Algoritmo quantistico di Goemans-Williamson con test di Hadamard e vincoli di ampiezza approssimata

Algoritmo quantistico di Goemans-Williamson con test di Hadamard e vincoli di ampiezza approssimata

Timestamp: 12 luglio 2023 8:29

Taylor L. Patti1,2, Jean Kossaifi2, Anima Anandkumar3,2e Susanne F. Yelin1

1Dipartimento di Fisica, Università di Harvard, Cambridge, Massachusetts 02138, USA
2NVIDIA, Santa Clara, California 95051, Stati Uniti
3Dipartimento di Informatica + Scienze Matematiche (CMS), California Institute of Technology (Caltech), Pasadena, CA 91125 USA

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Astratto

I programmi semidefiniti sono metodi di ottimizzazione con un'ampia gamma di applicazioni, come l'approssimazione di difficili problemi combinatori. Uno di questi programmi semidefiniti è l'algoritmo di Goemans-Williamson, una popolare tecnica di rilassamento degli interi. Introduciamo un algoritmo quantistico variazionale per l'algoritmo di Goemans-Williamson che utilizza solo $n{+}1$ qubit, un numero costante di preparazioni di circuiti e valori di aspettativa $text{poly}(n)$ per risolvere approssimativamente programmi semidefiniti con un massimo di $N=2^n$ variabili e vincoli $M sim O(N)$. L'ottimizzazione efficiente si ottiene codificando la matrice obiettivo come unitaria opportunamente parametrizzata condizionata su un qubit ausiliario, una tecnica nota come test di Hadamard. Il test di Hadamard ci consente di ottimizzare la funzione obiettivo stimando solo un singolo valore di aspettativa dell'ancilla qubit, piuttosto che stimare separatamente in modo esponenziale molti valori di aspettativa. Allo stesso modo, illustriamo che i vincoli di programmazione semidefiniti possono essere effettivamente applicati implementando un secondo test di Hadamard, oltre a imporre un numero polinomiale di vincoli di ampiezza della stringa di Pauli. Dimostriamo l'efficacia del nostro protocollo ideando un'implementazione quantistica efficiente dell'algoritmo di Goemans-Williamson per vari problemi NP-hard, tra cui MaxCut. Il nostro metodo supera le prestazioni di metodi classici analoghi su un sottoinsieme diversificato di problemi MaxCut ben studiati dalla libreria GSet.

Algoritmo quantistico di Goemans-Williamson con il test di Hadamard e vincoli di ampiezza approssimativi PlatoBlockchain Data Intelligence. Ricerca verticale. Ai.

Immagine di presentazione: diagramma di HTAAC-QSDP per l'algoritmo di Goemans-Williamson con $n=3$ qubit non ausiliari. a) Un classico problema di $N$ variabili (qui un problema MaxCut di $N$-vertice dove $N=8$). La matrice dei pesi $W$ viene utilizzata per generare l'unità $U_W$. b) Il test di Hadamard viene utilizzato per valutare in modo efficiente la funzione obiettivo ei vincoli di bilanciamento della popolazione. Lo stato $n$-qubit $|psirangle = U_V|mathbf{0}rangle$ è preparato con un circuito quantistico variazionale $U_V$. Il $n+1$esimo qubit (ausiliario) viene inizializzato come $(|0rangle -i |1rangle)/sqrt{2}$. Successivamente, viene eseguito il Test di Hadamard: $U_W$ viene implementato come condizionato unitario controllato sul qubit ausiliario, che viene poi misurato per calcolare $langle sigma_{n+1} rangle_{W,t} = text{Im}[langle psi|U_W|psi rangle]$ o $langle sigma_{n+1} rangle_{P,t} = text{Im}[langle psi|U_P|psi rangle] $. c) I vincoli di ampiezza $M=2^n$ SDP sono applicati approssimativamente con solo $m sim text{poly}(n)$ vincoli di stringa Pauli. Questi vengono calcolati raccogliendo le misurazioni $n$-qubit Pauli-$z$ e utilizzando statistiche marginali per stimare i valori di aspettativa $m$.

Riepilogo popolare

I programmi semidefiniti ci consentono di approssimare un'ampia gamma di problemi difficili, inclusi i problemi NP-difficili. Uno di questi programmi semidefiniti è l'algoritmo di Goemans-Williamson, che può risolvere problemi difficili, come MaxCut. Introduciamo un algoritmo quantistico variazionale per l'algoritmo di Goemans-Williamson che utilizza solo $n{+}1$ qubit, un numero costante di preparazioni di circuiti e un numero polinomiale di valori di aspettativa per risolvere approssimativamente programmi semidefiniti con un numero esponenziale di variabili e vincoli. Codifichiamo il problema in un circuito quantistico (o unitario) e lo leggiamo su un singolo qubit ausiliario, una tecnica nota come test di Hadamard. Allo stesso modo, illustriamo che i vincoli del problema possono essere imposti da 1) un secondo test di Hadamard e 2) un numero polinomiale di vincoli di stringa di Pauli. Dimostriamo l'efficacia del nostro protocollo ideando un'implementazione quantistica efficiente dell'algoritmo di Goemans-Williamson per vari problemi NP-hard, tra cui MaxCut. Il nostro metodo supera le prestazioni di metodi classici analoghi su un diverso sottoinsieme di problemi MaxCut ben studiati.

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