Quando si tratta di comprendere la forma degli ammassi di bolle, i matematici hanno giocato per recuperare il ritardo con le nostre intuizioni fisiche per millenni. I grappoli di bolle di sapone in natura spesso sembrano scattare immediatamente nello stato a più bassa energia, quello che riduce al minimo la superficie totale delle loro pareti (comprese le pareti tra le bolle). Ma controllare se le bolle di sapone stanno facendo bene questo compito - o semplicemente prevedere come dovrebbero essere i grandi grappoli di bolle - è uno dei problemi più difficili in geometria. Ci sono voluti i matematici fino alla fine del 19° secolo per dimostrare che la sfera è la migliore bolla singola, anche se il matematico greco Zenodorus lo aveva affermato più di 2,000 anni prima.
Il problema delle bolle è abbastanza semplice da affermare: inizi con un elenco di numeri per i volumi, quindi chiedi come racchiudere separatamente quei volumi d'aria utilizzando la superficie minima. Ma per risolvere questo problema, i matematici devono considerare un'ampia gamma di diverse forme possibili per le pareti delle bolle. E se il compito è racchiudere, diciamo, cinque volumi, non abbiamo nemmeno il lusso di limitare la nostra attenzione a gruppi di cinque bolle: forse il modo migliore per ridurre al minimo la superficie consiste nel dividere uno dei volumi su più bolle.
Anche nell'impostazione più semplice del piano bidimensionale (dove stai cercando di racchiudere un insieme di aree riducendo al minimo il perimetro), nessuno conosce il modo migliore per racchiudere, diciamo, nove o 10 aree. Man mano che il numero di bolle cresce, "rapidamente, non puoi nemmeno ottenere alcuna congettura plausibile", ha detto Emanuele Milman del Technion di Haifa, Israele.
Ma più di un quarto di secolo fa, John Sullivan, ora dell'Università Tecnica di Berlino, si è reso conto che in alcuni casi c'è a congettura guida da avere. I problemi delle bolle hanno senso in qualsiasi dimensione e Sullivan ha scoperto che finché il numero di volumi che stai cercando di racchiudere è al massimo uno maggiore della dimensione, c'è un modo particolare per racchiudere i volumi che è, in un certo senso, più bella di qualsiasi altra: una sorta di ombra di un grappolo di bolle perfettamente simmetriche su una sfera. Questo ammasso di ombre, ha ipotizzato, dovrebbe essere quello che riduce al minimo la superficie.
Nel decennio che seguì, i matematici scrissero una serie di articoli rivoluzionari che dimostravano la congettura di Sullivan quando si cercava di racchiudere solo due volumi. Qui, la soluzione è la familiare doppia bolla che potresti aver soffiato nel parco in una giornata di sole, composta da due pezzi sferici con una parete piatta o sferica tra di loro (a seconda che le due bolle abbiano volume uguale o diverso).
Ma dimostrando la congettura di Sullivan per tre volumi, il matematico Frank Morgan del Williams College speculato nel 2007, "potrebbero volerci altri cento anni".
Ora, ai matematici è stata risparmiata quella lunga attesa e hanno ottenuto molto più di una semplice soluzione al problema della tripla bolla. In un carta pubblicato in linea a maggio, Milman e Joe Neman, dell'Università del Texas, Austin, hanno dimostrato la congettura di Sullivan per bolle triple nelle dimensioni tre e superiori e bolle quadruple nelle dimensioni quattro e superiori, con un documento di follow-up su bolle quintuple nelle dimensioni cinque e superiori in lavorazione.
E quando si tratta di sei o più bolle, Milman e Neeman hanno dimostrato che il miglior cluster deve avere molti degli attributi chiave del candidato di Sullivan, avviando potenzialmente i matematici sulla strada per dimostrare la congettura anche per questi casi. "La mia impressione è che abbiano colto la struttura essenziale dietro la congettura di Sullivan", ha detto Francesco Maggio dell'Università del Texas, Austin.
Il teorema centrale di Milman e Neeman è "monumentale", ha scritto Morgan in una e-mail. "È un risultato brillante con molte nuove idee."
Bolle d'ombra
Le nostre esperienze con le vere bolle di sapone offrono intuizioni allettanti su come dovrebbero apparire i grappoli di bolle ottimali, almeno quando si tratta di piccoli grappoli. Le bolle triple o quadruple che soffiamo attraverso le bacchette saponose sembrano avere pareti sferiche (e occasionalmente piatte) e tendono a formare grumi stretti piuttosto che, diciamo, una lunga catena di bolle.
Ma non è così facile dimostrare che queste sono davvero le caratteristiche dei cluster di bolle ottimali. Ad esempio, i matematici non sanno se le pareti in un ammasso di bolle minimizzanti sono sempre sferiche o piatte: sanno solo che le pareti hanno "curvatura media costante", il che significa che la curvatura media rimane la stessa da un punto all'altro. Le sfere e le superfici piatte hanno questa proprietà, ma anche molte altre superfici, come i cilindri e le forme ondulate chiamate unduloidi. Le superfici con curvatura media costante sono "uno zoo completo", ha detto Milman.
Ma negli anni '1990, Sullivan ha riconosciuto che quando il numero di volumi che si desidera racchiudere è al massimo uno maggiore della dimensione, c'è un cluster candidato che sembra eclissare il resto: uno (e solo uno) cluster che ha le caratteristiche che tendiamo da vedere in piccoli grappoli di vere bolle di sapone.
Per avere un'idea di come viene costruito un tale candidato, utilizziamo l'approccio di Sullivan per creare un ammasso di tre bolle nel piano piatto (quindi le nostre "bolle" saranno regioni nel piano piuttosto che oggetti tridimensionali). Iniziamo scegliendo quattro punti su una sfera che sono tutti alla stessa distanza l'uno dall'altro. Ora immagina che ognuno di questi quattro punti sia il centro di una minuscola bolla, che viva solo sulla superficie della sfera (in modo che ogni bolla sia un piccolo disco). Gonfia le quattro bolle sulla sfera finché non iniziano a sbattere l'una contro l'altra, quindi continua a gonfiare finché non riempiono insieme l'intera superficie. Finiamo con un gruppo simmetrico di quattro bolle che fa sembrare la sfera un tetraedro gonfio.
Successivamente, posizioniamo questa sfera sopra un piano piatto infinito, come se la sfera fosse una palla che poggia su un pavimento infinito. Immagina che la palla sia trasparente e che ci sia una lanterna al polo nord. Le pareti delle quattro bolle proietteranno ombre sul pavimento, formando lì le pareti di un gruppo di bolle. Delle quattro bolle sulla sfera, tre si proiettano verso il basso fino a formare bolle d'ombra sul pavimento; la quarta bolla (quella contenente il polo nord) si proietterà fino all'infinita distesa del pavimento al di fuori del gruppo di tre bolle d'ombra.
Il particolare ammasso di tre bolle che otteniamo dipende da come abbiamo posizionato la sfera quando l'abbiamo messa sul pavimento. Se ruotiamo la sfera in modo che un punto diverso si sposti verso la lanterna al polo nord, in genere otterremo un'ombra diversa e le tre bolle sul pavimento avranno aree diverse. I matematici hanno dimostrato che per ogni tre numeri che scegli per le aree, esiste essenzialmente un unico modo per posizionare la sfera in modo che le tre bolle d'ombra abbiano esattamente quelle aree.
Siamo liberi di eseguire questo processo in qualsiasi dimensione (sebbene le ombre di dimensioni superiori siano più difficili da visualizzare). Ma c'è un limite al numero di bolle che possiamo avere nel nostro ammasso d'ombra. Nell'esempio sopra, non avremmo potuto creare un gruppo di quattro bolle nell'aereo. Ciò avrebbe richiesto di iniziare con cinque punti sulla sfera che sono tutti alla stessa distanza l'uno dall'altro, ma è impossibile posizionare così tanti punti equidistanti su una sfera (sebbene tu possa farlo con sfere di dimensioni superiori). La procedura di Sullivan funziona solo per creare gruppi composti da un massimo di tre bolle nello spazio bidimensionale, quattro bolle nello spazio tridimensionale, cinque bolle nello spazio quadridimensionale e così via. Al di fuori di questi intervalli di parametri, i cluster di bolle in stile Sullivan semplicemente non esistono.
Ma all'interno di questi parametri, la procedura di Sullivan ci fornisce grappoli di bolle in contesti molto al di là di ciò che la nostra intuizione fisica può comprendere. "È impossibile visualizzare ciò che è una bolla di 15 in [spazio a 23 dimensioni]", ha detto Maggi. "Come fai a sognare di descrivere un oggetto del genere?"
Eppure i candidati alle bolle di Sullivan ereditano dai loro progenitori sferici una collezione unica di proprietà che ricordano le bolle che vediamo in natura. Le loro pareti sono tutte sferiche o piatte e, ovunque si incontrino tre pareti, formano angoli di 120 gradi, come in una forma a Y simmetrica. Ciascuno dei volumi che stai cercando di racchiudere si trova in una singola regione, invece di essere suddiviso in più regioni. E ogni bolla si tocca l'una con l'altra (e l'esterno), formando un ammasso stretto. I matematici hanno dimostrato che le bolle di Sullivan sono gli unici gruppi che soddisfano tutte queste proprietà.
Quando Sullivan ha ipotizzato che questi dovrebbero essere i grappoli che riducono al minimo la superficie, stava essenzialmente dicendo: "Assumiamo la bellezza", ha detto Maggi.
Ma i ricercatori delle bolle hanno buone ragioni per diffidare dal presumere che solo perché una soluzione proposta è bella, sia corretta. "Ci sono problemi molto famosi ... in cui ti aspetteresti simmetria per i minimizzatori e la simmetria fallisce in modo spettacolare", ha detto Maggi.
Ad esempio, c'è il problema strettamente correlato di riempire lo spazio infinito con bolle di uguale volume in un modo che minimizzi la superficie. Nel 1887, il matematico e fisico britannico Lord Kelvin suggerì che la soluzione potesse essere un'elegante struttura a nido d'ape. Per più di un secolo, molti matematici hanno creduto che questa fosse la risposta più probabile, fino al 1993, quando una coppia di fisici identificato un migliore, anche se meno simmetrica, opzione. "La matematica è piena... di esempi in cui accadono questo tipo di cose strane", ha detto Maggi.
Un'arte oscura
Quando Sullivan annunciò la sua congettura nel 1995, la parte a doppia bolla di essa era già in circolazione da un secolo. I matematici avevano risolto il Problema della doppia bolla 2D due anni prima, e nel decennio successivo, l'hanno risolto spazio tridimensionale e poi dentro superiore dimensioni. Ma quando si è trattato del prossimo caso della congettura di Sullivan – le triple bolle – potevano dimostrare la congettura solo nel piano bidimensionale, dove le interfacce tra le bolle sono particolarmente semplici.
Poi, nel 2018, Milman e Neeman hanno dimostrato una versione analoga della congettura di Sullivan in un contesto noto come il problema della bolla gaussiana. In questa impostazione, puoi pensare a ogni punto dello spazio come avente un valore monetario: l'origine è il punto più costoso e più ti allontani dall'origine, più il terreno diventa più economico, formando una curva a campana. L'obiettivo è creare recinzioni con prezzi preselezionati (anziché volumi preselezionati), in modo da ridurre al minimo il costo dei confini dei recinti (invece della superficie dei confini). Questo problema delle bolle gaussiane ha applicazioni nell'informatica per schemi di arrotondamento e domande sulla sensibilità al rumore.
Milman e Neeman hanno presentato il loro prova Vai all’email Annali di matematica, probabilmente la rivista più prestigiosa di matematica (dove è stata successivamente accettata). Ma la coppia non aveva intenzione di farla finita. I loro metodi sembravano promettenti anche per il classico problema delle bolle.
Hanno lanciato idee avanti e indietro per diversi anni. "Avevamo un documento di note di 200 pagine", ha detto Milman. All'inizio sembrava che stessero facendo progressi. “Ma poi rapidamente si è trasformato in: 'Abbiamo provato questa direzione, no. Abbiamo provato [quella] direzione — no.'” Per coprire le loro scommesse, entrambi i matematici perseguirono anche altri progetti.
Poi lo scorso autunno, Milman si è presentato per un anno sabbatico e ha deciso di visitare Neeman in modo che la coppia potesse fare una spinta concentrata sul problema della bolla. "Durante l'anno sabbatico è un buon momento per provare tipi di cose ad alto rischio e ad alto guadagno", ha detto Milman.
Per i primi mesi non sono andati da nessuna parte. Alla fine, decisero di darsi un compito leggermente più facile rispetto all'intera congettura di Sullivan. Se dai alle tue bolle una dimensione extra di respiro, ottieni un bonus: il miglior gruppo di bolle avrà una simmetria speculare su un piano centrale.
La congettura di Sullivan riguarda bolle triple nelle dimensioni due e superiori, bolle quadruple nelle dimensioni tre e superiori, e così via. Per ottenere la simmetria bonus, Milman e Neeman hanno limitato la loro attenzione a bolle triple nelle dimensioni tre e superiori, bolle quadruple nelle dimensioni quattro e superiori e così via. "È stato davvero solo quando abbiamo rinunciato a ottenerlo per l'intera gamma di parametri che abbiamo davvero fatto progressi", ha detto Neeman.
Con questa simmetria speculare a loro disposizione, Milman e Neeman hanno escogitato un argomento perturbativo che prevede di gonfiare leggermente la metà del gruppo di bolle che si trova sopra lo specchio e sgonfiare la metà che si trova sotto di esso. Questa perturbazione non cambierà il volume delle bolle, ma potrebbe cambiare la loro superficie. Milman e Neeman hanno mostrato che se l'ammasso di bolle ottimale ha pareti che non sono sferiche o piatte, ci sarà un modo per scegliere questa perturbazione in modo da ridurre la superficie dell'ammasso: una contraddizione, poiché l'ammasso ottimale ha già la superficie minima zona possibile.
L'uso delle perturbazioni per studiare le bolle è tutt'altro che una nuova idea, ma capire quali perturbazioni rileveranno le caratteristiche importanti di un ammasso di bolle è "un po' un'arte oscura", ha detto Neeman.
Con il senno di poi, "una volta che vedi [le perturbazioni di Milman e Neeman], sembrano abbastanza naturali", ha detto Joel Hass dell'Università della California, Davis.
Ma riconoscere le perturbazioni come naturali è molto più facile che inventarle in primo luogo, ha detto Maggi. "Non è di gran lunga qualcosa che puoi dire, 'Alla fine la gente l'avrebbe trovato'", ha detto. "È davvero geniale a un livello davvero notevole."
Milman e Neeman sono stati in grado di utilizzare le loro perturbazioni per dimostrare che l'ammasso ottimale di bolle deve soddisfare tutti i tratti fondamentali degli ammassi di Sullivan, tranne forse uno: la clausola che ogni bolla deve toccarsi a vicenda. Quest'ultimo requisito ha costretto Milman e Neeman a confrontarsi con tutti i modi in cui le bolle potrebbero connettersi in un ammasso. Quando si tratta di sole tre o quattro bolle, non ci sono molte possibilità da considerare. Ma man mano che aumenti il numero di bolle, il numero di diversi modelli di connettività possibili cresce, anche più velocemente che in modo esponenziale.
Milman e Neeman speravano inizialmente di trovare un principio generale che coprisse tutti questi casi. Ma dopo aver passato alcuni mesi a "romperci la testa", ha detto Milman, hanno deciso di accontentarsi per ora di un approccio più ad hoc che ha permesso loro di gestire bolle triple e quadruple. Hanno anche annunciato una prova non pubblicata che la bolla quintupla di Sullivan è ottimale, sebbene non abbiano ancora stabilito che sia l'unico cluster ottimale.
Il lavoro di Milman e Neeman è "un approccio completamente nuovo piuttosto che un'estensione dei metodi precedenti", ha scritto Morgan in una e-mail. È probabile, ha predetto Maggi, che questo approccio possa essere ulteriormente spinto, forse a grappoli di più di cinque bolle, o ai casi della congettura di Sullivan che non hanno la simmetria speculare.
Nessuno si aspetta che ulteriori progressi arrivino facilmente; ma questo non ha mai scoraggiato Milman e Neeman. "Dalla mia esperienza", ha detto Milman, "tutte le cose principali che ho avuto la fortuna di poter fare hanno richiesto semplicemente di non arrendersi".
