Introduzione
Gina la studentessa di geometria è rimasta alzata fino a tardi ieri sera a fare i compiti mentre guardava The Great British Bake Off, così quando finalmente andò a letto la sua mente assonnata era ancora piena di dolcetti e bussole. Ciò ha portato a un sogno molto insolito.
Gina si è ritrovata a giudicare il Great Brownie Bake Off all'Imaginary University, una scuola in cui gli studenti imparano molta geometria ma pochissima aritmetica. Le squadre di studenti di Imaginary U avevano il compito di preparare il biscotto più grande che potevano, e spettava a Gina determinare il vincitore.
Il Team Alpha è stato il primo a finire e ha presentato con orgoglio il suo biscotto rettangolare per la giuria. Gina tirò fuori un righello e misurò il biscotto: era lungo 16 pollici e largo 9 pollici. Il Team Beta lo ha seguito rapidamente con il loro biscotto quadrato, che misurava 12 pollici su ciascun lato. Fu allora che iniziarono i guai.
"Il nostro biscotto è molto più lungo del tuo", ha detto il capitano del Team Alpha. "Il nostro è chiaramente più grande, quindi siamo i vincitori!"
"Ma il lato corto del tuo rettangolo è molto più corto del lato del nostro quadrato", ha detto un rappresentante del Team Beta. “La nostra piazza è chiaramente più grande. Abbiamo vinto!"
Gina trovava strano discutere di questo. "L'area del biscotto rettangolare è 9 volte 16, ovvero 144 pollici quadrati", ha detto. “L'area del biscotto quadrato è 12 per 12, che è anche 144 pollici quadrati. I brownies hanno le stesse dimensioni: è una cravatta.
Entrambe le squadre sembravano perplesse. “Non capisco cosa intendi per 'volte'”, ha detto uno studente a cui non era mai stata insegnata la moltiplicazione. «Neppure io», disse un altro. Un terzo ha detto: "Ho sentito parlare di studenti del Complex College che misurano l'area usando i numeri una volta, ma cosa significa?" L'Università Immaginaria era davvero un posto strano, anche come vanno i sogni.
Cosa doveva fare Gina? Come poteva convincere le squadre che i loro brownies avevano le stesse dimensioni se non capivano come misurare l'area e moltiplicare i numeri? Fortunatamente, Gina ha avuto un'idea geniale. "Dammi un coltello", disse.
Gina ha misurato 12 pollici lungo il lato lungo del biscotto rettangolare e ha fatto un taglio parallelo al lato corto. Ciò ha trasformato il rettangolo grande in due più piccoli: uno che misura 9 per 12 e l'altro 9 per 4. Con tre rapidi tagli ha trasformato il pezzo 9 per 4 in tre pezzi più piccoli 3 per 4. Un po 'di riorganizzazione ha provocato ooh e aah udibili dalla folla: Gina aveva trasformato il rettangolo in una replica esatta del quadrato.
Entrambe le squadre ora dovevano concordare sul fatto che i loro brownies avevano le stesse dimensioni. Sezionando uno e riorganizzandolo per formare l'altro, Gina ha dimostrato che i due brownies occupavano la stessa area totale. Dissezioni come questa sono state usate in geometria per migliaia di anni per mostrare che le figure hanno la stessa dimensione, e ci sono molti risultati notevoli sulle dissezioni e sull'equivalenza. Ancora oggi i matematici usano ancora la dissezione e il riarrangiamento per comprendere appieno quando certe forme sono equivalenti, portando ad alcuni sorprendenti risultati recenti.
Probabilmente hai visto dissezioni geometriche durante le lezioni di matematica durante lo sviluppo delle formule dell'area per le forme di base. Ad esempio, potresti ricordare che l'area di un parallelogramma è uguale alla lunghezza della sua base per la sua altezza: questo perché un parallelogramma può essere sezionato e riorganizzato in un rettangolo.
Questa dissezione mostra che l'area del parallelogramma è uguale all'area di un rettangolo con la stessa base e altezza, che, come sa chiunque non abbia frequentato l'Università Immaginaria, è il prodotto di questi due numeri.
A proposito di Imaginary U, il Great Brownie Bake Off si stava appena scaldando. Il Team Gamma si è avvicinato con un grosso biscotto triangolare. "Ecco il vincitore", hanno annunciato con coraggio. "Entrambi i nostri lati sono molto più lunghi degli altri."
Gina ha misurato i lati. "Anche questo ha la stessa area!" esclamò. “Questo è un triangolo rettangolo, e le gambe misurano 18 e 16, quindi l'area è…” Gina si fermò per un momento, notando gli sguardi sconcertati sui volti di tutti. "Oh non importa. Dammi solo il coltello.
Gina tagliò abilmente dal punto medio dell'ipotenusa al punto medio della gamba più lunga, quindi ruotò il triangolo appena formato in modo che formasse un rettangolo perfetto una volta inserito nel pezzo più grande.
"Questo è esattamente il nostro biscotto!" gridò il Team Alpha. Abbastanza sicuro, il rettangolo risultante era 9 per 16: esattamente la stessa dimensione del loro.
Il Team Beta aveva i suoi dubbi. "Ma come si confronta questo triangolo con il nostro quadrato?" chiese il caposquadra.
Gina era pronta per questo. "Sappiamo già che il rettangolo e il quadrato hanno le stesse dimensioni, quindi per transitività, il triangolo e il quadrato hanno le stesse dimensioni." La transitività è una delle proprietà più importanti dell'uguaglianza: dice che se a = b ed b = c, poi a = c. Gina ha continuato: "Se l'area del primo biscotto è uguale all'area del secondo, e l'area del secondo biscotto è uguale all'area del terzo, anche il primo e il terzo biscotto devono avere aree uguali".
Ma Gina si stava divertendo troppo con le dissezioni per fermarsi qui. "Oppure potremmo semplicemente fare qualche altro taglio."
Prima Gina ha ruotato il rettangolo che prima era un triangolo. Poi l'ha tagliato usando esattamente lo stesso schema che aveva usato sul rettangolo del Team Alpha.
Poi ha mostrato come questa nuova dissezione del triangolo del Team Gamma potesse essere trasformata nel quadrato del Team Beta, esattamente come aveva fatto con il rettangolo del Team Alpha.
In questa situazione diciamo che il triangolo e il quadrato sono "forbici congruenti": puoi immaginare di usare le forbici per tagliare una figura in un numero finito di pezzi che possono poi essere riorganizzati per formare l'altra. Nel caso del triangolo e del quadrato, i brownies mostrano esattamente come funziona questa congruenza delle forbici.
Si noti che il modello funziona in entrambe le direzioni: potrebbe essere utilizzato per trasformare il triangolo nel quadrato o il quadrato nel triangolo. In altre parole, la congruenza delle forbici è simmetrica: se la forma A è forbici congruente alla forma B, anche la forma B è forbici congruente alla forma A.
In effetti, l'argomento precedente che coinvolge il triangolo, il rettangolo e il quadrato mostra che anche la congruenza delle forbici è transitiva. Poiché il triangolo è congruente a forbice al rettangolo e il rettangolo è congruente a forbice al quadrato, il triangolo è congruente a forbice al quadrato. La prova è nei motivi: basta sovrapporli sulla forma intermedia, come è stato fatto con il rettangolo sopra.
Se tagli il triangolo in pezzi che fanno il rettangolo, poi tagli il rettangolo in pezzi che fanno il quadrato, i pezzi risultanti possono essere usati per formare una qualsiasi delle tre forme.
Il fatto che la congruenza a forbice sia transitiva è alla base di un risultato sorprendente: se due poligoni hanno la stessa area, allora sono congruenti a forbice. Ciò significa che, dati due poligoni qualsiasi con la stessa area, puoi sempre tagliarne uno in un numero finito di pezzi e riorganizzarli per formare l'altro.
La dimostrazione di questo straordinario teorema è anche straordinariamente semplice. Per prima cosa, taglia ogni poligono in triangoli.
Secondo, trasforma ogni triangolo in un rettangolo, in modo simile a come Gina ha riorganizzato il biscotto triangolare.
Ora arriva la parte tecnica complicata: trasforma ogni rettangolo in un nuovo rettangolo largo un'unità.
Per fare ciò, inizia a tagliare pezzi dal rettangolo largo un'unità.
Se riesci a tagliare il rettangolo in un numero intero di pezzi di larghezza 1, il gioco è fatto: impilali uno sopra l'altro. Altrimenti, smetti di tagliare quando l'ultimo pezzo è largo tra 1 e 2 unità e impila il resto uno sopra l'altro.
Non preoccuparti se il rettangolo stesso è largo meno di 1 unità: taglialo a metà e usa i due pezzi per creare un nuovo rettangolo lungo il doppio e spesso la metà. Ripeti se necessario finché non ottieni un rettangolo largo tra 1 e 2 unità.
Ora immagina che questo rettangolo finale abbia un'altezza h e larghezza w, con 1 w < 2. Tagliamo quel rettangolo e lo riorganizziamo in un rettangolo con larghezza 1 e altezza h × w. Per fare ciò, sovrapponi il file h × w rettangolo con il desiderato hw × 1 rettangolo come questo.
Quindi tagliare da un angolo all'altro lungo la linea tratteggiata e tagliare il piccolo triangolo in basso a destra seguendo il bordo destro del hw × 1 rettangolo.
Questo taglia il h × w rettangolo in tre pezzi che possono essere riorganizzati in un hw × 1 rettangolo. (Giustificare questa dissezione finale richiede alcuni argomenti intelligenti che coinvolgono triangoli simili. Vedere gli esercizi seguenti per i dettagli.)
Infine, metti quest'ultimo rettangolo in cima alla pila e hai trasformato con successo questo poligono - in realtà, qualsiasi poligono - in un rettangolo di larghezza 1.
Ora, se l'area del poligono originale fosse A, allora l'altezza di questo rettangolo deve essere A, quindi ogni poligono con area A è una forbice congruente a un rettangolo di larghezza 1 e altezza A. Ciò significa che se due poligoni hanno un'area A, allora sono entrambe forbici congruenti allo stesso rettangolo, quindi per transitività sono forbici congruenti tra loro. Questo mostra che ogni poligono con area A è forbice congruente ad ogni altro poligono con area A.
Ma anche questo potente risultato non è stato sufficiente per completare con successo la valutazione del Brownie Bake Off della Imaginary University. C'era ancora una voce rimasta e nessuno si è sorpreso di ciò con cui si è presentato il Team Pi.
Nel momento in cui Gina ha visto arrivare quel cerchio, si è svegliata dal sogno sudando freddo. Sapeva che era impossibile tagliare un cerchio in un numero finito di pezzi e riorganizzarli per formare un quadrato, o un rettangolo, o qualsiasi poligono. Nel 1964 i matematici Lester Dubins, Morris Hirsch e Jack Karush dimostrarono che un cerchio non è forbice congruente a nessun poligono. Il sogno di Gina si era trasformato in un incubo geometrico.
Ma come sembrano sempre fare, i matematici hanno trasformato questo ostacolo in nuova matematica. Nel 1990 Miklós Laczkovich dimostrò che è possibile tagliare un cerchio e riorganizzarlo in un quadrato, purché si possano usare pezzi infinitamente piccoli, infinitamente sconnessi, infinitamente frastagliati che non potrebbero essere prodotti con un paio di forbici.
Per quanto sorprendente ed eccitante fosse il risultato di Laczkovich, ha solo dimostrato che una tale scomposizione è teoricamente possibile. Non spiegava come costruire i pezzi, solo che potevano esistere. Ed è qui che sono entrati Andras Máthé, Oleg Pikhurko e Jonathan Noel: all'inizio del 2022 hanno pubblicato un giornale in cui corrispondevano alla realizzazione di Laczkovich, ma con pezzi che è possibile visualizzare.
Sfortunatamente, non sarai in grado di utilizzare il loro risultato per sistemare i brownie al forno. Le forbici da sole non possono produrre il 10200 pezzi necessari alla loro decomposizione. Ma è un altro passo avanti nel rispondere a una lunga serie di domande che iniziarono quando Archimede inventò o scoprì per la prima volta $latex pi$. E ci fa muovere verso l'invenzione, o la scoperta, di nuova matematica che le generazioni precedenti non potevano sognare.
esercizi
1. Spiega come sappiamo che nella derivazione della formula dell'area per un parallelogramma, il triangolo che abbiamo tagliato si adatta perfettamente allo spazio sull'altro lato del parallelogramma.
2. Spiega perché qualsiasi triangolo può essere sezionato in un rettangolo.
Per gli esercizi 3 e 4, considera il diagramma usato per mostrare che an h × w rettangolo è forbice congruente ad an hw × 1 rettangolo, con punti etichettati.
3. Spiega perché $triangolo in lattice$ XYQ è simile a $latextriangolo$ ABX. Cosa fa questo la lunghezza di QY?
4. Spiega perché $triangolo in lattice$ PCX è congruente al $triangolo di lattice$ AZQ.
Fare clic per la risposta 1:
Ci sono molti modi per dimostrare che i due triangoli sono congruenti. Un modo è notare che la distanza tra le linee parallele è costante, quindi i due triangoli rettangoli hanno una coppia di gambe congruenti.
E in un parallelogramma, i lati opposti sono congruenti, il che rende i due triangoli congruenti per il teorema di congruenza del triangolo ipotenusa-gambo. Potresti anche argomentare usando il teorema di congruenza del triangolo angolo-lato-angolo.
Fare clic per la risposta 2:
Uno dei grandi risultati elementari nella geometria dei triangoli è il teorema del segmento medio del triangolo: se si collegano i punti medi di due lati di un triangolo, il segmento di linea risultante è parallelo e lungo la metà del terzo lato.
Poiché il segmento è parallelo al terzo lato, gli angoli 1 e 3 sono angoli corrispondenti congruenti. E gli angoli 1 e 2 sono angoli interni dello stesso lato, quindi sono supplementari, il che significa che le loro misure si sommano a 180 gradi. Poiché $latexangle$ 1 è congruente a $latexangle$ 3, ciò significa che anche gli angoli 3 e 2 sono supplementari.
Quindi, quando capovolgi il triangolo superiore intorno e verso destra, i lati congruenti combaceranno perfettamente e gli angoli 2 e 3 formeranno una linea retta.
Questo trasforma il triangolo in un parallelogramma, che, come già sappiamo, può essere trasformato in un rettangolo.
Fare clic per la risposta 3:
Dal BXYZ è un rettangolo, entrambi $latexangle$ ZBC e $latexangle$ ZYX sono angoli retti. E poiché i lati opposti di un rettangolo sono paralleli, questo rende $latexangle$ YQX congruente a $latexangle$ ASB, in quanto sono angoli interni alterni. Quindi $latextriangolo$ XYQ è simile a $latextriangolo$ ABX per somiglianza angolo-angolo. In triangoli simili i lati sono in proporzione, quindi $latex frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$. Quindi, $latex frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$, e così via QY = 1. Si noti che, poiché $latexangle$ ADC è un angolo retto e $angolo lattice$ DAP e $angolo lattice$ YQX sono angoli corrispondenti congruenti, questo fa $triangolo di lattice$ DAP congruente a $latextriangolo$ YQX. Ciò dimostra che puoi far scorrere $latextriangle$ YQX nel punto attualmente occupato da $latex triangle$ DAP, come è necessario nell'argomento della congruenza delle forbici.
Fare clic per la risposta 4:
Nota che $latex angle$ AZQ e $latexangle$ PCX sono entrambi angoli retti e quindi congruenti. Usando le proprietà delle rette parallele come nell'esercizio 3, possiamo anche vedere che $latex angle$ QZ e $angolo lattice$ PXC sono angoli corrispondenti congruenti. Anche nell'esercizio 3, l'abbiamo dimostrato QY = 1. Questo fa QZ = w − 1, che è esattamente cosa CX è uguale a. Pertanto, $triangolo di lattice$ PCX è congruente al $triangolo di lattice$ AZQ dalla congruenza triangolare angolo-lato-angolo. Ciò giustifica l'altra parte dell'argomentazione secondo cui an h × w rettangolo è forbice congruente ad an hw × 1 rettangolo.
