Nel III secolo aC Archimede posto un indovinello sulla pastorizia che, sosteneva, solo una persona veramente saggia poteva risolvere. Il suo problema alla fine si è ridotto a un'equazione che coinvolge la differenza tra due termini al quadrato, che possono essere scritti come x2 - dy2 = 1. Qui, d è un numero intero — un numero di conteggio positivo o negativo — e Archimede stava cercando soluzioni in cui entrambi x ed y sono anche numeri interi.
Questa classe di equazioni, chiamate equazioni di Pell, ha affascinato i matematici nel corso dei millenni da allora.
Alcuni secoli dopo Archimede, il matematico indiano Brahmagupta, e successivamente il matematico Bhāskara II, fornirono algoritmi per trovare soluzioni intere a queste equazioni. A metà del 1600 il matematico francese Pierre de Fermat (che non conosceva quell'opera) lo riscoprì in alcuni casi, anche quando d è stato assegnato un valore relativamente piccolo, per le soluzioni intere più piccole possibili x ed y potrebbe essere enorme. Quando ha inviato una serie di problemi di sfida a matematici rivali, hanno incluso l'equazione x2 - 61y2 = 1, le cui soluzioni più piccole hanno nove o 10 cifre. (Per quanto riguarda Archimede, il suo indovinello richiedeva essenzialmente soluzioni intere per l'equazione x2 - 4,729,494y2 = 1. "Per stampare la soluzione più piccola, sono necessarie 50 pagine", ha affermato Pietro Koymans, matematico presso l'Università del Michigan. "In un certo senso, è un gigantesco troll di Archimede.")
Ma le soluzioni alle equazioni di Pell possono fare molto di più. Ad esempio, supponiamo di voler approssimare $latex sqrt{2}$, un numero irrazionale, come rapporto di numeri interi. Si scopre che risolvendo l'equazione di Pell x2 - 2y2 = 1 può aiutarti a farlo: $latex sqrt{2}$ (o, più in generale, $latex sqrt{d}$) può essere approssimato bene riscrivendo la soluzione come una frazione del modulo x/y.
Forse ancora più intrigante, quelle soluzioni ti dicono anche qualcosa su particolari sistemi numerici, che i matematici chiamano squilli. In un tale sistema numerico, i matematici potrebbero aggiungere $latex sqrt{2}$ agli interi. Gli anelli hanno determinate proprietà e i matematici vogliono capire quelle proprietà. L'equazione di Pell, si scopre, può aiutarli a farlo.
E quindi "molti matematici molto famosi - quasi tutti i matematici in un certo periodo di tempo - hanno effettivamente studiato questa equazione per la sua semplicità", ha detto Mark Shustermann, matematico all'Università di Harvard. Quei matematici includevano Fermat, Eulero, Lagrange e Dirichlet. (John Pell, non tanto; l'equazione è stata erroneamente intitolata a lui.)
Ora Koymans e Carlo Pagano, un matematico presso la Concordia University di Montreal, hanno si è rivelata una congettura vecchia di decenni correlata all'equazione di Pell, quella che quantifica la frequenza con cui una certa forma dell'equazione ha soluzioni intere. Per fare ciò, hanno importato idee da un altro campo, la teoria dei gruppi, acquisendo contemporaneamente una migliore comprensione di un oggetto di studio chiave ma misterioso in quel campo. "Hanno usato idee davvero profonde e belle", ha detto Andrea Granville, matematico presso l'Università di Montreal. "Hanno davvero inchiodato."
Aritmetica rotta
Nei primi 1990s, Pietro Stevenhagen, un matematico dell'Università di Leiden nei Paesi Bassi, è stato ispirato da alcune delle connessioni che ha visto tra le equazioni di Pell e la teoria dei gruppi per formulare una congettura sulla frequenza con cui queste equazioni hanno soluzioni intere. Ma "Non mi aspettavo che sarebbe stato dimostrato in tempi brevi", ha detto, e nemmeno durante la sua vita. Le tecniche disponibili non sembravano sufficientemente forti per affrontare il problema.
La sua congettura dipende da una caratteristica particolare degli anelli. Nell'anello dei numeri in cui, ad esempio, $latex sqrt{-5}$ è stato aggiunto agli interi (i matematici spesso lavorano con numeri "immaginari" come $latex sqrt{-5}$), ci sono due modi distinti per dividere un numero nei suoi fattori primi. Il numero 6, ad esempio, può essere scritto non solo come 2 × 3, ma anche come (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$). Di conseguenza, in questo anello, la fattorizzazione primi unica - un principio centrale dell'aritmetica, praticamente dato per scontato negli interi normali - si rompe. La misura in cui ciò si verifica è codificata in un oggetto associato a quell'anello, chiamato gruppo di classi.
Un modo in cui i matematici cercano di ottenere informazioni più approfondite su un sistema numerico a cui sono interessati, ad esempio $latex sqrt{2}$ congiunto agli interi, è calcolare e studiare il suo gruppo di classi. Eppure è quasi proibitivo stabilire regole generali su come si comportano i gruppi di classi in tutti questi diversi sistemi numerici.
Negli anni '1980 i matematici Enrico Cohen ed Hendrik Lenstra formulare un'ampia serie di congetture su come dovrebbero essere tali regole. Queste "euristiche di Cohen-Lenstra" potrebbero dirti molto sui gruppi di classi, che a loro volta dovrebbero rivelare le proprietà dei loro sistemi numerici sottostanti.
C'era solo un problema. Sebbene molti calcoli sembrino supportare l'euristica di Cohen-Lenstra, sono ancora congetture, non prove. "Per quanto riguarda i teoremi, fino a poco tempo non sapevamo quasi nulla", ha detto Alex Bartel, matematico all'Università di Glasgow.
Curiosamente, il comportamento tipico di un gruppo di classe è inestricabilmente intrecciato con il comportamento delle equazioni di Pell. Comprendere un problema aiuta a dare un senso all'altro, tanto che la congettura di Stevenhagen "è stata anche un problema di prova per qualunque progresso sia stato fatto sull'euristica di Cohen-Lenstra", ha detto Pagano.
Il nuovo lavoro coinvolge l'equazione di Pell negativa, dove x2 - dy2 è impostato su −1 invece di 1. In contrasto con l'equazione di Pell originale, che ha sempre un numero infinito di soluzioni intere per ogni d, non tutti i valori di d nell'equazione di Pell negativa si ottiene un'equazione che può essere risolta. Prendere x2 - 3y2 = -1: Non importa quanto guardi lungo la linea dei numeri, anche se non troverai mai una soluzione x2 - 3y2 = 1 ha infinite soluzioni.
In effetti, ci sono molti valori di d per cui l'equazione di Pell negativa non può essere risolta: sulla base di regole note su come determinati numeri si relazionano tra loro, d non può essere un multiplo di 3, 7, 11, 15 e così via.
Ma anche quando eviti quei valori di d e considera solo le restanti equazioni di Pell negative, non è ancora sempre possibile trovare soluzioni. In quel più piccolo insieme di possibili valori di d, quale proporzione funziona effettivamente?
Nel 1993 Stevenhagen ha proposto una formula che ha dato una risposta precisa a quella domanda. Dei valori per d che potrebbe funzionare (cioè valori che non sono multipli di 3, 7, ecc.), ha previsto che circa il 58% darebbe origine a equazioni di Pell negative con soluzioni intere.
L'ipotesi di Stevenhagen era motivata in particolare dal legame tra l'equazione negativa di Pell e l'euristica di Cohen-Lenstra sui gruppi di classi, un legame che Koymans e Pagano sfruttarono quando, 30 anni dopo, gli dimostrarono che aveva ragione.
Un cannone migliore
Nel 2010, Koymans e Pagano erano ancora studenti universitari - non ancora familiari con la congettura di Stevenhagen - quando è uscito un articolo che ha fatto alcuni dei primi progressi sul problema da anni.
In quel lavoro, che era pubblicato nella Annali di matematica, i matematici Etienne Fouvry ed Jürgen Klüners ha mostrato che la proporzione di valori di d ciò funzionerebbe per l'equazione di Pell negativa che rientra in un certo intervallo. Per fare ciò, hanno avuto un controllo sul comportamento di alcuni elementi dei gruppi di classi pertinenti. Ma avrebbero bisogno di una comprensione di molti più elementi per capire la stima molto più precisa di Stevenhagen del 58%. Sfortunatamente, quegli elementi rimasero imperscrutabili: erano ancora necessari nuovi metodi per dare un senso alla loro struttura. Ulteriori progressi sembravano impossibili.
Poi, nel 2017, quando Koymans e Pagano frequentavano entrambi la scuola di specializzazione all'Università di Leiden, è apparso un foglio che ha cambiato tutto. "Quando l'ho visto, ho immediatamente riconosciuto che era un risultato davvero impressionante", ha detto Koymans. "Era come, OK, ora ho un cannone che posso sparare a questo problema e spero di poter fare progressi". (A quel tempo, Stevenhagen e Lenstra erano anche professori a Leiden, il che ha contribuito a suscitare l'interesse di Koymans e Pagano per il problema.)
L'articolo era di uno studente laureato ad Harvard, Alexander Smith (che ora è un Clay Fellow a Stanford). Koymans e Pagano non erano i soli a salutare il lavoro come una svolta. "Le idee erano incredibili", ha detto Granville. "Rivoluzionario."
Smith aveva cercato di comprendere le proprietà delle soluzioni di equazioni chiamate curve ellittiche. In tal modo, ha elaborato una parte specifica dell'euristica di Cohen-Lenstra. Non solo è stato il primo passo importante nel cementare quelle più ampie congetture come fatti matematici, ma ha coinvolto proprio il pezzo del gruppo di classe che Koymans e Pagano avevano bisogno di capire nel loro lavoro sulla congettura di Stevenhagen. (Questo pezzo includeva gli elementi che Fouvry e Klüners avevano studiato nel loro risultato parziale, ma andava anche ben oltre.)
Tuttavia, Koymans e Pagano non potevano semplicemente usare i metodi di Smith subito. (Se ciò fosse stato possibile, lo stesso Smith probabilmente l'avrebbe fatto.) La dimostrazione di Smith riguardava i gruppi di classi associati agli anelli numerici corretti (quelli in cui $latex sqrt{d}$ viene aggiunto agli interi) — ma considerò tutti valori interi di d. Koymans e Pagano, d'altra parte, stavano pensando solo a un minuscolo sottoinsieme di quei valori di d. Di conseguenza, avevano bisogno di valutare il comportamento medio tra una frazione molto più piccola di gruppi di classi.
Quei gruppi di classe costituivano essenzialmente lo 0% dei gruppi di classe di Smith, il che significa che Smith poteva buttarli via quando stava scrivendo la sua dimostrazione. Non contribuivano affatto al comportamento medio che stava studiando.
E quando Koymans e Pagano hanno cercato di applicare le sue tecniche solo ai gruppi di classe a cui tenevano, i metodi si sono interrotti immediatamente. La coppia avrebbe bisogno di apportare modifiche significative per farli funzionare. Inoltre, non stavano solo caratterizzando un gruppo di classi, ma piuttosto la discrepanza che potrebbe esistere tra due diversi gruppi di classi (farlo sarebbe una parte importante della loro dimostrazione della congettura di Stevenhagen), il che richiederebbe anche alcuni strumenti diversi.
Così Koymans e Pagano hanno iniziato a spulciare con più attenzione il documento di Smith nella speranza di individuare esattamente dove le cose hanno iniziato ad andare fuori dai binari. È stato un lavoro difficile e scrupoloso, non solo perché il materiale era così complicato, ma perché Smith stava ancora perfezionando la sua prestampa in quel momento, apportando le necessarie correzioni e chiarimenti. (Ha pubblicato il nuova versione del suo giornale online il mese scorso.)
Per un anno intero, Koymans e Pagano hanno imparato la dimostrazione insieme, riga per riga. Si incontravano ogni giorno, discutendo una determinata sezione durante il pranzo prima di passare alcune ore alla lavagna, aiutandosi a vicenda a elaborare le idee pertinenti. Se uno di loro faceva progressi da solo, mandava un messaggio all'altro per aggiornarlo. Shusterman ricorda di averli visti a volte lavorare fino a notte fonda. Nonostante (o forse a causa) delle sfide che ha comportato, "è stato molto divertente da fare insieme", ha detto Koymans.
Alla fine hanno identificato dove avrebbero dovuto provare un nuovo approccio. All'inizio, sono stati in grado di apportare solo modesti miglioramenti. Insieme ai matematici Stefania Chan ed Djordjo Milovic, hanno capito come gestire alcuni elementi aggiuntivi nel gruppo di classe, il che ha permesso loro di ottenere limiti migliori di quelli di Fouvry e Klüners. Ma pezzi significativi della struttura del gruppo classe li sfuggivano ancora.
Uno dei principali problemi che hanno dovuto affrontare - qualcosa per il quale il metodo di Smith non funzionava più in questo nuovo contesto - era assicurarsi che stessero veramente analizzando il comportamento "medio" per i gruppi di classe come valori di d è diventato sempre più grande. Per stabilire il giusto grado di casualità, Koymans e Pagano hanno dimostrato un complicato insieme di regole, chiamate leggi di reciprocità. Alla fine, ciò ha permesso loro di ottenere il controllo di cui avevano bisogno sulla differenza tra i due gruppi di classi.
Quel progresso, insieme ad altri, ha permesso loro di completare finalmente la dimostrazione della congettura di Stevenhagen all'inizio di quest'anno. "È incredibile che siano stati in grado di risolverlo completamente", ha detto Chan. "In precedenza, avevamo tutti questi problemi".
Quello che hanno fatto "mi ha sorpreso", ha detto Smith. "Koymans e Pagano hanno in qualche modo mantenuto la mia vecchia lingua e l'hanno usata solo per spingermi sempre più in una direzione che a malapena capisco più."
Lo strumento più affilato
Da quando lo ha introdotto cinque anni fa, la dimostrazione di Smith di una parte dell'euristica di Cohen-Lenstra è stata vista come un modo per aprire le porte a una miriade di altri problemi, comprese domande sulle curve ellittiche e altre strutture di interesse. (Nel loro articolo, Koymans e Pagano elencano una dozzina di congetture su cui sperano di usare i loro metodi. Molte non hanno nulla a che fare con l'equazione di Pell negativa o addirittura con i gruppi di classi.)
"Molti oggetti hanno strutture che non sono dissimili da questo tipo di gruppi algebrici", ha detto Granville. Ma molti degli stessi ostacoli che Koymans e Pagano hanno dovuto affrontare sono presenti anche in questi altri contesti. Il nuovo lavoro sull'equazione negativa di Pell ha contribuito a smantellare questi blocchi stradali. "Alexander Smith ci ha spiegato come costruire queste seghe e questi martelli, ma ora dobbiamo renderli il più affilati possibile, incisivi e il più adattabili possibile alle diverse situazioni", ha affermato Bartel. "Una delle cose che questo documento fa è fare molto in quella direzione".
Tutto questo lavoro, nel frattempo, ha perfezionato la comprensione da parte dei matematici di un solo aspetto dei gruppi di classi. Il resto delle congetture di Cohen-Lenstra rimane fuori portata, almeno per il momento. Ma l'articolo di Koymans e Pagano "è un'indicazione che le tecniche che abbiamo per attaccare i problemi a Cohen-Lenstra stanno crescendo", ha detto Smith.
Lo stesso Lenstra era altrettanto ottimista. È "assolutamente spettacolare", ha scritto in una e-mail. "Apre davvero un nuovo capitolo in una branca della teoria dei numeri che è vecchia quanto la teoria dei numeri stessa".
