A pochi minuti dall'inizio di una conferenza del 2018 presso l'Università del Michigan, Ian Tobasco prese un grosso pezzo di carta e lo accartocciò formando una palla di caos apparentemente disordinata. Lo sollevò affinché il pubblico lo vedesse, lo strinse per buona misura, poi lo allargò di nuovo.
"Ottengo una massa selvaggia di pieghe che emergono, e questo è il puzzle", ha detto. "Cosa seleziona questo modello da un altro modello più ordinato?"
Quindi ha sollevato un secondo grande pezzo di carta – questo pre-piegato in un famoso modello di origami di parallelogrammi noto come Miura-ori – e lo ha premuto piatto. La forza che ha usato su ogni foglio di carta era più o meno la stessa, ha detto, ma i risultati non avrebbero potuto essere più diversi. Il Miura-ori era diviso nettamente in regioni geometriche; la palla accartocciata era un groviglio di linee frastagliate.
"Si ha la sensazione che questa", ha detto, indicando la disposizione sparsa di pieghe sul lenzuolo spiegazzato, "sia solo una versione casuale e disordinata di questo." Indicò la Miura-ori pulita e ordinata. “Ma non abbiamo ancora accertato se ciò sia vero o meno”.
Effettuare tale collegamento richiederebbe niente di meno che stabilire regole matematiche universali per i modelli elastici. Tobasco lavora su questo da anni, studiando equazioni che descrivono materiali elastici sottili, materiali che rispondono a una deformazione cercando di ritornare alla loro forma originale. Colpisci un palloncino abbastanza forte e si formerà uno schema a stella di rughe radiali; togli il dito e si lisciano di nuovo. Premi una palla di carta accartocciata e si espanderà quando la rilasci (anche se non si accartoccerà completamente). Ingegneri e fisici hanno studiato come questi modelli emergono in determinate circostanze, ma a un matematico questi risultati pratici suggeriscono una domanda più fondamentale: è possibile capire, in generale, cosa seleziona un modello piuttosto che un altro?
Nel gennaio 2021 è stato pubblicato Tobasco un documento che ha risposto affermativamente a quella domanda - almeno nel caso di un foglio liscio, curvo ed elastico pressato in modo piatto (una situazione che offre un modo chiaro per esplorare la domanda). Le sue equazioni prevedono come le rughe apparentemente casuali contengano domini “ordinati”, che hanno uno schema ripetitivo e identificabile. E ha co-scritto un articolo, pubblicato il mese scorso, che mostra una nuova teoria fisica, fondata su una matematica rigorosa, in grado di prevedere modelli in scenari realistici.
In particolare, il lavoro di Tobasco suggerisce che l’increspatura, nelle sue molteplici forme, può essere vista come la soluzione a un problema geometrico. "È un bellissimo pezzo di analisi matematica", ha detto Stefan Müller del Centro Hausdorff di Matematica dell’Università di Bonn in Germania.
Presenta con eleganza, per la prima volta, le regole matematiche – e una nuova comprensione – dietro questo fenomeno comune. "Il ruolo della matematica qui non era quello di dimostrare una congettura che i fisici avevano già fatto", ha detto Roberto Kohn, matematico del Courant Institute della New York University e consulente della scuola di specializzazione di Tobasco, "ma piuttosto per fornire una teoria dove in precedenza non esisteva una comprensione sistematica".
Allungando
L'obiettivo di sviluppare una teoria delle rughe e dei modelli elastici è vecchio. Nel 1894, in una recensione in Natura, il matematico George Greenhill ha sottolineato la differenza tra i teorici (“Cosa dobbiamo pensare?”) e le applicazioni utili che potrebbero trovare (“Cosa dobbiamo fare?”).
Nel XIX e XX secolo, gli scienziati hanno compiuto grandi progressi in quest'ultimo ambito, studiando i problemi legati alle rughe in oggetti specifici che si deformavano. I primi esempi includono il problema della forgiatura di piastre metalliche lisce e curve per le navi marittime e il tentativo di collegare la formazione delle montagne al riscaldamento della crosta terrestre.
Più recentemente, matematici e fisici hanno ampliato lo sforzo di collegare teoria e osservazione a un’ampia gamma di situazioni, geometrie e materiali increspati. "Questo è andato avanti negli ultimi 10 anni, durante i quali prima facciamo esperimenti e poi cerchiamo di trovare la teoria per capirli", ha detto il matematico. Domenico Vella dell'Università di Oxford. “È solo di recente che abbiamo iniziato ad avere una corretta comprensione”.
Ci sono stati traguardi entusiasmanti. Nel 2015, Pedro Reis, un ingegnere meccanico del Massachusetts Institute of Technology, leggi fisiche descritte per i motivi geometrici che si formano sulle palline di silicone sgonfie. Il suo lavoro collegava quelle rughe allo spessore degli strati interni ed esterni del materiale elastico. Reis ha inoltre osservato che le rughe, invece di essere considerate difetti, potrebbero offrire opportunità per progettare nuovi comportamenti meccanici. Poi nel 2017, Vella ha condotto l'analisi delle instabilità di increspatura di un sottile film elastico sotto pressione, caratterizzando come il numero di rughe cambiava in base alla profondità del colpo iniziale e altri dettagli specifici.
Ma questi sviluppi hanno comunque risolto solo alcune parti del problema. Per una comprensione matematica più generale di come si formano le rughe, era necessario un approccio diverso. Tobasco sarebbe quello di portarlo avanti.
A seguire Curiosità
Quando era più giovane, Tobasco pensava che si sarebbe dedicato all'ingegneria aerospaziale. Si è laureato all'Università del Michigan nel 2011 nel settore, ma a quel punto era già stato portato a riflettere profondamente sul ragionamento matematico e sui sistemi fisici. Ha conseguito un dottorato in matematica, ma incolpa Joey Paulsen, un fisico ora alla Syracuse University, per averlo indirizzato sul percorso specifico delle rughe.
All’inizio della sua carriera, Paulsen, mentre studiava le proprietà di materiali insoliti, imparò a fabbricare e analizzare pellicole polimeriche ultrasottili utilizzando una tecnica chiamata spin-coating. Per prima cosa creerebbe uno speciale materiale liquido contenente tracce di polimero disciolto; quindi posizionava il materiale su un piatto rotante. La maggior parte del liquido evaporerebbe, mentre il polimero si diffonderebbe fino a raggiungere uno spessore uniforme prima di solidificarsi. Una volta creato il suo laboratorio a Syracuse, Paulsen imparò come adattare il rivestimento rotante per creare pellicole curve, come gusci di tartaruga ultrasottili.
Un giorno, ha posizionato alcune di queste pellicole curve sull'acqua ferma e ha fotografato come si depositavano sulla superficie. "Era puramente guidato dalla curiosità", ha detto. Le immagini hanno attirato l’attenzione di Tobasco durante un incontro informale con Paulsen nel 2017.
"Hanno dimostrato che è possibile ottenere questi modelli di rughe casuali e disordinati: quando hai fatto l'esperimento due volte, hai ottenuto due modelli diversi", ha detto Tobasco, che ora è assistente professore presso l'Università dell'Illinois, a Chicago. “Volevo vedere se potevo trovare un modo derivabile [per prevedere questi modelli] dall’elasticità, che incorporasse la forma del guscio. E che il modello non cambierebbe da un guscio all’altro”.
I modelli di rughe sono configurazioni con la minima energia possibile. Cioè, mentre la pellicola sottile si deposita su una superficie piana, si trasforma fino a trovare la disposizione delle rughe, disordinata o meno, che richiede la minima quantità di energia per essere mantenuta. "Puoi organizzare i modelli in base alla quantità di energia immagazzinata quando [il modello] si manifesta", ha detto Tobasco.
Guidato da questo principio guida, isolò alcune caratteristiche della pellicola che si rivelarono essere quelle che ne determinano la struttura, inclusa una misura della sua forma chiamata curvatura gaussiana. Una superficie con curvatura gaussiana positiva si piega allontanandosi da se stessa, come l'esterno di una palla. Le superfici con curvatura negativa, al contrario, sono a forma di sella, come una fiche Pringles: se vai in una direzione viaggi verso l'alto, ma se vai in una direzione diversa scendi.
Tobasco scoprì che le aree con curvatura gaussiana positiva producono un tipo di disposizione di domini ordinati e disordinati, e le aree con curvatura negativa ne producono altri tipi. "La geometria dettagliata non è così importante", ha detto Vella. "Dipende davvero solo dal segno della curvatura gaussiana."
Avevano sospettato che la curvatura gaussiana fosse importante per le rughe, ma Vella disse che era una sorpresa che i domini dipendessero così fortemente dal segno. Inoltre, la teoria di Tobasco si applica anche a un ampio spettro di materiali elastici, non solo alle forme di Paulsen. "È una bella costruzione geometrica che mostra dove appariranno le rughe", ha detto Vella. "Ma capire da dove viene questo è davvero profondo ed è in un certo senso sorprendente."
Paulsen acconsentì. "Ciò che fa meravigliosamente la teoria di Ian è darti l'intero schema, tutto in una volta."
Rughe della vita reale
All’inizio del 2018, Tobasco aveva quasi definito la sua teoria, ma anche se funzionava sulla carta, non poteva essere sicuro che sarebbe stata accurata nel mondo reale. Tobasco contattò Paulsen e gli chiese se fosse interessato a collaborare. "Qualcosa ha funzionato subito", ha detto Paulsen. "Con alcune delle previsioni di Ian, sovrapposte alle immagini sperimentali, abbiamo potuto vedere subito che erano allineate."
Alla conferenza sugli aspetti matematici della scienza dei materiali della Society for Industrial and Applied Mathematics di quell’anno, Tobasco fu presentato a Eleni Katifori, un fisico dell'Università della Pennsylvania che stava esplorando il problema della formazione delle rughe nei gusci confinati e costruendo un database di risultati. È stato un momento di serendipità. "Abbiamo potuto vedere i domini [nelle simulazioni] spiegati dal lavoro di Ian", ha detto. La partita è stata sorprendente. Già durante le prime discussioni era chiaro che la teoria di Tobasco, le immagini sperimentali di Paulsen e le simulazioni di Katifori descrivevano tutte gli stessi fenomeni. “Anche nelle fasi iniziali, quando non avevamo nulla di concreto, potevamo vedere il collegamento”.
Quella iniziale eccitazione suscitò rapidamente lo scetticismo. Sembrava quasi troppo bello per essere vero. "È un matematico e rende tutte queste cose non dimensionali", ha detto Paulsen, riferendosi a come le idee di Tobasco sulla curvatura potrebbero essere estese ben oltre i materiali piatti bidimensionali. “Stiamo davvero guardando lo stesso sistema? È d’accordo, ma avrebbe dovuto essere d’accordo?”
Nei due anni successivi, i tre ricercatori hanno discusso i dettagli, dimostrando che la teoria di Tobasco prevedeva davvero – esattamente – la disposizione delle rughe che Paulsen ha visto nei suoi esperimenti e Katifori ha trovato nei suoi modelli computerizzati. Il 25 agosto pubblicarono un articolo in Fisica della natura mostra come i tre approcci convergono tutti sulla stessa, semplice disposizione geometrica delle rughe. In particolare, hanno scoperto che i modelli rientrano in famiglie ordinate di triangoli isosceli che delimitavano domini di ordine e disordine. Inoltre, i risultati non si limitano ad astrazioni matematiche di materiali incredibilmente sottili, ma affrontano più ordini di grandezza di spessore.
Il loro lavoro suggerisce anche opportunità per espandere la teoria e le sue applicazioni. Katifori ha affermato che, come fisica, è interessata a sfruttare le previsioni per progettare nuovi materiali. "Voglio capire come progettare le superfici in modo che effettivamente auto-organizzino i motivi delle rughe in qualcosa che desideri."
Un'altra questione aperta è come generalmente la teoria possa essere applicata a diversi tipi di superfici curve. "È molto focalizzato su situazioni in cui [la curvatura gaussiana] è positiva o negativa, ma ci sono molte situazioni con alcune regioni che sono positive e altre negative", ha detto Vella.
Paulsen concorda sul fatto che si tratta di una possibilità entusiasmante, e Tobasco ha affermato che sta lavorando attivamente in questo settore e sta considerando altre forme di conchiglie, come quelle con buchi.
Ma Paulsen ha detto che la teoria, così com’è attualmente, è bella e sorprendente. "Se ti do una conchiglia, una forma di confine e questo semplice insieme di regole previste dalla teoria di Ian, allora puoi prendere una bussola e un righello e sostanzialmente disegnare le rughe", ha detto. “Non sarebbe dovuto andare così. Avrebbe potuto essere assolutamente orrendo.
