Il comportamento sorprendente delle sequenze ricorsive | Rivista Quanti

In matematica, regole semplici possono sbloccare universi di complessità e bellezza. Prendiamo la famosa sequenza di Fibonacci, che è definita come segue: inizia con 1 e 1, e ogni numero successivo è la somma dei due precedenti. I primi numeri sono:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

Semplice, sì, ma questa ricetta senza pretese dà origine a un modello di vasta portata, che sembra essere intessuto nel tessuto stesso del mondo naturale. Lo si vede nelle spirali delle conchiglie del nautilus, nelle ossa delle nostre dita e nella disposizione delle foglie sui rami degli alberi. La sua portata matematica si estende alla geometria, all'algebra e alla probabilità, tra le altre aree. Otto secoli da quando la sequenza fu introdotta in Occidente – i matematici indiani la studiarono molto prima di Fibonacci – i numeri continuano ad attirare l’interesse dei ricercatori, a testimonianza di quanta profondità matematica possa essere alla base anche della sequenza numerica più elementare.

Nella sequenza di Fibonacci ogni termine si basa su quelli che lo precedono. Tali sequenze ricorsive possono esibire un’ampia gamma di comportamenti, alcuni meravigliosamente controintuitivi. Prendiamo, ad esempio, una curiosa famiglia di sequenze descritte per la prima volta negli anni '1980 dal matematico americano Michele Somos.

Come la sequenza di Fibonacci, una sequenza di Somos inizia con una serie di uno. A Somos-k la sequenza inizia con k di loro. Ogni nuovo termine di un Somos-k la sequenza è definita accoppiando i termini precedenti, moltiplicando ciascuna coppia insieme, sommando le coppie e quindi dividendo per il termine k posizioni indietro nella sequenza.

Le sequenze non sono molto interessanti se k è uguale a 1, 2 o 3: sono solo una serie di elementi ripetuti. Ma per k = 4, 5, 6 o 7 le sequenze hanno una proprietà strana. Anche se sono coinvolte molte divisioni, le frazioni non compaiono.

"Normalmente non abbiamo questo tipo di fenomeno", ha detto Somos. “È una ricorrenza apparentemente semplice, simile a Fibonacci. Ma c’è molto dietro questa semplicità.”

Altri matematici continuano a scoprire connessioni sorprendenti tra le sequenze di Somos e aree della matematica apparentemente non correlate. Un articolo pubblicato a luglio li utilizza per farlo costruire soluzioni a un sistema di equazioni differenziali utilizzato per modellare qualsiasi cosa, dalle interazioni predatore-preda alle onde che viaggiano nei plasmi ad alta energia. Sono anche usati per studiare la struttura degli oggetti matematici chiamati algebre dei cluster e sono collegati a curve ellittiche - che furono la chiave per decifrare l'Ultimo Teorema di Fermat.

Janice Maluf, uno studente laureato dell'Università dell'Illinois, ha pubblicato la prima prova delle sequenze Somos-4 e Somos-5 sono integrali (il che significa che tutti i loro termini sono numeri interi) nel 1992. Altre prove dello stesso risultato da parte di diversi matematici apparvero più o meno nello stesso periodo, insieme alle prove che le sequenze Somos-6 e Somos-7 sono integrali.

Questa strana proprietà delle sequenze di Somos stupì i matematici. "Le sequenze di Somos mi hanno incuriosito non appena ne sono venuto a conoscenza", ha detto Giacomo Prop, professore di matematica all'Università del Massachusetts, Lowell. “Il fatto che da Somos-4 a Somos-7 forniscano sempre numeri interi, non importa quanto lontano si vada, sembrava un miracolo se si osservavano le cose da una prospettiva ingenua. Quindi era necessaria una prospettiva diversa”.

Propp trovò una nuova prospettiva all’inizio degli anni 2000, quando lui e i suoi colleghi scoprirono che i numeri nella sequenza Somos-4 in realtà contano qualcosa. I termini nella sequenza corrispondono alle strutture trovate in alcuni grafici. Per alcuni grafici, è possibile accoppiare vertici (punti) con bordi (linee) in modo che ogni vertice sia connesso esattamente a un altro vertice: non ci sono vertici spaiati e nessun vertice connesso a più di un bordo. I termini nella sequenza Somos-4 contano il numero di diversi abbinamenti perfetti per una particolare sequenza di grafici.

La scoperta non solo ha offerto una nuova prospettiva sulle sequenze di Somos, ma ha anche introdotto nuovi modi di pensare e analizzare le trasformazioni dei grafici. Propp e i suoi studenti hanno festeggiato facendo mettere il risultato su a Maglietta.

"Per me gran parte del fascino della matematica è quando arrivi alla stessa destinazione attraverso percorsi diversi e sembra che stia accadendo qualcosa di miracoloso o di profondo", ha detto Propp. “La cosa interessante di queste sequenze è che ci sono vari punti di vista che spiegano perché si ottengono numeri interi. Lì ci sono profondità nascoste”.

La storia cambia per le sequenze Somos con numeri più alti. I primi 18 termini di Somos-8 sono numeri interi, ma il 19° termine è una frazione. Ogni sequenza Somos successiva contiene anche valori frazionari.

Un altro tipo di sequenza, sviluppata dal matematico tedesco Fritz Göbel negli anni '1970, costituisce un interessante contrappunto alle sequenze di Somos. IL nl'esimo termine della sequenza di Göbel è definito come la somma dei quadrati di tutti i termini precedenti, più 1, divisa per n. Come le sequenze di Somos, la sequenza di Göbel prevede la divisione, quindi potremmo aspettarci che i termini non rimangano interi. Ma per un po’ – man mano che la sequenza diventa enorme – sembra che lo siano.

Il 10° termine nella sequenza di Göbel è di circa 1.5 milioni, l'11° 267 miliardi circa. Il 43esimo termine è troppo grande per essere calcolato: ha circa 178 miliardi di cifre. Ma nel 1975, il matematico olandese Hendrik Lenstra ha dimostrato che, a differenza dei primi 42 termini, questo 43esimo termine non è un numero intero.

Le sequenze di Göbel possono essere generalizzate sostituendo i quadrati nella somma con cubi, quarte potenze o anche esponenti superiori. (Secondo questa convenzione, la sua sequenza originale è chiamata sequenza 2-Göbel.) Queste sequenze mostrano anche una tendenza sorprendente a iniziare con un tratto esteso di termini interi. Nel 1988, Henry Ibstedt ha mostrato che i primi 89 termini della sequenza 3-Göbel (che utilizza cubi invece di quadrati) sono interi, ma il 90esimo non lo è. Successive ricerche su altre sequenze di Göbel hanno trovato tratti ancora più lunghi. La sequenza di 31 Göbel, ad esempio, inizia con l'enorme cifra di 1,077 termini interi.

Nel mese di luglio, i matematici dell'Università di Kyushu Rinnosuke Matsuhira, Toshiki Matsusaka e Koki Tsuchida condiviso un documento mostrandolo per a k-Sequenza di Göbel, qualunque sia la scelta k, i primi 19 termini della sequenza sono sempre interi. Sono stati ispirati ad esaminare la questione da un manga giapponese chiamato Seisū-tan, che si traduce in "Il racconto dei numeri interi". UN cornice nel fumetto ha chiesto ai lettori di calcolare il valore minimo possibile di N_k, il punto in cui a k-La sequenza di Göbel cessa di produrre termini interi. I tre matematici si proponerono di rispondere alla domanda. "L'inaspettata persistenza dei numeri interi per una durata così estesa contraddice la nostra intuizione", ha detto Matsusaka. "Quando si verificano fenomeni contrari all'intuizione, credo che ci sia sempre bellezza presente."

Hanno trovato un modello di comportamento ripetuto come k aumenta. Concentrandosi su un numero finito di casi ripetitivi, hanno reso trattabile il calcolo e sono stati in grado di completare la dimostrazione.

Uno sguardo più attento alla sequenza N_k rivela un'altra sorpresa: N_k è primo molto più spesso di quanto ci si aspetterebbe se fosse puramente casuale. "Con il k-Sequenza di Göbel non è solo degno di nota il fatto che siano numeri interi", ha detto Riccardo Verde, un matematico dell'Università del Colorado. “Ciò che è notevole è che i numeri primi compaiono così spesso. Ciò fa sembrare che potrebbe succedere qualcosa di più profondo.

Anche se il nuovo documento ne presenta una prova N_k è sempre almeno 19, non si sa se è sempre finito, o se esiste a k per cui la sequenza contiene numeri interi indefinitamente. “N_k si comporta in modo misterioso. … C’è un desiderio fondamentale di comprenderne il modello sottostante”, ha detto Matsusaka. “Potrebbe essere simile alla gioia che provavo da bambino quando risolvevo i puzzle dati dagli insegnanti. Anche adesso, quei sentimenti di quel periodo persistono dentro di me.

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