Come la matematica semplice muove l'ago | Rivista Quanti

Immagina di viaggiare per strada in un'auto senza conducente quando vedi un problema davanti a te. Un fattorino di Amazon ha portato il suo furgone a metà strada davanti a un camion UPS parcheggiato in doppia fila prima di rendersi conto che non sarebbero riusciti a farcela. Ora sono bloccati. E così sei tu.

La strada è troppo stretta per eseguire una U-ey, quindi la tua automobile potenziata dall'intelligenza artificiale inizia una svolta a tre punti. Per prima cosa, l'auto prende un percorso curvo verso un marciapiede. Una volta lì, sterza nella direzione opposta e torna indietro fino al marciapiede opposto. Quindi gira il volante indietro nella direzione della prima traiettoria curva, avanzando e allontanandosi dall'ostacolo.

Questo semplice algoritmo geometrico per effettuare svolte intermedie può aiutarti a muoverti in situazioni strette. (Se hai mai parcheggiato in parallelo, sai cosa può fare per te questo movimento avanti e indietro.)

C'è un divertente problema di matematica su quanto spazio è necessario per girare la macchina, e i matematici hanno lavorato su una versione idealizzata di esso per oltre 100 anni. Tutto ebbe inizio nel 1917, quando il matematico giapponese Sōichi Kakeya pose un problema che somiglia un po’ al nostro ingorgo stradale. Supponiamo di avere un ago infinitamente sottile di lunghezza 1. Qual è l'area della regione più piccola in cui puoi ruotare l'ago di 180 gradi e riportarlo nella sua posizione originale? Questo è noto come il problema dell'ago di Kakeya, e i matematici ne stanno ancora studiando le varianti. Diamo un'occhiata alla semplice geometria che rende il problema dell'ago di Kakeya così interessante e sorprendente.

Come molti problemi di matematica, questo implica alcune ipotesi semplificatrici che lo rendono meno realistico ma più gestibile. Ad esempio, la lunghezza e la larghezza di un'auto sono importanti quando guidi, ma supponiamo che il nostro ago abbia lunghezza 1 e larghezza zero. (Ciò significa che l'ago stesso ha un'area pari a zero, che gioca un ruolo importante nel permetterci di risolvere il problema.) Inoltre, assumeremo che l'ago, a differenza di un'auto, possa ruotare attorno alla sua parte anteriore, a quella posteriore. o qualsiasi punto intermedio.

L'obiettivo è trovare la regione più piccola che consenta all'ago di ruotare di 180 gradi. Trovare la cosa più piccola che soddisfi un certo insieme di condizioni può essere difficile, ma un buon modo per iniziare è cercare tutto ciò che soddisfi quelle condizioni e vedere cosa puoi imparare lungo il percorso. Ad esempio, una risposta semplice è semplicemente ruotare l'ago di 180 gradi attorno al suo punto finale, quindi farlo scorrere nuovamente verso l'alto. Ciò riporta l'ago nella sua posizione originale, ma ora punta nella direzione opposta, come richiede il problema dell'ago di Kakeya.

La regione richiesta per la svolta è un semicerchio di raggio 1, che ha un'area di $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. Quindi abbiamo trovato una regione che funziona.

Possiamo fare meglio sfruttando la capacità del nostro magico ago matematico di ruotare attorno a qualsiasi punto. Invece di ruotarlo attorno al suo punto finale, ruotiamolo attorno al suo punto medio.

Potresti chiamarla la bussola di Kakeya: il nostro ago inizia a puntare a nord, ma dopo la rotazione è nello stesso punto ma punta a sud. Questa regione è un cerchio di raggio $latex frac{1}{2}$, quindi la sua area è $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. Questa è la metà dell'area della nostra prima regione, quindi stiamo facendo progressi.

Dove andremo dopo? Potremmo trarre ispirazione dal nostro dilemma dell’auto senza conducente e considerare l’utilizzo di qualcosa come una rotazione di tre punti per l’ago. In realtà funziona piuttosto bene.

La regione spazzata via dall'ago utilizzando questa tecnica è chiamata deltoide e anch'essa soddisfa i requisiti di Kakeya. Calcolare la sua area richiede qualcosa di più della geometria elementare di cui stiamo discutendo qui (la conoscenza delle curve parametriche aiuta), ma risulta che l'area di questo particolare deltoide - quello spazzato via da un segmento di linea di lunghezza 1 - è esattamente $latex frac{pi}{8}$. Ora abbiamo una regione ancora più piccola in cui possiamo girare l'ago di Kakeya, e potresti essere perdonato se pensi che questo sia il meglio che possiamo fare. Lo stesso Kakeya pensava che potesse esserlo.

Ma il problema dell’ago ha avuto una svolta decisiva quando il matematico russo Abram Besicovitch ha scoperto che si può fare infinitamente meglio. Ha escogitato una procedura per ridurre le parti inutili della regione fino a renderla piccola come voleva.

Il processo è tecnico e complicato, ma una strategia basata sull'idea di Besicovitch si basa su due semplici idee. Innanzitutto, considera il triangolo rettangolo sottostante, con altezza 1 e base 2.

Per il momento dimenticheremo di girare completamente l'ago e ci concentreremo solo su un semplice fatto: se posizioniamo un ago di lunghezza 1 nel vertice superiore, il triangolo è abbastanza grande da consentire all'ago di ruotare completamente di 90 gradi da un lato all'altro.

Poiché l'area del triangolo è $latex A=frac{1}{2}bh$, questo triangolo ha area $latex A=frac{1}{2} volte 2 volte 1 = 1$.

Ora ecco la prima idea importante: possiamo ridurre l'area della regione preservando la rotazione di 90 gradi. La strategia è semplice: tagliamo il triangolo a metà e poi uniamo le due metà.

L'area di questa nuova figura deve essere inferiore a quella originale perché le parti del triangolo ora si sovrappongono. In effetti, è facile calcolare l'area della figura: è solo tre quarti del quadrato del lato 1, quindi l'area è $latex A = frac{3}{4}$, che è inferiore all'area della figura triangolo con cui abbiamo iniziato.

E possiamo ancora puntare l’ago nelle stesse direzioni di prima. C'è solo un problema: l'angolo originale è stato diviso in due parti, quindi quelle direzioni sono ora divise in due regioni separate.

Se l'ago si trova sul lato sinistro della nuova regione, possiamo ruotarlo di 45 gradi tra sud e sud-est, e se è a destra possiamo ruotarlo di 45 gradi tra sud e sud-ovest, ma poiché le due parti sono separate , non sembra che possiamo ruotarlo di 90 gradi come potevamo prima.

È qui che entra in gioco la seconda idea importante. Esiste un modo subdolo per far passare l'ago da un lato all'altro che non richiede molta area. Negli scacchi forse sai che il cavallo si muove a forma di L. Bene, il nostro ago si muoverà a forma di N.

Ecco come è fatto. Innanzitutto, l'ago scivola su un lato della N. Quindi ruota per puntare lungo la diagonale e scivola verso il basso. Poi ruota nuovamente e termina il suo viaggio scivolando sull'altro lato della N.

All'inizio questa mossa a forma di N potrebbe non sembrare un granché, ma fa qualcosa di molto utile. Permette all'ago di "saltare" da una linea parallela all'altra, il che ci aiuterà a portare l'ago da una regione all'altra. Ancora più importante, lo fa senza richiedere molta area. In effetti, puoi fare in modo che richieda la piccola area che desideri. Ecco perché.

Ricordiamo che il nostro ago ha larghezza zero. Quindi qualsiasi linea lungo la quale si muove l'ago, avanti o indietro, avrà area zero. Ciò significa che la regione richiesta per spostare l'ago verso l'alto, verso il basso o in diagonale lungo la forma a N sarà composta da pezzi con area zero.

Rimangono solo le rotazioni agli angoli della forma a N.

Queste mosse richiedono area. Puoi vedere un piccolo settore di cerchio ad ogni angolo. Ma ecco la parte subdola: puoi rendere queste regioni più piccole allungando la N.

La formula per calcolare l'area di un settore circolare è $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$, dove $latex theta$ è la misura dell'angolo del settore in gradi. Non importa quanto sia alta la N, il raggio del settore sarà sempre 1: questa è la lunghezza dell'ago. Ma man mano che la N diventa più alta, l'angolo si restringe, riducendo così l'area del settore. Pertanto, puoi rendere l'area aggiuntiva piccola quanto desideri allungando la N quanto necessario.

Ricorda che siamo riusciti a ridurre l'area della nostra regione triangolare dividendola in due e sovrapponendo i pezzi. Il problema era che questo divideva l'angolo di 90 gradi in due parti separate, impedendoci di ruotare l'ago di 90 gradi completi. Ora possiamo risolvere il problema aggiungendo una forma a N appropriata per garantire che l'ago abbia un percorso da un lato all'altro.

In questa regione aggiornata, l'ago può ancora ruotare completamente di 90 gradi come prima, solo che ora avviene in due fasi. Innanzitutto, l'ago ruota di 45 gradi e si allinea con il bordo verticale a sinistra. Successivamente, si sposta lungo la forma a N per raggiungere l'altro lato. Una volta lì, è libero di girare gli altri 45 gradi.

Questo sposta l'ago di 90 gradi e per mantenerlo in rotazione basta aggiungere copie ruotate della regione.

Con l'aggiunta delle opportune forme N, l'ago può saltare da una penisola triangolare all'altra, girandosi poco a poco fino a compiere un giro completo, proprio come un'auto che esegue una virata di tre punti.

C'è molta matematica più diabolica nei dettagli, ma queste due idee - ovvero che possiamo ridurre continuamente l'area della regione originale suddividendola e spostandola assicurandoci di poter passare da un pezzo all'altro utilizzando le forme N arbitrariamente piccole - ci aiutano sposta l'ago in una regione sempre più piccola che alla fine può essere piccola quanto desideri.

Un approccio più standard per costruire questo tipo di regione inizia con triangoli equilateri e utilizza gli “alberi Perron”, che sono modi intelligenti per tagliare i triangoli, allungare e rimettere insieme i pezzi. Il risultato è davvero sorprendente.

Recentemente, i matematici lo hanno fatto fatto progressi su nuove varianti di questo vecchio problema, ambientate in dimensioni superiori e con diverse nozioni di dimensione. Probabilmente non vedremo mai un'auto alimentata dall'intelligenza artificiale tracciare una svolta a punta di Kakeya, ma possiamo comunque apprezzare la bellezza e la semplicità del suo quasi nulla.

esercizi

1. Qual è l'area del triangolo equilatero più piccolo che funziona come un set di aghi Kakeya?

2. Puoi fare un po' meglio del triangolo equilatero dell'esercizio 1 utilizzando un “triangolo di Reuleaux”, una regione formata da tre settori circolari sovrapposti. Qual è l'area del più piccolo triangolo di Reuleaux che funziona?