a muoversi su e giù. Ciò, a sua volta, ha portato a uno strano comportamento lungo il confine del cilindro dove si incontravano flussi opposti. La vorticità del fluido - una misura della rotazione - è cresciuta così velocemente che sembrava sul punto di esplodere.
Il lavoro di Hou e Luo era suggestivo, ma non una vera prova. Questo perché è impossibile per un computer calcolare valori infiniti. Può avvicinarsi molto a vedere una singolarità, ma non può effettivamente raggiungerla, il che significa che la soluzione potrebbe essere molto accurata, ma è ancora un'approssimazione. Senza il supporto di una dimostrazione matematica, il valore della vorticità potrebbe solo sembrare aumentare all'infinito a causa di qualche artefatto della simulazione. Le soluzioni potrebbero invece crescere fino a raggiungere numeri enormi prima di diminuire nuovamente.
Tali inversioni erano avvenute prima: una simulazione indicherebbe che un valore nelle equazioni è esploso, solo per metodi computazionali più sofisticati per dimostrare il contrario. "Questi problemi sono così delicati che la strada è disseminata di rottami di precedenti simulazioni", ha detto Fefferman. In effetti, è così che Hou ha iniziato in quest'area: molti dei suoi primi risultati hanno smentito la formazione di ipotetiche singolarità.
Tuttavia, quando lui e Luo pubblicarono la loro soluzione, la maggior parte dei matematici pensava che fosse molto probabilmente una vera singolarità. "È stato molto meticoloso, molto preciso", ha detto Vladimir Sverak, un matematico dell'Università del Minnesota. "Hanno davvero fatto di tutto per stabilire che questo è uno scenario reale." Lavori successivi di Elgindi, Sverak e altri ha solo rafforzato quella convinzione.
Ma una prova era sfuggente. «Hai avvistato la bestia», disse Fefferman. "Poi provi a catturarlo." Ciò significava dimostrare che la soluzione approssimata che Hou e Luo hanno simulato così accuratamente è, in un senso matematico specifico, molto, molto vicina a una soluzione esatta delle equazioni.
Ora, nove anni dopo quel primo avvistamento, Hou e il suo ex studente laureato Jiajie Chen sono finalmente riusciti a provare l'esistenza di quella vicina singolarità.
Il trasferimento in una terra autosimile
Hou, poi raggiunto da Chen, ha approfittato del fatto che, a un'analisi più attenta, la soluzione approssimata del 2013 sembrava avere una struttura speciale. Man mano che le equazioni si evolvevano nel tempo, la soluzione mostrava quello che viene chiamato uno schema autosimilare: la sua forma in seguito assomigliava molto alla sua forma precedente, solo ridimensionata in un modo specifico.
Di conseguenza, i matematici non avevano bisogno di cercare di osservare la singolarità stessa. Invece, potrebbero studiarlo indirettamente concentrandosi su un momento precedente. Ingrandendo quella parte della soluzione alla giusta velocità - determinata in base alla struttura autosimilare della soluzione - potrebbero modellare ciò che accadrebbe in seguito, anche alla singolarità stessa.
Ci sono voluti alcuni anni per trovare un analogo simile allo scenario dell'esplosione del 2013. (All'inizio di quest'anno, un altro team di matematici, che includeva Buckmaster, ha utilizzato metodi diversi per trovare una soluzione approssimata simile. Attualmente stanno usando quella soluzione per sviluppare una prova indipendente della formazione della singolarità.)
Con una soluzione approssimata autosimilare in mano, Hou e Chen dovevano dimostrare che esiste una soluzione esatta nelle vicinanze. Matematicamente, questo equivale a dimostrare che la loro soluzione autosimilare approssimativa è stabile - che anche se dovessi perturbarla leggermente e quindi far evolvere le equazioni a partire da quei valori perturbati, non ci sarebbe modo di sfuggire a un piccolo quartiere intorno al soluzione approssimata. "È come un buco nero", ha detto Hou. "Se inizi con un profilo vicino, verrai risucchiato."
Ma avere una strategia generale era solo un passo verso la soluzione. "I dettagli pignoli contano", ha detto Fefferman. Mentre Hou e Chen passavano gli anni successivi a elaborare quei dettagli, scoprirono di dover fare affidamento ancora una volta sui computer, ma questa volta in un modo completamente nuovo.
Un approccio ibrido
Tra le loro prime sfide c'era quella di capire l'affermazione esatta che dovevano dimostrare. Volevano dimostrare che se prendessero un insieme di valori vicino alla loro soluzione approssimativa e lo inserissero nelle equazioni, l'output non sarebbe in grado di allontanarsi molto. Ma cosa significa che un input è "vicino" alla soluzione approssimata? Hanno dovuto specificarlo in una dichiarazione matematica, ma ci sono molti modi per definire la nozione di distanza in questo contesto. Affinché la loro dimostrazione funzionasse, dovevano scegliere quella corretta.
"Deve misurare diversi effetti fisici", ha detto Raffaele de la Llave, un matematico del Georgia Institute of Technology. "Quindi deve essere scelto utilizzando una profonda comprensione del problema."
Una volta trovato il modo giusto per descrivere la "vicinanza", Hou e Chen hanno dovuto dimostrare l'affermazione, che si è ridotta a una complicata disuguaglianza che coinvolge termini sia delle equazioni ridimensionate sia della soluzione approssimata. I matematici dovevano assicurarsi che i valori di tutti quei termini si equilibrassero in qualcosa di molto piccolo: se un valore finiva per essere grande, gli altri valori dovevano essere negativi o tenuti sotto controllo.
"Se fai qualcosa di un po' troppo grande o un po' troppo piccolo, tutto si rompe", ha detto Javier Gomez-Serrano, un matematico della Brown University. "Quindi è un lavoro molto, molto attento e delicato."
"È una lotta davvero feroce", ha aggiunto Elgindi.
Per ottenere i limiti stretti di cui avevano bisogno in tutti questi diversi termini, Hou e Chen hanno spezzato la disuguaglianza in due parti principali. Potevano occuparsi della prima parte a mano, con tecniche tra cui una che risale al XVIII secolo, quando il matematico francese Gaspard Monge cercò un modo ottimale di trasporto del suolo per costruire fortificazioni per l'esercito di Napoleone. "Roba del genere è già stata fatta prima, ma ho trovato sorprendente che [Hou e Chen] l'abbiano usata per questo", ha detto Fefferman.
Ciò ha lasciato la seconda parte della disuguaglianza. Affrontarlo richiederebbe l'assistenza del computer. Per cominciare, c'erano così tanti calcoli da fare, e così tanta precisione richiesta, che "la quantità di lavoro che avresti dovuto fare con carta e matita sarebbe stata sbalorditiva", ha detto de la Llave. Per bilanciare i vari termini, i matematici hanno dovuto eseguire una serie di problemi di ottimizzazione che sono relativamente facili per i computer ma estremamente dispendiosi in termini di tempo per gli esseri umani. Alcuni dei valori dipendevano anche da quantità dalla soluzione approssimata; poiché è stato calcolato utilizzando un computer, è stato più semplice utilizzare anche un computer per eseguire questi calcoli aggiuntivi.
"Se provi a fare manualmente alcune di queste stime, probabilmente a un certo punto sovrastimerai e poi perderai", ha detto Gómez-Serrano. "I numeri sono così piccoli e stretti... e il margine è incredibilmente sottile."
Ma poiché i computer non possono manipolare un numero infinito di cifre, inevitabilmente si verificano piccoli errori. Hou e Chen hanno dovuto monitorare attentamente quegli errori, per assicurarsi che non interferissero con il resto dell'equilibrio.
Alla fine, sono stati in grado di trovare limiti per tutti i termini, completando la dimostrazione: le equazioni avevano effettivamente prodotto una singolarità.
Prova per computer
Rimane aperto se equazioni più complicate - le equazioni di Eulero senza la presenza di un bordo cilindrico e le equazioni di Navier-Stokes - possano sviluppare una singolarità. "Ma [questo lavoro] almeno mi dà speranza", ha detto Hou. "Vedo un percorso in avanti, un modo per forse anche alla fine risolvere l'intero problema del Millennio".
Nel frattempo, Buckmaster e Gómez-Serrano stanno lavorando a una loro dimostrazione assistita da computer, che sperano sia più generale e quindi in grado di affrontare non solo il problema risolto da Hou e Chen, ma anche decine di altri.
Questi sforzi segnano una tendenza crescente nel campo della dinamica dei fluidi: l'uso dei computer per risolvere problemi importanti.
"In un certo numero di diverse aree della matematica, si verifica sempre più frequentemente", ha detto Susan Friedländer, un matematico della University of Southern California.
Ma nella meccanica dei fluidi, le dimostrazioni assistite dal computer sono ancora una tecnica relativamente nuova. Infatti, quando si tratta di affermazioni sulla formazione delle singolarità, la dimostrazione di Hou e Chen è la prima del suo genere: le precedenti dimostrazioni assistite da computer erano in grado di affrontare solo problemi di giocattoli nell'area.
Tali prove non sono tanto controverse quanto "una questione di gusti", ha detto Pietro Costantino dell'Università di Princeton. I matematici generalmente concordano sul fatto che una dimostrazione deve convincere altri matematici che qualche linea di ragionamento è corretta. Ma, molti sostengono, dovrebbe anche migliorare la loro comprensione del motivo per cui una particolare affermazione è vera, piuttosto che fornire semplicemente la convalida che è corretta. "Impariamo qualcosa di fondamentalmente nuovo o conosciamo solo la risposta alla domanda?" disse Elgindi. "Se vedi la matematica come un'arte, allora non è così esteticamente piacevole."
“Un computer può aiutare. È meraviglioso. Mi dà un'idea. Ma non mi dà una piena comprensione", ha aggiunto Constantin. "La comprensione viene da noi".
Da parte sua, Elgindi spera ancora di elaborare una prova alternativa dell'ingrandimento interamente a mano. "Sono complessivamente felice che esista", ha detto del lavoro di Hou e Chen. "Ma lo considero più una motivazione per provare a farlo in un modo meno dipendente dal computer."
Altri matematici vedono i computer come un nuovo strumento vitale che renderà possibile affrontare problemi precedentemente intrattabili. "Ora il lavoro non è più solo carta e matita", ha detto Chen. "Hai la possibilità di usare qualcosa di più potente."
Secondo lui e altri (incluso Elgindi, nonostante la sua personale preferenza per la scrittura di dimostrazioni a mano), c'è una buona possibilità che l'unico modo per risolvere grandi problemi di dinamica dei fluidi, cioè problemi che coinvolgono equazioni sempre più complicate, potrebbe essere fare affidamento pesantemente sull'assistenza del computer. "Mi sembra che provare a farlo senza fare un uso massiccio di prove assistite da computer sia come legarsi una o forse due mani dietro la schiena", ha detto Fefferman.
Se le cose stanno così e "non hai altra scelta", ha detto Elgindi, "allora le persone ... come me, che direbbero che questo non è ottimale, dovrebbero stare zitte". Ciò significherebbe anche che più matematici dovrebbero iniziare ad apprendere le competenze necessarie per scrivere dimostrazioni assistite dal computer, qualcosa che si spera possa ispirare il lavoro di Hou e Chen. "Penso che ci fossero molte persone che stavano semplicemente aspettando che qualcuno risolvesse un problema del genere prima di investire parte del proprio tempo in questo approccio", ha detto Buckmaster.
Detto questo, quando si tratta di discutere fino a che punto i matematici dovrebbero fare affidamento sui computer, "non è necessario prendere posizione", ha affermato Gómez-Serrano. “La dimostrazione [di Hou e Chen] non funzionerebbe senza l'analisi, e la dimostrazione non funzionerebbe senza l'assistenza del computer. … Penso che il valore sia che le persone possano parlare le due lingue.
Con ciò, de la Llave ha detto, "c'è un nuovo gioco in città".
