Il teorico che vede la matematica nell'arte, nella musica e nella scrittura | Rivista Quanti

Sarah Hart ha sempre avuto un occhio per i modi nascosti in cui la matematica permea altri campi. Da bambina rimase colpita dall'ubiquità del numero 3 nelle sue fiabe. La madre di Hart, un’insegnante di matematica, la incoraggiava a cercare schemi, dandole enigmi matematici per passare il tempo.

Hart ha continuato a conseguire un dottorato in teoria dei gruppi nel 2000 e in seguito è diventato professore alla Birkbeck, Università di Londra. La ricerca di Hart ha indagato la struttura dei gruppi di Coxeter, versioni più generali di strutture che catalogano le simmetrie di poligoni e prismi. Nel 2023 ha pubblicato C'era una volta Prime, un libro sui modi in cui la matematica appare nella narrativa e nella poesia. "Dato che noi esseri umani facciamo parte dell'universo, è naturale che le nostre forme di espressione creativa, tra cui la letteratura, manifestino anche un'inclinazione per modelli e strutture", ha scritto Hart. “La matematica, quindi, è la chiave per una prospettiva completamente diversa sulla letteratura”.

Dal 2020 Hart è professore di geometria al Gresham College di Londra. Gresham non ha corsi tradizionali; invece, i suoi professori tengono ciascuna diverse conferenze pubbliche all'anno. Hart è la prima donna a ricoprire la posizione di 428 anni, che fu occupata nel XVII secolo da Isaac Barrow, famoso per aver insegnato a un altro Isaac (Newton). Più recentemente, è stato detenuto da Roger Penrose, un matematico che ha vinto il Premio Nobel per la fisica 17. Hart ha parlato con Quanta su come la matematica e l’arte si influenzano a vicenda. L'intervista è stata condensata e modificata per chiarezza.

Perché hai scelto di scrivere il tuo libro sui legami tra matematica e letteratura?

Questi collegamenti sono meno esplorati e meno conosciuti di quelli tra la matematica e, ad esempio, la musica. Le connessioni tra matematica e musica sono state celebrate almeno fin dai Pitagorici. Tuttavia, nonostante vi siano stati scritti e ricerche accademiche su libri, autori o generi specifici, non avevo visto un libro per un pubblico generale sulle connessioni più ampie tra matematica e letteratura.

Come dovrebbero pensare la matematica gli artisti?

C’è molto terreno comune tra la matematica e, per così dire, le altre arti. In letteratura, così come nella musica e nell’arte, non si inizia mai dal nulla. Se sei un poeta, stai scegliendo: avrò un haiku con i suoi vincoli numerici ben precisi, o scriverò un sonetto che abbia un certo numero di versi, un certo schema di rima, un certo metro? Anche qualcosa che non ha uno schema di rima avrà interruzioni di riga, un ritmo. Ci saranno vincoli che ispirano la creatività, che ti aiutano a concentrarti.

In matematica, abbiamo la stessa cosa. Abbiamo alcune regole di base. All'interno di esso possiamo esplorare, giocare e dimostrare teoremi. Ciò che la matematica può fare per le arti è aiutare a trovare nuove strutture, mostrare quali sono le possibilità. Come sarebbe un brano musicale che non avesse un'armatura di chiave? Possiamo pensare ai 12 toni e arrangiarli in modo diverso, ed ecco tutti i modi per farlo. Ecco diversi schemi di colori che puoi ideare, ecco diverse forme di metro poetico.

Qual è un esempio di come la matematica è stata influenzata dalla letteratura?

Migliaia di anni fa in India i poeti cercavano di pensare ai possibili metri. Nella poesia sanscrita ci sono sillabe lunghe e corte. Il lungo è il doppio del corto. Se vuoi calcolare quanti ce ne sono che richiedono una durata di tempo pari a tre, puoi avere breve, breve, breve o lungo, breve o breve, lungo. Ci sono tre modi per farne tre. Esistono cinque modi per creare una frase di quattro lunghezze. E ci sono otto modi per creare una frase di cinque lunghezze. Questa sequenza che ottieni è quella in cui ogni termine è la somma dei due precedenti. Riproduci esattamente quella che oggi chiamiamo la sequenza di Fibonacci. Ma questo avvenne secoli prima di Fibonacci.

Che ne dici dell’influenza della matematica sulla letteratura?

Una sequenza abbastanza semplice, ma che funziona in modo molto, molto potente, è il libro di Eleanor Catton I luminari, uscito nel 2013. Ha utilizzato la sequenza che va 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Ogni capitolo di quel libro è lungo la metà di quello precedente. Crea questo effetto davvero affascinante, perché il ritmo sta accelerando e le scelte dei personaggi sono sempre più limitate. Tutto precipita verso la sua conclusione. Alla fine, i capitoli sono estremamente brevi.

Un altro esempio di struttura matematica leggermente più complicata è quello che viene chiamato quadrato latino ortogonale. Un quadrato latino è un po' come una griglia di sudoku. In questo caso, sarebbe una griglia 10 x 10. Ogni numero appare esattamente una volta in ogni riga e in ogni colonna. I quadrati latini ortogonali sono formati sovrapponendo due quadrati latini, quindi in ogni spazio c'è una coppia di numeri. La griglia formata dal primo numero di ciascuna coppia è un quadrato latino, così come lo è la griglia formata dal secondo numero di ciascuna coppia. Inoltre, nella griglia delle coppie, nessuna coppia compare più di una volta.

Questi sono molto utili in tutti i modi. Puoi ricavarne codici di correzione degli errori, utili per inviare messaggi lungo canali rumorosi. Ma una delle cose più belle di questi particolari, la dimensione 10, è che uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, Leonhard Euler, pensava che non potessero esistere. È stata una delle pochissime volte in cui ha commesso un errore; ecco perché è stato così emozionante. Molto tempo dopo aver formulato questa congettura secondo cui queste cose non potevano esistere per dimensioni particolari, questa congettura fu confutata e nel 1959 furono trovati quadrati di queste dimensioni. coprire of Scientific American quell'anno.

Anni dopo, uno scrittore francese, Georges Perec, stava cercando una struttura da utilizzare per il suo libro Vita: un manuale per l'utente. Scelse uno di questi quadrati latini ortogonali. Ha ambientato il suo libro in un condominio parigino, che aveva 100 stanze, un quadrato 10 x 10. Ogni capitolo era in una stanza diversa e ogni capitolo aveva il suo sapore unico. Aveva elenchi di 10 cose: vari tessuti, colori, quel genere di cose. Ogni capitolo utilizzerebbe una combinazione unica. È un modo davvero affascinante di strutturare il libro.

Apprezzi chiaramente la buona scrittura. Cosa ne pensi della qualità della scrittura negli articoli di ricerca di matematica?

È molto variabile! So che diamo valore alla brevità, ma penso che a volte questa sia portata troppo oltre. Ci sono troppi documenti che non contengono esempi utili.

Ciò che in realtà apprezziamo è un argomento ingegnoso che, poiché copre tutti i casi contemporaneamente in modo così intelligente, è anche breve ed elegante. Questo non equivale a comprimere il tuo lungo argomento in uno spazio più piccolo del necessario ricoprendo la pagina di sigilli arcani che hai creato per rendere la notazione più breve, ma che non solo il lettore ma probabilmente anche tu stesso dovrai disimballare faticosamente di nuovo per dare un senso a quello che sta succedendo.

Non prestiamo sufficiente attenzione alle notazioni utili che ricordano al lettore cosa si intende. La giusta notazione può trasformare assolutamente un pezzo di matematica e può anche creare spazio per generalizzazioni. Pensa alla transizione, storicamente, dallo scrivere un oggetto sconosciuto, il suo quadrato e il suo cubo con tre lettere diverse, e quanto sia più probabile, e persino possibile, iniziare a pensare a  quando hai iniziato a scrivere ,  e  invece.

Vedete un'evoluzione nei collegamenti tra matematica e arte?

Ci sono sempre cose nuove. I frattali erano ovunque negli anni ’1990. Su ogni parete del dormitorio studentesco c'era una foto del set di Mandelbrot o qualcosa del genere. Tutti dicevano: "Oh, è emozionante, i frattali". Ci sono, ad esempio, musicisti e compositori che utilizzano sequenze frattali nelle loro composizioni.

Quando avevo circa 16 anni, c'erano queste nuove cose chiamate calcolatrici grafiche. Molto eccitante. E un'amica di mia madre mi ha regalato questo programma che poteva disegnare un insieme di Mandelbrot su una di queste piccole calcolatrici grafiche. Aveva circa, non so, 200 pixel. Hai programmato questa cosa e poi ho dovuto lasciarla per 12 ore. Traccerebbe questi 200 punti alla fine. Quindi anche semplici scolari potevano impegnarsi in questo tra la fine degli anni ’80 e l’inizio degli anni ’90 e produrre queste immagini da soli.

Sembra che anche quando eri a scuola fossi già molto interessato alla matematica hardcore.

 Penso di essermi interessato da prima ancora di sapere che ciò significava che ero matematico. Ad esempio, ho sempre creato modelli da quando ero un bambino piccolino.

Quando ero piccola, il mio giocattolo preferito erano delle semplicissime piastrelle di legno dipinte. Sono venuti in tutti i colori diversi. Li trasformavo in modelli e poi li guardavo con orgoglio per un giorno o due, e poi ne creavo un altro.

Quando diventavo un po’ più grande, giocavo con i numeri e osservavo gli schemi. La mamma sarebbe quella da cui andrei e direi: "Sono annoiato". E poi diceva: "Bene, puoi capire qual è lo schema del numero di punti necessari per formare un triangolo?" o qualunque cosa fosse. Mi farebbe riscoprire i numeri triangolari o qualcosa del genere, e ne sarei molto emozionato.

La mia povera madre, quante invenzioni straordinarie con cui andrei da mia madre. “Ho sviluppato un modo completamente nuovo di fare qualcosa!” E lei diceva: "OK, è molto carino. Ma, si sa, Cartesio ci pensò secoli fa. E poi partirei; Qualche giorno dopo mi è venuta un’altra idea straordinaria. «È adorabile, caro. Ma gli antichi greci avevano quello”.

Ricordi qualche momento particolarmente soddisfacente della tua carriera di ricercatore di matematica?

I momenti in cui finalmente capisci qual è lo schema che stai vedendo sono sempre soddisfacenti, così come quando capisci come completare una dimostrazione con cui hai lottato. I miei ricordi più forti di quei sentimenti di gioia, probabilmente perché erano le prime volte che li provavo, risalgono all’inizio della mia carriera di ricercatore. Ma è comunque una bella sensazione ricevere quel “aha”, quando finalmente capisci cosa sta succedendo.

Molto presto stavo cercando di dimostrare qualcosa sugli infiniti gruppi di Coxeter. Avevo risolto alcuni casi e, esaminando il resto, ho trovato una tecnica che avrebbe funzionato se un criterio specifico fosse stato soddisfatto. Puoi scrivere queste relazioni in un grafico, quindi ho iniziato a mettere insieme una raccolta di grafici a cui poteva essere applicata la mia tecnica. Questo avvenne nel periodo di Natale di un anno.

Dopo un po', la mia serie di immagini ha iniziato ad assomigliare a una particolare serie di grafici elencati in un libro sui gruppi di Coxeter che era nel mio ufficio, e ho iniziato a sperare che fosse proprio questa serie di grafici. Se lo fosse, ciò riempirebbe il vuoto nella mia dimostrazione e il mio teorema sarebbe completo. Ma non ho potuto verificarlo con certezza finché non sono tornato all'università dopo Natale: questo prima che potessi semplicemente cercare tutto su Google. Penso che l'anticipazione di dover aspettare per confermare la mia intuizione abbia reso il tutto ancora migliore quando sono arrivato al libro e ho confrontato la mia serie di diagrammi scritti a mano con quelli nel libro, ed erano davvero una corrispondenza.

Cosa ne pensi della questione se la matematica viene creata o scoperta? Quasi nessuno sosterrebbe che qualcuno dei romanzieri di cui scrivi nel tuo libro abbia “scoperto” i loro romanzi. È questa una differenza fondamentale tra matematica e letteratura oppure no?

Probabilmente lo è, anche se ci sono ancora alcune risonanze.

Fare matematica sembra una scoperta. Se stessimo inventando la matematica, sicuramente non sarebbe così difficile dimostrare le cose! A volte desideriamo disperatamente che qualcosa sia vero, e non lo è. Non possiamo evitare le conseguenze della logica, suppongo.

Sembra tutto una scoperta quando lo fai. Alcune scelte rispecchiano ciò che sperimentiamo nel mondo reale, come gli assiomi della geometria con cui lavoriamo, che vengono scelti perché sembra essere più o meno la realtà, anche se anche lì non esiste un "punto" o un "punto". linea” (perché non possiamo disegnare qualcosa che non occupi spazio, e una linea in geometria non ha larghezza e si estende all'infinito).

In una certa misura, ci sono paralleli a questo continuum in letteratura. Una volta definite le regole di un sonetto, ti sarà difficile scriverne uno la cui prima riga termini con "arancione" o "camino".

Ma non posso trattenermi dal condividere qualcosa che J.R.R. Tolkien ha detto della scrittura Lo Hobbit: “Tutto è iniziato mentre leggevo le prove d'esame per guadagnare qualche soldo extra. … Beh, un giorno mi sono trovato su una pagina bianca in un libro d’esame e l’ho scarabocchiato sopra. “In un buco nel terreno viveva uno hobbit”. Non sapevo altro di quelle creature, e passarono anni prima che la sua storia prendesse forma. Non so da dove venga questa parola”.

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