La ricerca per decodificare l'insieme di Mandelbrot, il famoso frattale della matematica | Rivista Quanti

A metà degli anni ’1980, come i lettori di cassette Walkman e le camicie tinte in cravatta, la sagoma a forma di insetto del set di Mandelbrot era ovunque.

Gli studenti l'hanno incollato sulle pareti dei dormitori di tutto il mondo. I matematici hanno ricevuto centinaia di lettere, richieste impazienti di stampe del set. (In risposta, alcuni di loro hanno prodotto cataloghi, completi di listini prezzi; altri hanno raccolto le caratteristiche più sorprendenti in libri.) I fan più esperti di tecnologia potrebbero rivolgersi al numero di agosto 1985 di Scientific American. Sulla copertina, il set di Mandelbrot si dispiega in viticci ardenti, con il bordo in fiamme; all'interno c'erano attente istruzioni di programmazione, che descrivevano in dettaglio come i lettori avrebbero potuto generare da soli l'immagine iconica.

A quel punto, quei tentacoli avevano esteso la loro portata ben oltre la matematica, fino ad angoli apparentemente non correlati della vita quotidiana. Negli anni successivi, il set di Mandelbrot avrebbe ispirato i dipinti più recenti di David Hockney e le composizioni più recenti di diversi musicisti: brani simili a fughe nello stile di Bach. Apparirebbe nelle pagine dei romanzi di John Updike e guiderebbe il modo in cui il critico letterario Hugh Kenner analizzò la poesia di Ezra Pound. Diventerebbe oggetto di allucinazioni psichedeliche e di un popolare documentario narrato dal grande fantascienza Arthur C. Clarke.

L'insieme di Mandelbrot è una forma speciale, con un contorno frattale. Usa un computer per ingrandire il confine frastagliato del set e incontrerai valli di cavallucci marini e sfilate di elefanti, galassie a spirale e filamenti simili a neuroni. Non importa quanto esplori in profondità, vedrai sempre quasi copie del set originale: una cascata infinita e vertiginosa di auto-somiglianza.

Quella autosomiglianza era un elemento centrale del libro più venduto di James Gleick Chaos, che ha consolidato il posto dell'insieme di Mandelbrot nella cultura popolare. "Conteneva un universo di idee", ha scritto Gleick. “Una moderna filosofia dell’arte, una giustificazione del nuovo ruolo della sperimentazione in matematica, un modo per portare i sistemi complessi davanti a un vasto pubblico.”

L'insieme di Mandelbrot era diventato un simbolo. Rappresentava la necessità di un nuovo linguaggio matematico, un modo migliore per descrivere la natura frattale del mondo che ci circonda. Ha illustrato come una profonda complessità possa emergere dalle regole più semplici, proprio come la vita stessa. (“Si tratta quindi di un vero messaggio di speranza”, John hubbard, uno dei primi matematici a studiare l'insieme, disse in un video del 1989, “che forse la biologia può davvero essere compresa nello stesso modo in cui possono essere comprese queste immagini.”) Nell'insieme di Mandelbrot, ordine e caos vivevano in armonia; determinismo e libero arbitrio potrebbero essere riconciliati. Un matematico ha ricordato di essersi imbattuto nel set da adolescente e di averlo visto come una metafora del complicato confine tra verità e menzogna.

Il set di Mandelbrot era ovunque, finché non lo fu più.

Nel giro di un decennio sembrò scomparire. I matematici passarono ad altri argomenti e il pubblico passò ad altri simboli. Oggi, a soli 40 anni dalla sua scoperta, il frattale è diventato un cliché, al limite del kitsch.

Ma una manciata di matematici si è rifiutata di lasciarlo andare. Hanno dedicato la loro vita a scoprire i segreti dell'insieme di Mandelbrot. Ora pensano di essere finalmente sul punto di capirlo veramente.

La loro storia è fatta di esplorazione, sperimentazione e di come la tecnologia modella il nostro modo di pensare e le domande che poniamo sul mondo.

I cacciatori di taglie

Nell’ottobre del 2023, 20 matematici provenienti da tutto il mondo si sono riuniti in un tozzo edificio di mattoni su quella che un tempo era una base di ricerca militare danese. La base, costruita alla fine del 1800 in mezzo ai boschi, era nascosta su un fiordo sulla costa nordoccidentale dell'isola più popolosa della Danimarca. Un vecchio siluro sorvegliava l'ingresso. Foto in bianco e nero, raffiguranti ufficiali della marina in uniforme, barche allineate al molo e test sottomarini in corso, adornavano le pareti. Per tre giorni, mentre un vento violento trasformava l’acqua fuori dalle finestre in creste schiumose, il gruppo ha assistito a una serie di discorsi, la maggior parte dei quali tenuti da due matematici della Stony Brook University di New York: Misha Lyubich ed Dima Dudko.

Tra il pubblico del workshop c'erano alcuni dei più intrepidi esploratori del set di Mandelbrot. Vicino alla parte anteriore sedeva Mitsuhiro Shishikura dell'Università di Kyoto, che negli anni '1990 dimostrò che il confine dell'insieme è quanto di più complicato possa essere. C'erano alcuni posti sopra Hiroyuki Inou, che insieme a Shishikura sviluppò importanti tecniche per studiare una regione particolarmente importante dell'insieme di Mandelbrot. Nell'ultima fila c'era Lupo Jung, il creatore di Mandel, il software preferito dai matematici per studiare in modo interattivo l'insieme di Mandelbrot. Erano presenti anche Arnaud Cheritat dell'Università di Tolosa, Carsten Petersen dell'Università di Roskilde (che organizzò il seminario) e molti altri che avevano dato un contributo importante alla comprensione dell'insieme di Mandelbrot da parte dei matematici.

E alla lavagna c'erano Lyubich, il massimo esperto mondiale sull'argomento, e Dudko, uno dei suoi più stretti collaboratori. Insieme ai matematici Jeremy Kahn ed Alex Kapiamba, hanno lavorato per dimostrare una congettura di vecchia data sulla struttura geometrica dell'insieme di Mandelbrot. Quella congettura, nota come MLC, è l’ultimo ostacolo nella decennale ricerca per caratterizzare il frattale, per domare la sua intricata natura selvaggia.

Costruendo e perfezionando un potente insieme di strumenti, i matematici hanno lottato per il controllo della geometria di “quasi tutto nell’insieme di Mandelbrot”, ha affermato Caroline Davis dell’Indiana University – ad eccezione di pochi casi rimanenti. "Misha, Dima, Jeremy e Alex sono come cacciatori di taglie, che cercano di rintracciare questi ultimi."

Lyubich e Dudko erano in Danimarca per aggiornare altri matematici sui recenti progressi verso la dimostrazione della MLC e sulle tecniche che avevano sviluppato per farlo. Negli ultimi 20 anni, i ricercatori si sono riuniti qui per workshop dedicati a svelare risultati e metodi nel campo dell'analisi complessa, lo studio matematico dei tipi di numeri e funzioni utilizzati per generare l'insieme di Mandelbrot.

Era una situazione insolita: i matematici mangiavano tutti i pasti insieme e parlavano e ridevano davanti a una birra fino alle prime ore del mattino. Quando finalmente decidevano di andare a dormire, si ritiravano nei letti a castello o nelle culle in piccole stanze che condividevano al secondo piano della struttura. (Al nostro arrivo, ci è stato detto di prendere lenzuola e federe da una pila e portarle di sopra per rifare i letti.) In alcuni anni, i partecipanti alla conferenza affrontano una nuotata nell'acqua gelida; più spesso vagano per i boschi. Ma per la maggior parte non c'è niente da fare oltre alla matematica.

In genere, mi ha detto uno dei partecipanti, il workshop attira molti matematici più giovani. Ma questa volta non è stato così, forse perché era la metà del semestre o, ipotizzò, a causa di quanto fosse difficile l'argomento. Ha confessato che in quel momento si sentiva un po' intimidito dalla prospettiva di tenere una conferenza davanti a così tanti grandi del settore.

Ma dato che la maggior parte dei matematici nell’area più ampia dell’analisi complessa non lavora più direttamente sull’insieme di Mandelbrot, perché dedicare un intero seminario alla MLC?

L'insieme di Mandelbrot è più di un frattale, e non solo in senso metaforico. Serve come una sorta di catalogo principale dei sistemi dinamici: di tutti i diversi modi in cui un punto potrebbe muoversi nello spazio secondo una semplice regola. Per comprendere questo catalogo principale, è necessario attraversare molti paesaggi matematici diversi. L'insieme di Mandelbrot è profondamente legato non solo alla dinamica, ma anche alla teoria dei numeri, alla topologia, alla geometria algebrica, alla teoria dei gruppi e persino alla fisica. "Interagisce con il resto della matematica in un modo meraviglioso", ha detto Sabyasachi Mukherjee del Tata Institute of Fundamental Research in India.

Per fare progressi sulla MLC, i matematici hanno dovuto sviluppare un insieme sofisticato di tecniche, quella che Chéritat definisce “una potente filosofia”. Questi strumenti hanno raccolto molta attenzione. Oggi costituiscono un pilastro centrale nello studio dei sistemi dinamici in modo più ampio. Si sono rivelati cruciali per risolvere una serie di altri problemi, problemi che non hanno nulla a che fare con l'insieme di Mandelbrot. E hanno trasformato l'MLC da una questione di nicchia in una delle congetture aperte più profonde e importanti del settore.

Lyubich, il matematico probabilmente maggiormente responsabile di aver plasmato questa “filosofia” nella sua forma attuale, sta in piedi con la testa alta e diritta e parla a bassa voce. Quando altri matematici del laboratorio si avvicinano a lui per discutere un concetto o fare una domanda, lui chiude gli occhi e ascolta attentamente, con le folte sopracciglia aggrottate. Risponde con attenzione, con accento russo.

Ma è anche pronto a scoppiare in una risata forte e calda e a fare battute ironiche. È generoso con il suo tempo e i suoi consigli. Ha "allevato parecchie generazioni di matematici", ha detto Mukherjee, uno degli ex postdoc di Lyubich e un frequente collaboratore. Secondo lui, chiunque sia interessato allo studio delle dinamiche complesse trascorre un po' di tempo a Stony Brook imparando da Lyubich. "Misha ha questa visione di come dovremmo affrontare un determinato progetto o di cosa guardare dopo", ha detto Mukherjee. “Ha questo grande quadro in mente. Ed è felice di condividerlo con le persone.

Per la prima volta Lyubich sente di poter vedere quel quadro generale nella sua totalità.

I combattenti del premio

Il set di Mandelbrot è iniziato con un premio.

Nel 1915, motivata dai recenti progressi nello studio delle funzioni, l'Accademia francese delle scienze bandì un concorso: entro tre anni avrebbe offerto un primo premio di 3,000 franchi per il lavoro sul processo di iterazione - lo stesso processo che avrebbe successivamente generare l'insieme di Mandelbrot.

L'iterazione è l'applicazione ripetuta di una regola. Inserisci un numero in una funzione, quindi utilizza l'output come input successivo. Continua a farlo e osserva cosa succede nel tempo. Mentre continui a ripetere la tua funzione, i numeri che ottieni potrebbero aumentare rapidamente verso l'infinito. Oppure potrebbero essere attratti verso un numero in particolare, come la limatura di ferro che si muove verso un magnete. Oppure finiscono per rimbalzare tra gli stessi due numeri, o tre, o mille, in un'orbita stabile dalla quale non potranno mai uscire. Oppure salta da un numero all'altro senza capo né coda, seguendo un percorso caotico e imprevedibile.

L’Accademia di Francia, e i matematici più in generale, avevano un altro motivo per interessarsi all’iterazione. Il processo ha svolto un ruolo importante nello studio dei sistemi dinamici: sistemi come la rotazione dei pianeti attorno al sole o il flusso di un flusso turbolento, sistemi che cambiano nel tempo secondo un insieme di regole specifiche.

Il premio ha ispirato due matematici a sviluppare un campo di studio completamente nuovo.

Il primo fu Pierre Fatou, che in un'altra vita avrebbe potuto essere un marinaio (una tradizione di famiglia), se non fosse stato per la sua cattiva salute. Intraprese invece la carriera nel campo della matematica e dell'astronomia, e nel 1915 aveva già dimostrato diversi importanti risultati in analisi. Poi c'era Gaston Julia, un giovane matematico promettente nato nell'Algeria occupata dai francesi i cui studi furono interrotti dalla prima guerra mondiale e dalla sua arruolamento nell'esercito francese. All’età di 22 anni, dopo aver subito un grave infortunio subito dopo aver iniziato il suo servizio – avrebbe indossato una cinghia di cuoio sul viso per il resto della sua vita, poiché i medici non furono in grado di riparare il danno – tornò a dedicarsi alla matematica, studiando alcune materie. il lavoro che avrebbe presentato per il premio dell'Accademia da un letto d'ospedale.

Il premio ha motivato sia Fatou che Julia a studiare cosa succede quando si ripetono le funzioni. Hanno lavorato in modo indipendente, ma hanno finito per fare scoperte molto simili. C'erano così tante sovrapposizioni nei loro risultati che anche adesso non è sempre chiaro come assegnare il credito. (Julia era più estroversa e quindi ricevette più attenzione. Alla fine vinse il premio; Fatou non si candidò nemmeno.) Grazie a questo lavoro, i due sono ora considerati i fondatori del campo delle dinamiche complesse.

“Complesso”, perché Fatou e Julia hanno iterato funzioni di numeri complessi – numeri che combinano un numero reale familiare con un cosiddetto numero immaginario (un multiplo di i, il simbolo che i matematici usano per denotare la radice quadrata di −1). Mentre i numeri reali possono essere disposti come punti su una linea, i numeri complessi vengono visualizzati come punti su un piano, in questo modo:

Fatou e Julia hanno scoperto che l'iterazione anche di funzioni semplici e complesse (non un paradosso nel regno della matematica!) potrebbe portare a comportamenti ricchi e complicati, a seconda del punto di partenza. Cominciarono a documentare questi comportamenti e a rappresentarli geometricamente.

Ma poi il loro lavoro cadde nell’oscurità per mezzo secolo. “La gente non sapeva nemmeno cosa cercare. Erano limitati anche solo sulle domande da porre”, ha detto Artur Avila, professore all'Università di Zurigo.

La situazione è cambiata quando la grafica computerizzata ha raggiunto la maggiore età negli anni '1970.

A quel punto, il matematico Benoît Mandelbrot si era guadagnato la reputazione di dilettante accademico. Si era dilettato in molti campi diversi, dall'economia all'astronomia, il tutto mentre lavorava al centro di ricerca IBM a nord di New York City. Quando fu nominato membro dell'IBM nel 1974, ebbe ancora più libertà di perseguire progetti indipendenti. Ha deciso di applicare la notevole potenza di calcolo del centro per far uscire dal letargo dinamiche complesse.

Inizialmente Mandelbrot usò i computer per generare il tipo di forme che Fatou e Julia avevano studiato. Le immagini codificavano informazioni su quando un punto di partenza, una volta ripetuto, sarebbe fuggito all'infinito e quando sarebbe rimasto intrappolato in qualche altro schema. I disegni di Fatou e Julia di 60 anni prima sembravano gruppi di cerchi e triangoli, ma le immagini generate al computer realizzate da Mandelbrot sembravano draghi e farfalle, conigli e cattedrali e teste di cavolfiore, a volte persino nuvole di polvere sconnesse. A quel punto, Mandelbrot aveva già coniato la parola “frattale” per forme che sembravano simili su scale diverse; la parola evocava la nozione di un nuovo tipo di geometria: qualcosa di frammentato, frazionario o rotto.

Le immagini che apparivano sullo schermo del suo computer - oggi conosciute come set di Julia - erano alcuni degli esempi di frattali più belli e complicati che Mandelbrot avesse mai visto.

Il lavoro di Fatou e Julia si è concentrato sulla geometria e sulla dinamica di ciascuno di questi insiemi (e le loro funzioni corrispondenti) individualmente. Ma i computer diedero a Mandelbrot la possibilità di pensare a un’intera famiglia di funzioni contemporaneamente. Poteva codificarli tutti nell'immagine che avrebbe portato il suo nome, anche se resta oggetto di dibattito se sia stato effettivamente il primo a scoprirla.

L'insieme di Mandelbrot si occupa delle equazioni più semplici che, se ripetute, fanno comunque qualcosa di interessante. Queste sono funzioni quadratiche della forma f(z) = z² + c. Fissare un valore di c - può essere qualsiasi numero complesso. Se si ripete l'equazione iniziando con z = 0 e scopri che i numeri che generi rimangono piccoli (o limitati, come dicono i matematici). c è nell'insieme di Mandelbrot. Se, d'altra parte, iteri e scopri che alla fine i tuoi numeri iniziano a crescere verso l'infinito, allora c non è nell'insieme di Mandelbrot.

È semplice dimostrare che i valori di c vicini allo zero sono nel set. Ed è altrettanto semplice mostrare i grandi valori di c non lo sono. Ma i numeri complessi sono all'altezza del loro nome: il confine dell'insieme è magnificamente intricato. Non vi è alcuna ragione ovvia per cui cambiare c di piccole quantità dovrebbe farti continuare a oltrepassare il confine, ma quando lo ingrandisci, appaiono infinite quantità di dettagli.

Inoltre, l'insieme di Mandelbrot si comporta come una mappa degli insiemi di Julia, come si può vedere nella figura interattiva qui sotto. Scegli un valore di c nell'insieme di Mandelbrot. Verrà collegato il set Julia corrispondente. Ma se lasci l'insieme di Mandelbrot, il corrispondente insieme di Julia verrà disconnesso dalla polvere.