Introduzione
La teoria dei nodi è nata come un tentativo di comprendere la struttura fondamentale dell'universo. Nel 1867, quando gli scienziati stavano cercando ansiosamente di capire cosa potesse spiegare tutti i diversi tipi di materia, il matematico e fisico scozzese Peter Guthrie Tait mostrò al suo amico e connazionale Sir William Thomson il suo dispositivo per generare anelli di fumo. Thomson - che in seguito sarebbe diventato Lord Kelvin (omonimo della scala della temperatura) - rimase affascinato dalle forme seducenti degli anelli, dalla loro stabilità e dalle loro interazioni. La sua ispirazione lo portò in una direzione sorprendente: forse, pensò, proprio come gli anelli di fumo erano vortici nell'aria, gli atomi erano anelli di vortice annodati nell'etere luminifero, un mezzo invisibile attraverso il quale, secondo i fisici, la luce si propagava.
Sebbene questa idea dell'era vittoriana possa ora sembrare ridicola, non è stata un'indagine frivola. Questa teoria del vortice aveva molto da consigliare: l'assoluta diversità dei nodi, ciascuno leggermente diverso, sembrava rispecchiare le diverse proprietà dei molti elementi chimici. La stabilità degli anelli di vortice potrebbe anche fornire la permanenza richiesta dagli atomi.
La teoria del vortice ha preso piede nella comunità scientifica e ha ispirato Tait a iniziare a tabulare tutti i nodi, creando ciò che sperava sarebbe stato equivalente a una tabella di elementi. Naturalmente, gli atomi non sono nodi e non c'è etere. Verso la fine del 1880 Thomson stava gradualmente abbandonando la sua teoria del vortice, ma a quel punto Tait fu affascinato dall'eleganza matematica dei suoi nodi e continuò il suo progetto di tabulazione. Nel processo, ha stabilito il campo matematico della teoria dei nodi.
Conosciamo tutti i nodi: tengono le scarpe ai piedi, le barche fissate ai moli e gli alpinisti dalle rocce sottostanti. Ma quei nodi non sono esattamente ciò che i matematici (compreso Tait) chiamerebbero un nodo. Sebbene una prolunga aggrovigliata possa sembrare annodata, è sempre possibile districarla. Per ottenere un nodo matematico, devi collegare insieme le estremità libere del cavo per formare un anello chiuso.
Poiché i fili di un nodo sono flessibili come una corda, i matematici vedono la teoria dei nodi come un sottocampo di topologia, lo studio delle forme malleabili. A volte è possibile districare un nodo in modo che diventi un semplice cerchio, che chiamiamo "scioglimento". Ma più spesso, districare un nodo è impossibile.
I nodi possono anche combinarsi per formare nuovi nodi. Ad esempio, combinando un semplice nodo noto come trifoglio con la sua immagine speculare si ottiene un nodo quadrato. (E se unisci due nodi trilobati identici, fai un nodo della nonna.)
Usando la terminologia del mondo dei numeri, i matematici affermano che il trifoglio è un nodo primo, il nodo quadrato è composto e, come il numero 1, il nodo non è nessuno dei due. Questa analogia fu ulteriormente supportata nel 1949 quando Horst Schubert dimostrò che ogni nodo è primo o può essere scomposto in modo univoco in nodi primi.
Un altro modo per creare nuovi nodi è intrecciare due o più nodi, formando un collegamento. Gli anelli Borromei, così chiamati perché compaiono sullo stemma della Casa Italiana dei Borromeo, ne sono un semplice esempio.
Thomson e Tate non furono i primi a vedere i nodi in modo matematico. Già nel 1794 Carl Friedrich Gauss scriveva e disegnava esempi di nodi nel suo taccuino personale. E lo studente di Gauss, Johann Listing, scrisse dei nodi nella sua monografia del 1847 Studi preliminari sulla topologia ("Studi preliminari di topologia") - che è anche l'origine del termine topologia.
Ma Tait è stato il primo studioso a lavorare su quello che è diventato il problema fondamentale nella teoria dei nodi: la classificazione e la tabulazione di tutti i nodi possibili. Attraverso anni di lavoro scrupoloso utilizzando solo la sua intuizione geometrica, ha trovato e classificato tutti i nodi principali che, quando proiettati su un piano, hanno al massimo sette incroci.
Alla fine del XIX secolo, Tait apprese che anche altre due persone - il Rev. Thomas Kirkman e il matematico americano Charles Little - stavano studiando questo problema. Con i loro sforzi combinati, hanno classificato tutti i nodi principali con un massimo di 19 incroci e molti di quelli con 10 incroci. Sorprendentemente, i loro tavoli fino a 11 erano completi: non hanno perso nessun nodo.
È straordinario che Tait, Kirkman e Little abbiano ottenuto così tanto senza i teoremi e le tecniche che sarebbero state scoperte negli anni a venire. Ma una cosa che ha funzionato a loro favore è stato il fatto che la maggior parte dei piccoli nodi sono "alternati", il che significa che hanno una proiezione in cui gli incroci mostrano uno schema coerente sopra sotto sopra sotto.
I nodi alternati hanno proprietà che li rendono più facili da classificare rispetto ai nodi non alternati. Ad esempio, è difficile trovare il numero minimo di incroci per qualsiasi proiezione di un nodo. Ma Tait, che per anni ha erroneamente pensato che tutti i nodi fossero alternati, ha ipotizzato un modo per dire se hai trovato quel numero minimo: se una proiezione alternata non ha incroci che possono essere rimossi capovolgendo una parte del nodo, allora deve essere la proiezione con il numero minimo di incroci.
Questa e altre due delle congetture di Tait sui nodi alternati si sono rivelate vere. Eppure queste famose congetture non furono dimostrate fino alla fine degli anni '1980 e all'inizio degli anni '90 utilizzando uno strumento matematico sviluppato nel 1984 da Vaughan Jones, che vinse la Medaglia Fields per il suo lavoro sulla teoria dei nodi.
Sfortunatamente, i nodi alternati ti portano solo così lontano. Una volta entrati in nodi con otto o più incroci, il numero di nodi non alternati cresce rapidamente, rendendo le tecniche di Tait meno utili.
La tabella originale di tutti i 10 nodi incrociati era completa, ma Tait, Kirkman e Little hanno contato due volte. Fu solo negli anni '1970 che Kenneth Perko, un avvocato che aveva studiato teoria dei nodi a Princeton, notò che due dei nodi sono immagini speculari l'uno dell'altro. Ora sono conosciuti come la coppia Perko in suo onore.
Nel secolo scorso, i matematici hanno trovato molti modi intelligenti per determinare se i nodi sono veramente diversi. In sostanza, l'idea è di identificare un invariante — una proprietà, quantità o entità algebrica associata al nodo e spesso calcolabile semplicemente. (Queste proprietà hanno nomi come colorabilità, numero del ponte o contorcersi.) Grazie a queste etichette, i matematici possono ora confrontare facilmente due nodi: se differiscono in un dato attributo, allora non sono lo stesso nodo. Nessuna di queste proprietà, tuttavia, è ciò che i matematici chiamano invariante completa, nel senso che due nodi diversi possono avere la stessa proprietà.
A causa di tutta questa complessità, non sorprende che la tabulazione dei nodi sia ancora in corso. Più di recente, nel 2020, Benjamin Burton classificato tutti i nodi primi fino a 19 valichi (di cui quasi 300 milioni).
La teoria tradizionale del nodo ha senso solo in tre dimensioni: in due dimensioni è possibile solo lo snodo e in quattro dimensioni lo spazio extra consente ai nodi di sciogliersi, quindi ogni nodo è uguale allo snodo.
Tuttavia, nello spazio quadridimensionale possiamo annodare le sfere. Per avere un'idea di cosa significhi, immagina di affettare una sfera normale a intervalli regolari. In questo modo si ottengono cerchi, come linee di latitudine. Tuttavia, se avessimo una dimensione in più, potremmo annodare la sfera in modo che le fette, ora tridimensionali anziché due, possano essere nodi.
Questa idea è stata alla base di uno dei più grandi risultati recenti nella teoria dei nodi. Nel 2018 l'allora laureanda Lisa Piccirillo risolto una questione vecchia di 50 anni su un nodo di 11 incroci scoperto per la prima volta da John Conway. La domanda aveva a che fare con una proprietà chiamata sliceness. Come abbiamo visto, quando affettamo una sfera annodata in quattro dimensioni, otteniamo un nodo o un collegamento in tre dimensioni. A volte possiamo ottenere un dato nodo da una bella sfera annodata in modo liscio, ma per altri nodi la sfera deve essere annodata e increspata come un pezzo di carta straccia. Piccirillo dimostrò, in sostanza, che il nodo di Conway era di quest'ultimo tipo. Nel gergo tecnico, ha dimostrato che non è "fetta liscia".
La teoria dei nodi ha attraversato il panorama matematico nel corso dei secoli. È iniziato come un'area applicata della matematica, con Thomson che tentava di utilizzare i nodi per comprendere la composizione della materia. Quando quell'idea svanì, divenne un'area della matematica pura, un ramo dell'intrigante e ancora poco pratico dominio della topologia. Ma negli ultimi anni la teoria dei nodi è tornata ad essere un'area applicata della matematica, poiché gli scienziati usano le idee della teoria dei nodi per indagare fluidodinamica, elettrodinamica, molecole annodate come il DNA e così via. Fortunatamente, mentre gli scienziati erano impegnati a studiare altre cose, i matematici costruivano cataloghi di nodi e strumenti per districare i loro segreti.
