Più di un secolo dopo che Albert Einstein ha svelato la relatività generale, la sua epica teoria della gravità ha superato ogni test sperimentale a cui è stata sottoposta. La relatività generale ha trasformato la nostra comprensione della gravità, descrivendola non come una forza di attrazione tra oggetti massicci, come si pensava da tempo, ma piuttosto come una conseguenza del modo in cui lo spazio e il tempo si curvano in presenza di massa ed energia. La teoria ha ottenuto trionfi sorprendenti: dalla conferma nel 1919 che la luce si piega nel campo gravitazionale del sole alle osservazioni del 2019 che hanno rivelato la sagoma di un buco nero. Potrebbe quindi sorprendere sapere che la relatività generale è ancora un lavoro in corso.
Anche se le equazioni introdotte da Einstein nel 1915 riguardano la curvatura indotta da oggetti massicci, la teoria non offre un modo semplice o standard per determinare quale sia la massa di un oggetto. Il momento angolare – una misura del movimento rotatorio di un oggetto nello spazio-tempo – è un concetto ancora più difficile da definire.
Alcune delle difficoltà derivano da un circolo vizioso insito nella relatività generale. La materia e l’energia curvano il continuum spazio-temporale, ma questa curvatura diventa una fonte di energia stessa, che può causare un’ulteriore curvatura, un fenomeno a volte definito “gravità di gravità”. E non c'è modo di separare la massa intrinseca di un oggetto dall'energia extra che deriva da questo effetto non lineare. Inoltre, non è possibile definire la quantità di moto o il momento angolare senza prima avere una salda conoscenza della massa.
Einstein riconobbe le sfide legate alla quantificazione della massa e non spiegò mai completamente cosa fosse la massa o come potesse essere misurata. Fu solo tra la fine degli anni Cinquanta e l’inizio degli anni Sessanta che fu proposta la prima definizione rigorosa. I fisici Richard Arnowitt, Stanley Deser e Charles Misner definito la massa di un oggetto isolato, come un buco nero, visto da una distanza quasi infinita, dove lo spazio-tempo è quasi piatto e l'influenza gravitazionale dell'oggetto si avvicina allo zero.
Sebbene questo modo di calcolare la massa (noto dai suoi autori come “massa ADM”) si sia rivelato utile, non consente ai fisici di quantificare la massa all'interno di una regione finita. Supponiamo, ad esempio, che stiano studiando due buchi neri che sono in fase di fusione e vogliano determinare la massa di ogni singolo buco nero prima della fusione, in contrapposizione a quella del sistema nel suo insieme. La massa racchiusa all’interno di ogni singola regione – misurata dalla superficie di quella regione, dove la gravità e la curvatura dello spazio-tempo potrebbero essere molto forti – è chiamata “massa quasilocale”.
Nel 2008, i matematici Mu Tao Wang della Columbia University e Shing-Tung Yau, ora professore alla Tsinghua University in Cina e professore emerito all'Università di Harvard, ha avanzato una definizione di massa quasilocale che si è rivelato particolarmente fruttuoso. Nel 2015 ha permesso a loro e ad un collaboratore di farlo definire momento angolare quasilocale. E questa primavera, quegli autori e un quarto collaboratore pubblicato la prima definizione, a lungo cercata, di momento angolare che è “invariante di supertraslazione”, il che significa che non dipende da dove si trova un osservatore o dal sistema di coordinate che sceglie. Con una tale definizione, gli osservatori possono, in linea di principio, misurare le increspature nello spazio-tempo generate da un oggetto rotante e calcolare l'esatta quantità di momento angolare portato via dall'oggetto da queste increspature, note come onde gravitazionali.
“È un ottimo risultato” Lidia Bieri, matematico ed esperto di relatività generale presso l’Università del Michigan, ha detto a proposito dell’articolo del marzo 2022, “e il culmine di intricate indagini matematiche durate diversi anni”. In effetti, lo sviluppo di questi aspetti della relatività generale ha richiesto non solo anni ma molti decenni.
Restare quasilocali
Negli anni '1960, Stephen Hawking fornì una definizione di massa quasilocale che, in alcune circostanze, è ancora oggi favorita per la sua semplicità. Cercando di calcolare la massa racchiusa dall'orizzonte degli eventi di un buco nero - il suo confine sferico invisibile - Hawking ha dimostrato che è possibile calcolare la massa all'interno di qualsiasi sfera determinando la misura in cui i raggi luminosi in entrata e in uscita vengono piegati dalla materia e dall'energia contenuta all'interno. Sebbene la “massa di Hawking” abbia il pregio di essere relativamente facile da calcolare, la definizione funziona solo in uno spazio-tempo che è sfericamente simmetrico (una condizione idealizzata, poiché nulla nel mondo reale è perfettamente rotondo) o in uno spazio “statico” (e piuttosto noioso) spazio-tempo dove nulla cambia nel tempo.
La ricerca di una definizione più versatile è continuata. In una conferenza tenuta all’Università di Princeton nel 1979, il fisico matematico britannico Roger Penrose, un altro pioniere della fisica dei buchi neri, identificò il compito di caratterizzare la massa quasilocale – “dove non è necessario andare ‘fino all’infinito’ affinché concetto da definire in modo significativo” – come il problema irrisolto numero uno nella relatività generale. Una definizione di momento angolare quasilocale è al secondo posto nell'elenco di Penrose.
All'inizio di quell'anno, Yau e il suo ex studente Richard Schön, che ora è professore emerito alla Stanford University, dimostrato un prerequisito importante per stabilire queste definizioni quasilocali. Vale a dire, hanno dimostrato che la massa ADM di un sistema fisico isolato – la sua massa misurata da una distanza infinitamente lontana – non può mai essere negativa. Il “teorema della massa positiva” di Schoen-Yau costituì un primo passo essenziale per definire la massa quasilocale e altre quantità fisiche, perché lo spazio-tempo e tutto ciò che contiene sarà instabile se la sua energia non ha un limite ma può invece diventare negativa e continuare a diminuire senza limiti. . (Nel 1982, Yau vinse una medaglia Fields, la più alta onorificenza in matematica, in parte per il suo lavoro sul teorema della massa positiva.)
Nel 1989, il matematico australiano Robert Bartnik offerto una nuova definizione di massa quasilocale che si basava su quel teorema. L'idea di Bartnik era di prendere una regione di dimensione finita racchiusa da una superficie e poi, avvolgendola con molti strati di superfici di area sempre più grande, estendere la regione finita a una di dimensione infinita in modo che la sua massa ADM possa essere calcolata. Ma la regione può essere estesa in molti modi, proprio come la superficie di un pallone può essere gonfiata uniformemente o allungata in varie direzioni, ciascuna delle quali produce una massa ADM diversa. Il valore più basso di massa ADM ottenibile è, secondo Bartnik, la massa quasilocale. "L'argomentazione non sarebbe stata possibile prima del teorema della massa positiva", ha spiegato Wang, "perché altrimenti la massa sarebbe potuta andare all'infinito negativo" e non sarebbe mai stato possibile accertare una massa minima.
La massa di Bartnik è un concetto importante in matematica, ha affermato il matematico dell'Università del Connecticut Lan-Hsuan Huang, ma il suo principale svantaggio è pratico: trovare il minimo è estremamente difficile. “È quasi impossibile calcolare un numero reale per la massa quasilocale”.
I fisici David Brown e James York è venuto fuori una strategia completamente diversa negli anni ’1990. Hanno avvolto un sistema fisico in una superficie bidimensionale e poi hanno cercato di determinare la massa all’interno di quella superficie in base alla sua curvatura. Un problema con il metodo Brown-York, tuttavia, è che può dare la risposta sbagliata in uno spazio-tempo completamente piatto: la massa quasilocale potrebbe risultare positiva anche quando dovrebbe essere zero.
Tuttavia, l’approccio è stato utilizzato nel documento del 2008 da Wang e Yau. Basandosi sul lavoro di Brown e York, nonché sulla ricerca che Yau aveva condotto con il matematico della Columbia Melissa Liu, Wang e Yau hanno trovato un modo per aggirare il problema della massa positiva in uno spazio totalmente piatto. Hanno misurato la curvatura della superficie in due diversi ambienti: l’ambiente “naturale”, uno spazio-tempo rappresentativo del nostro universo (dove la curvatura può essere piuttosto complessa), e uno spazio-tempo “di riferimento” chiamato spazio di Minkowski che è perfettamente piatto. perché è privo di materia. Qualsiasi differenza nella curvatura tra queste due impostazioni, hanno ipotizzato, deve essere dovuta alla massa confinata all’interno della superficie – la massa quasilocale, in altre parole.
La loro definizione soddisfaceva “tutti i requisiti necessari per una definizione valida di massa quasilocale”, come affermavano nell’articolo. Detto questo, il loro approccio soffre di una caratteristica che ne limita l’applicabilità: “Anche se la nostra definizione è molto precisa”, ha detto Wang, “implica sempre la risoluzione di diverse equazioni non lineari molto difficili”. L’approccio è buono in teoria ma spesso estenuante nella pratica.
Angoli ambigui
Nel 2015, Wang e Yau, di concerto con Po-Ning Chen dell'Università della California, Riverside, si proponevano di definire il momento angolare quasilocale. Nella meccanica classica, il momento angolare di un oggetto che si muove su una circonferenza è semplicemente dato dalla sua massa moltiplicata per la sua velocità moltiplicata per il raggio del cerchio. È una quantità utile da misurare perché si conserva, cioè passa tra le cose ma non si crea né si distrugge. I fisici possono monitorare il modo in cui il momento angolare viene scambiato tra gli oggetti e l'ambiente per ottenere informazioni dettagliate sulla dinamica di un sistema.
Per definire il momento angolare quasilocale racchiuso in una superficie, Wang, Yau e Chen avevano bisogno di due cose: una definizione di massa quasilocale, che avevano, insieme a una conoscenza dettagliata di come funziona la rotazione nello spazio-tempo. Come prima, hanno prima incorporato la loro superficie nell’ambiente più semplice possibile, lo spazio-tempo di Minkowski, scelto perché è infallibilmente piatto e quindi ha la proprietà della simmetria rotazionale, dove ogni direzione appare uguale. La simmetria rotazionale ha permesso ai ricercatori di definire il momento angolare quasilocale in un modo che non dipende da dove si posiziona l'origine del sistema di coordinate utilizzato per misurare velocità e distanze (l'origine è il punto in cui x, y, ze t gli assi si intersecano). Successivamente, hanno stabilito una corrispondenza uno a uno tra i punti sulla superficie nello spazio-tempo di Minkowski e i punti sulla stessa superficie quando posizionati nel suo spazio-tempo originale (naturale), garantendo così l’indipendenza delle coordinate anche in quest’ultimo contesto.
Il trio ha poi unito le forze con Ye-Kai Wang della National Cheng Kung University per affrontare un problema rimasto irrisolto per circa 60 anni: come caratterizzare il momento angolare spazzato via dalle onde gravitazionali, come quelle emesse quando due buchi neri si muovono a spirale e si uniscono violentemente. La loro definizione di momento angolare quasilocale non funzionerebbe per questo compito, perché la misurazione deve essere effettuata lontano dal vortice piuttosto che in prossimità del luogo di fusione del buco nero. Il punto di osservazione corretto è chiamato “infinito nullo”, una nozione inventata da Penrose che si riferisce alla destinazione ultima della radiazione che viaggia verso l’esterno, sia gravitazionale che elettromagnetica.
Come spesso accade nella relatività generale, sorge una nuova complicazione: il momento angolare trasportato dalle onde gravitazionali, anche se misurato all'infinito nullo (o abbastanza lontano da essere un ragionevole facsimile), può sembrare variare a seconda della scelta dell'origine e dell'orientamento. del sistema di coordinate di un osservatore. La difficoltà deriva dal “effetto memoria delle onde gravitazionali” – il fatto che quando le onde gravitazionali viaggiano attraverso lo spazio-tempo, lasciano un’impronta permanente. Le onde espanderanno lo spazio-tempo in una direzione e lo contrarranno nella direzione ortogonale (questo è il segnale rilevato dagli osservatori di onde gravitazionali come LIGO e Virgo), ma lo spazio-tempo non ritorna mai esattamente al suo stato iniziale. "Il passaggio delle onde gravitazionali modifica la distanza tra gli oggetti", ha spiegato Eanna Flanagan, un relativista generale della Cornell University. "Le onde possono anche spostare un po' gli osservatori... ma non sapranno di essere stati spostati."
Ciò significa che anche se diversi osservatori inizialmente concordano su dove si trova l'origine del loro sistema di coordinate, non saranno più d'accordo dopo che le onde gravitazionali avranno mosso le cose. Tale incertezza a sua volta porta ad ambiguità, denominate “supertraduzioni”, nelle rispettive valutazioni del momento angolare. Un altro modo per comprendere le supertraslazioni è che mentre né la massa di un oggetto né la sua velocità saranno distorte dal passaggio di un’onda gravitazionale, il raggio del suo movimento rotatorio lo sarà. A seconda dell'orientamento del raggio rispetto al proprio sistema di coordinate, potrebbe sembrare allungato dalla radiazione gravitazionale, o ristretto, portando a diverse possibili determinazioni del momento angolare.
Le quantità fisiche conservate non dovrebbero variare, o sembra che varino, in base al modo in cui scegliamo di etichettare le cose. Questa era la situazione che Chen, Wang, Wang e Yau speravano di correggere. Partendo dalla loro definizione di momento angolare quasilocale del 2015, hanno calcolato il momento angolare contenuto in una regione di raggio finito. Quindi hanno preso il limite di quella quantità quando il raggio tende all'infinito, trasformando la definizione quasilocale indipendente dalle coordinate in una quantità invariante di supertraduzione all'infinito nullo. Con questa prima definizione invariante di supertraslazione del momento angolare, pubblicata a marzo nel Progressi nella fisica teorica e matematica, in linea di principio si potrebbe determinare il momento angolare portato via dalle onde gravitazionali emesse durante la collisione di un buco nero.
"Questo è un documento meraviglioso e un risultato meraviglioso", ha detto Marco Khuri, matematico della Stony Brook University di New York, “ma la domanda è: quanto è utile?” Ha spiegato che la nuova definizione è astratta e difficile da calcolare, “e, in generale, ai fisici non piacciono le cose difficili da calcolare”.
Una scelta unica
La difficoltà di calcolo, tuttavia, è una caratteristica quasi inevitabile della relatività generale. Di solito non è nemmeno possibile risolvere esattamente le equazioni non lineari formulate da Einstein nel 1915, tranne che in situazioni altamente simmetriche. I ricercatori si affidano invece ai supercomputer per ottenere soluzioni approssimate. Rendono il problema gestibile suddividendo lo spazio-tempo in piccole griglie e stimando la curvatura di ciascuna griglia separatamente e in momenti temporali separati. Le loro approssimazioni possono migliorare aggiungendo più griglie, in modo simile all'aggiunta di più pixel a un televisore ad alta definizione.
Queste approssimazioni consentono ai ricercatori di calcolare le masse e i momenti angolari della fusione di buchi neri o stelle di neutroni sulla base dei segnali delle onde gravitazionali rilevati dagli osservatori LIGO e Virgo. Secondo Vijay Varma, fisico presso l'Istituto Max Planck di fisica gravitazionale di Potsdam, in Germania, e membro della collaborazione LIGO, le attuali osservazioni delle onde gravitazionali non sono sufficientemente accurate da rendere evidenti le sottili differenze causate dalle supertralazioni. “Ma quando la precisione delle nostre osservazioni diventerà 10 volte migliore, queste considerazioni diventeranno più importanti”, ha affermato Varma. Ha sottolineato che miglioramenti di questo tipo potrebbero essere realizzati già a partire dal 2030.
Flanagan ha una prospettiva diversa, sostenendo che le supertraduzioni “non sono un problema che deve essere risolto”, ma piuttosto sono proprietà inevitabili del momento angolare nella relatività generale con cui dobbiamo convivere.
Il fisico Roberto Valdo, uno specialista di relatività generale presso l'Università di Chicago, condivide in una certa misura il punto di vista di Flanagan, affermando che le supertraduzioni sono più un "inconveniente" che un problema reale. Tuttavia, ha esaminato attentamente lo studio di Chen, Wang, Wang e Yau e ha concluso che la prova regge bene. "Si tratta davvero di risolvere l'ambiguità della supertraduzione", ha detto Wald, aggiungendo: "Nella relatività generale, quando hai tutte queste definizioni alternative tra cui scegliere", è bello avere una "scelta unica" da scegliere.
Yau, che ha lavorato alla definizione di queste quantità fin dagli anni ’1970, ha una visione a lungo termine. “Può volerci molto tempo prima che le idee della matematica permeino la fisica”, ha detto. Ha osservato che anche se la nuova definizione di momento angolare per ora resta inutilizzata, gli scienziati di LIGO e Virgo “calcolano sempre qualcosa in modo approssimativo. Ma alla fine, è bene sapere qual è la cosa che stai cercando di approssimare.
Nota dell'editore: Po-Ning Chen riceve finanziamenti dalla Simons Foundation, che sostiene anche questa rivista editorialmente indipendente.
