La misteriosa matematica dei tavoli da biliardo | Rivista Quanti

Nel film della Disney del 1959 Paperino nella terra della matematica, Paperino, ispirato dalle descrizioni del narratore della geometria del biliardo, colpisce energicamente la stecca, facendolo rimbalzare sul tavolo prima che colpisca finalmente le palline previste. Donald chiede: "Ti piace questo per la matematica?"

Poiché i tavoli da biliardo rettangolari hanno quattro pareti che si incontrano ad angolo retto, le traiettorie del biliardo come quella di Paperino sono prevedibili e ben comprese, anche se sono difficili da realizzare nella pratica. Tuttavia, i matematici ricercatori non sono ancora in grado di rispondere a domande fondamentali sulle possibili traiettorie delle palle da biliardo su tavoli a forma di altri poligoni (forme con i lati piatti). Anche i triangoli, i poligoni più semplici, celano ancora misteri.

È sempre possibile colpire una pallina in modo che ritorni al punto di partenza viaggiando nella stessa direzione, creando la cosiddetta orbita periodica? Nessuno sa. Per altre forme più complicate, non è noto se sia possibile colpire la palla da qualsiasi punto del tavolo a qualsiasi altro punto del tavolo.

Sebbene queste domande sembrino adattarsi perfettamente ai confini della geometria così come viene insegnata alle scuole superiori, i tentativi di risolverli hanno richiesto ad alcuni dei matematici più importanti del mondo di introdurre idee da campi disparati tra cui i sistemi dinamici, la topologia e la geometria differenziale. Come per ogni grande problema matematico, il lavoro su questi problemi ha creato nuova matematica e ha alimentato e fatto avanzare la conoscenza in quegli altri campi. Eppure, nonostante tutti questi sforzi e le intuizioni apportate dai computer moderni, questi problemi apparentemente semplici resistono ostinatamente alla risoluzione.

Ecco cosa hanno imparato i matematici sul biliardo dopo l'epico tiro ingarbugliato di Paperino.

Di solito presumono che la loro palla da biliardo sia un punto infinitamente piccolo e senza dimensioni e che rimbalzi sulle pareti con perfetta simmetria, partendo con lo stesso angolo in cui arriva, come mostrato di seguito.

Senza attrito, la palla viaggia indefinitamente a meno che non raggiunga un angolo, che la ferma come una buca. Il motivo per cui il biliardo è così difficile da analizzare matematicamente è che due colpi quasi identici che atterrano su entrambi i lati di un angolo possono avere traiettorie molto divergenti.

Un metodo chiave per analizzare il biliardo poligonale è quello di non pensare alla pallina mentre rimbalza sul bordo del tavolo, ma piuttosto immaginare che ogni volta che la pallina colpisce un muro, continua a viaggiare verso una nuova copia del tavolo che viene capovolta. bordo, producendo un'immagine speculare. Questo processo (vedi sotto), chiamato dispiegamento del percorso del biliardo, consente alla pallina di proseguire lungo una traiettoria rettilinea. Ripiegando i tavoli immaginati su quelli vicini, è possibile recuperare la traiettoria effettiva della palla. Questo trucco matematico rende possibile dimostrare cose sulla traiettoria che altrimenti sarebbero difficili da vedere.

Ad esempio, può essere utilizzato per mostrare perché semplici tavole rettangolari hanno infinite traiettorie periodiche attraverso ogni punto. Un argomento simile vale per qualsiasi rettangolo, ma per concretezza, immagina un tavolo che sia largo il doppio della sua lunghezza.

Supponiamo di voler trovare un'orbita periodica che attraversi la tabella n volte nella direzione lunga e m volte nella direzione breve. Poiché ogni immagine speculare del rettangolo corrisponde alla pallina che rimbalza contro un muro, affinché la pallina ritorni al punto di partenza viaggiando nella stessa direzione, la sua traiettoria deve attraversare il tavolo un numero pari di volte in entrambe le direzioni. COSÌ m ed n deve essere pari. Disporre una griglia di rettangoli identici, ciascuno visto come un'immagine speculare dei suoi vicini. Disegna un segmento di linea da un punto sulla tabella originale al punto identico su una copia n tavoli di distanza nella direzione lunga e m tavoli di distanza nella direzione breve. Regola leggermente il punto originale se il percorso passa attraverso un angolo. Ecco un esempio in cui n = 2 e m = 6. Quando ripiegato, il percorso produce una traiettoria periodica, come mostrato nel rettangolo verde.

Una disuguaglianza triangolare

Il biliardo nei triangoli, che non ha la bella geometria ad angolo retto dei rettangoli, è più complicato. Come ricorderete dalla geometria del liceo, esistono diversi tipi di triangoli: triangoli acuti, dove tutti e tre gli angoli interni sono inferiori a 90 gradi; triangoli rettangoli, che hanno un angolo di 90 gradi; e triangoli ottusi, che hanno un angolo superiore a 90 gradi.

I tavoli da biliardo a forma di triangolo acuti e rettangoli hanno traiettorie periodiche. Ma nessuno sa se lo stesso vale per i triangoli ottusi.

Per trovare una traiettoria periodica in un triangolo acutangolo, traccia una linea perpendicolare da ciascun vertice al lato opposto, come mostrato a sinistra, in basso. Unisci i punti in cui si trovano gli angoli retti per formare un triangolo, come mostrato a destra.

Questo triangolo inscritto è una traiettoria periodica del biliardo chiamata orbita di Fagnano, dal nome di Giovanni Fagnano, che nel 1775 dimostrò che questo triangolo ha il perimetro più piccolo di tutti i triangoli inscritti.

All'inizio degli anni '1990, Fred Holt presso l'Università di Washington e Gregorio Galperin e i suoi collaboratori all'Università statale di Mosca indipendentemente ha mostrato che ogni triangolo rettangolo ha orbite periodiche. Un modo semplice per dimostrarlo è riflettere il triangolo attorno a una gamba e poi all'altra, come mostrato di seguito.

Inizia con una traiettoria ad angolo retto rispetto all'ipotenusa (il lato lungo del triangolo). L'ipotenusa e la sua seconda riflessione sono parallele, quindi un segmento perpendicolare che le unisce corrisponde a una traiettoria che rimbalzerà avanti e indietro per sempre: la palla parte dall'ipotenusa ad angolo retto, rimbalza su entrambe le gambe, ritorna all'ipotenusa a destra angolo e poi ripercorre il suo percorso.

Ma i triangoli ottusi rimangono un mistero. Nel loro articolo del 1992, Galperin e i suoi collaboratori hanno ideato una varietà di metodi per riflettere i triangoli ottusi in modo da consentire di creare orbite periodiche, ma i metodi hanno funzionato solo per alcuni casi speciali. Poi, nel 2008, Richard Schwartz alla Brown University ha dimostrato che tutti i triangoli ottusi con angoli di 100 gradi o meno contengono una traiettoria periodica. Il suo approccio prevedeva la scomposizione del problema in più casi e la verifica di ciascun caso utilizzando la matematica tradizionale e l'assistenza informatica. Nel 2018, Jacob Garber, Boyan Marinov, Kenneth Moore e George Tokarsky presso l'Università di Alberta ha esteso questa soglia a 112.3 gradi. (Tokarskij e Marinov era trascorso più di un decennio inseguendo questo obiettivo.)

Una svolta topologica

Un altro approccio è stato utilizzato per dimostrare che se tutti gli angoli sono razionali – cioè possono essere espressi come frazioni – i triangoli ottusi con angoli ancora più grandi devono avere traiettorie periodiche. Invece di copiare semplicemente un poligono su un piano piatto, questo approccio mappa copie di poligoni su superfici topologiche, ciambelle con uno o più buchi al loro interno.

Se rifletti un rettangolo sul suo lato corto, e poi rifletti entrambi i rettangoli sul loro lato più lungo, creando quattro versioni del rettangolo originale, e poi incolli insieme la parte superiore e quella inferiore e insieme la parte sinistra e destra, avrai creato una ciambella, o toro, come mostrato di seguito. Le traiettorie del biliardo sul tavolo corrispondono alle traiettorie sul toro e viceversa.

In un articolo fondamentale del 1986, Howard Masur usò questa tecnica per dimostrare che tutte le tavole poligonali con angoli razionali hanno orbite periodiche. Il suo approccio ha funzionato non solo per i triangoli ottusi, ma per forme molto più complicate: tavoli irregolari a 100 lati, ad esempio, o poligoni le cui pareti si muovono a zig e zag creando angoli e fessure, hanno orbite periodiche, purché gli angoli siano razionali.

In modo piuttosto notevole, l'esistenza di un'orbita periodica in un poligono implica l'esistenza di infinite orbite; spostando leggermente la traiettoria si otterrà una famiglia di traiettorie periodiche correlate.

Il problema dell'illuminazione

Le forme con angoli e fessure danno origine a una domanda correlata. Invece di interrogarsi sulle traiettorie che ritornano al punto di partenza, questo problema chiede se le traiettorie possono visitare ogni punto su una determinata tabella. Questo è chiamato problema dell'illuminazione perché possiamo pensarci immaginando un raggio laser che si riflette sulle pareti a specchio che racchiudono il tavolo da biliardo. Ci chiediamo se, dati due punti su un particolare tavolo, sia sempre possibile puntare un laser (idealizzato come un raggio di luce infinitamente sottile) da un punto all'altro. Per dirla in altro modo, se posizionassimo in un punto sul tavolo una lampadina che emette luce in tutte le direzioni contemporaneamente, illuminerebbe l'intera stanza?

Ci sono state due linee principali di ricerca sul problema: trovare forme che non possono essere illuminate e dimostrare che grandi classi di forme possono esserlo. Mentre trovare forme stravaganti che non possono essere illuminate può essere fatto attraverso un'applicazione intelligente di semplici calcoli matematici, dimostrare che molte forme possono essere illuminate è stato possibile solo attraverso l'uso di pesanti macchinari matematici.

Nel 1958, Roger Penrose, un matematico che vinse il Premio Nobel per la fisica 2020, ho trovato un tavolo curvo in cui qualsiasi punto di una regione non poteva illuminare alcun punto di un'altra regione. Per decenni nessuno riuscì a inventare un poligono che avesse la stessa proprietà. Ma nel 1995, Tokarsky usò un semplice fatto relativo ai triangoli per creare un poligono a blocchi di 26 lati con due punti reciprocamente inaccessibili, mostrato di seguito. Cioè, un raggio laser sparato da un punto, indipendentemente dalla sua direzione, non può colpire l'altro punto.

L'idea chiave utilizzata da Tokarsky durante la costruzione del suo tavolo speciale era che se un raggio laser parte da uno degli angoli acuti di un triangolo di 45°-45°-90°, non potrà mai tornare in quell'angolo.

Il suo tavolo frastagliato è composto da 29 triangoli di questo tipo, disposti in modo da sfruttare in modo intelligente questo fatto. Nel 2019 Amit Wolecki, allora studente laureato all'Università di Tel Aviv, applicò la stessa tecnica a produrre una forma con 22 lati (mostrato sotto), che dimostrò essere il numero più piccolo possibile di lati per una forma che aveva due punti interni che non si illuminavano a vicenda.

Dimostrare risultati nella direzione opposta è stato molto più difficile. Nel 2014, Maryam Mirzakhani, matematica dell’Università di Stanford, è diventata la prima donna a vincere la medaglia Fields, il premio più prestigioso della matematica, per il suo lavoro sugli spazi dei moduli delle superfici di Riemann, una sorta di generalizzazione delle ciambelle che Masur usò per dimostrare che tutte le tavole poligonali con angoli razionali hanno orbite periodiche. Nel 2016, Samuel Lelievre dell’Università Paris-Saclay, Thierry Monteil del Centro nazionale francese per la ricerca scientifica e Barak Weiss dell'Università di Tel Aviv ha applicato una serie di risultati di Mirzakhani per mostrare che qualsiasi punto di un poligono razionale illumina tutti i punti tranne un numero finito. Potrebbero esserci macchie scure isolate (come negli esempi di Tokarsky e Wolecki) ma nessuna regione scura come nell'esempio di Penrose, che ha pareti curve anziché diritte. In Articolo di Wolecki del 2019, ha rafforzato questo risultato dimostrando che esistono solo un numero finito di coppie di punti non illuminabili.

Purtroppo, Mirzakhani è morto nel 2017 all'età di 40 anni, dopo una lotta contro il cancro. Il suo lavoro sembrava molto lontano dai colpi di scena nelle sale da biliardo. Eppure l’analisi delle traiettorie del biliardo mostra come anche la matematica più astratta possa connettersi al mondo in cui viviamo.