Gennaio 19, 2023 Ethan Bueno de Mesquita e Andrew Hall
Nei nostri ultimo pezzo, abbiamo mostrato come progettare un meccanismo che miri a convincere le persone a riferire onestamente quanto sia costoso votare e che quindi paghi il sottoinsieme di elettori che trova il voto meno costoso per votare effettivamente. Ma come molte persone hanno sottolineato, incentivare la partecipazione grezza potrebbe portare a votazioni non informate o a votazioni bot in alcune circostanze.
Vari progetti e scrittori hanno proposto di premiare gli elettori che votano in maggioranza e/o tagliando elettori che votano in minoranza come un modo per creare incentivi per il voto informato. Abbiamo ritenuto utile fare un'analisi formale della questione. Qui, stabiliamo che mentre è possibile incentivare la partecipazione informata in questo modo, anche nella sua forma ottimale e più conveniente, farlo è probabilmente proibitivo. Inoltre, la struttura della ricompensa è in qualche modo più difficile da spiegare di quanto si potrebbe sperare, il che potrebbe anche essere un ostacolo all'attuazione.
La ragione di entrambe queste sfide è un sottostante problema di azzardo morale: se le persone sono effettivamente informate non è osservabile, quindi devi assicurarti di non incentivarle semplicemente a indovinare come voterà la maggioranza. In quanto tale, premiare o tagliare gli elettori in base al fatto che votino in maggioranza o in minoranza probabilmente non è in generale un approccio efficace. Questa scoperta può aiutare a comprendere i sottili effetti degli indirizzi taglienti per votare contro la maggioranza (o, equivalentemente, premiare gli indirizzi per votare nella maggioranza) in altri contesti, che saranno oggetto di lavoro futuro.
Dopo aver mostrato gli svantaggi del tentativo di pagare direttamente per il voto "informato", concludiamo offrendo alcune idee concrete su come i progetti possono sperimentare per prevenire la raccolta improduttiva dei premi di voto da parte di bot o malintenzionati. In particolare, i progetti possono considerare:
- … rendendo i premi idonei solo per gli indirizzi che hanno precedentemente contribuito al progetto, analogamente agli esperimenti in corso in altri tipi di premi retroattivi, e
- … combinando il programma di premi con una sorta di requisito di puntata e/o requisito di blocco che rende non redditizio raccogliere premi a breve termine.
Perché pagare per un voto "informato" è difficile
Se tutto ciò che il progetto vuole fare è incentivare il voto, il rivelazione diretta o implementazione di ricompense ascendenti del meccanismo VCG fa il lavoro. Ma votare da solo potrebbe non essere sufficiente per raggiungere gli obiettivi della piattaforma. Potrebbe voler incentivare un sottoinsieme di elettori a votare in an informati maniera.
incentivando informati votare è più difficile che incentivare il voto. È quasi sicuramente impossibile sapere se un elettore abbia effettivamente votato in modo informato: l'investimento nelle informazioni è in gran parte inosservabile. Alcuni hanno suggerito che votare con la maggioranza potrebbe essere un'indicazione di aver votato in modo informato. L'intuizione è che i membri di un progetto spesso condividono un accordo sostanziale sui suoi obiettivi. E, quindi, potremmo pensare che se tutti facessero i compiti, tutti arriverebbero più o meno alla stessa conclusione sul modo giusto per raggiungere quegli obiettivi.
La prima domanda, quindi, è se possiamo incentivare il voto informato incentivando il voto a maggioranza.
Voto con la maggioranza
Fin dall'inizio, il modo in cui funziona il voto blockchain crea una sfida. Attualmente, per la maggior parte dei sistemi di voto blockchain, i voti sono osservabili in tempo reale. Cioè, se l'elettore 2 vota dopo l'elettore 1, l'elettore 2 sa come ha votato l'elettore 1. Questa situazione crea ovvi problemi di branco una volta che introduciamo incentivi a votare con la maggioranza: gli elettori che votano in seguito e vogliono vincere la ricompensa voteranno comunque la maggioranza ha votato, indipendentemente dalle proprie opinioni su quale sia la scelta di voto corretta.
Ma anche supponendo di avere accesso a una tecnologia di voto blockchain che oscura i risultati delle votazioni fino a quando tutti non hanno votato, dobbiamo ancora affrontare notevoli sfide. Incentivare il voto informato basato sul voto a maggioranza:
- … è costoso, in parte a causa dell'impossibilità di osservare direttamente chi viene informato su un voto, il che richiede un pagamento in eccesso per dare incentivi più forti a non tentare di "falsificare" l'informazione semplicemente indovinando quale politica sarà la maggioranza scelta.
- … è difficile da capire, perché richiede che i potenziali elettori siano in grado di segnalare sia il costo per la partecipazione che il costo per ottenere informazioni, e valutare un contratto sulla base di questi costi.
- … non può garantire il successo perché c'è sempre un possibile fallimento del coordinamento in cui, se gli elettori credono che altri elettori non stiano votando in modo informato, anche loro non hanno alcun incentivo a informarsi.
Dati questi inconvenienti, riteniamo improbabile che i progetti nella maggior parte dei casi possano fare affidamento sulla premiazione degli elettori per aver votato a maggioranza come un modo per incentivare la partecipazione informata, anche con un meccanismo di incentivazione progettato in modo ottimale.
Il meccanismo ottimale per implementare il voto informato
Supponiamo che la piattaforma voglia n elettori a votare e vuole m (le) n di loro a votare in modo informato. Ogni possessore di token ha due costi diversi: il costo del voto (ci) e il costo della raccolta delle informazioni (ki).
Per semplificare le cose, facciamo quattro ipotesi.
- Il voto è tra due opzioni, A ed B, e che prima di investire in qualsiasi informazione, tutti credono alla probabilità A è la scelta giusta è q > (fraz{1}{2}).
- Se un possessore di token investe in informazioni, impara perfettamente la scelta corretta. (È semplice estendere l'analisi al caso più realistico e probabilistico. In questo modo si rende solo il voto informato più costoso da implementare.)
- I possessori di token non si preoccupano direttamente del risultato, ma solo del loro compenso e dei costi.
- Gli alti costi del voto e gli alti costi per informarsi sono perfettamente correlati positivamente, ovvero possiamo mettere in fila gli elettori 1 attraverso N con c1 < c2 < … < cN ed k1 < k2 < … < kN. (L'allentamento di questa ipotesi aumenta i costi e la complessità.)
La piattaforma ordina i possessori di token in tre gruppi:
- Gruppo V: n - m possessori di token a cui viene offerto un pagamento pV semplicemente votare.
- Gruppo I: m possessori di token che sono offerto un pagamento pI che ricevono se e solo se votano con la maggioranza degli altri membri del gruppo I.
- Gruppo O: i restanti possessori di token a cui non vengono offerti pagamenti o incentivi.
Il meccanismo deve ordinare i possessori di token in gruppi e scegliere i pagamenti per raggiungere due obiettivi nel modo più conveniente possibile. Innanzitutto, deve convincere i possessori di token a rivelare in modo veritiero i loro costi. In secondo luogo, deve incentivare i possessori di token a comportarsi come desiderato (quindi i membri di V voto e membri di I voto informato).
Inizia pensando al meccanismo ottimale se informarsi fosse osservabile, in modo che il pagamento pI era subordinato al voto effettivamente informato, invece che al voto con la maggioranza. (Questa sarebbe una versione leggermente più complicata del problema VCG di cui abbiamo discusso nel nostro primo post.) (1 attraverso m) in gruppo I e i successivi possessori di token dal costo più basso (m + 1 attraverso n) in gruppo V, come illustrato nella Figura 1. E, proprio come nel nostro post precedente, per far sì che i detentori di token desiderino rivelare in modo veritiero i loro costi, il meccanismo offrirebbe a ciascun detentore di token un pagamento pari alla loro esternalità, ovvero l'effetto della loro presenza su il benessere aggregato di tutti diversi da se stessi. Vediamo quali sono questi pagamenti.
Figura 1. Divisione dei possessori di token in tre gruppi: i possessori di token a basso costo diventano elettori informati (I), il prossimo costo più basso diventa elettori disinformati (V), e il resto diventa non votante (O).
Qual è l'esternalità di un token holder nel gruppo V? Se quel possessore di token fosse rimosso, per riportare il numero di elettori a n, elettore n + 1 dovrebbe votare al costo cn+1; questo è l'effetto di qualsiasi elettore nel gruppo V sul benessere aggregato. Pertanto, il pagamento offerto ai membri del gruppo V sarebbe pV = cn+1 . Ciò è illustrato nella Figura 2.
Figura 2. Se un elettore disinformato è stato eliminato, da mantenere n porta gettoni n + 1 dovrebbe essere spostato nel gruppo di voto non informato, sostenendo il costo del voto cn+1.
Qual è l'esternalità di un token holder nel gruppo I? Se quel possessore di token è stato rimosso, per ottenere il numero di elettori che votano di nuovo informato m, elettore m + 1 dovrebbe essere spostato nel gruppo I e voto informato. Questo elettore sta già sostenendo i costi del voto, ma ora deve anche sostenere i costi dell'informazione, a costo km+1. Inoltre, avremmo anche bisogno di aggiungere un nuovo membro al gruppo V per riportare il numero dei votanti a n. Questo sarebbe l'elettore n + 1, che deve votare al costo cn+1. Pertanto, l'effetto totale di un detentore di token nel gruppo I sul benessere aggregato di altri possessori di token cn+1 + km+1 , quindi questo è il pagamento che verrebbe loro offerto, pI = cn+1 + km+1. Questo è illustrato nella Figura 3.
Figura 3. Se un elettore informato è stato eliminato, da mantenere m elettori informati, token holder m + 1 dovrebbe essere spostato nel gruppo di voto informato, sostenendo ulteriori costi di informazione di km+1. Inoltre, porta gettoni n + 1 dovrebbe essere spostato nel gruppo di voto non informato per mantenerlo n elettori totali, sopportando il costo del voto cn + 1.
Se il meccanismo potesse condizionare i pagamenti direttamente su come si comportano i possessori di token, ovvero se informarsi fosse osservabile, questa sarebbe la risposta completa. Come mostriamo nell'appendice, questi pagamenti inducono a dire la verità da parte dei detentori di token. E non esiste un modo più economico per farlo.
Il problema dell'azzardo morale
L'analisi di cui sopra non è implementabile perché non possiamo effettivamente osservare se un token holder in group I votato in modo informato, quindi non possiamo subordinare il pagamento all'essere informati. Questo è il motivo per cui le persone si sono interessate all'idea di condizionare il pagamento pI sul voto con la maggioranza dei I - dato il nostro presupposto che gli elettori informati apprendano perfettamente la verità, se tutti gli altri partecipano I voti informati di un membro I possono garantirsi il pagamento informandosi. Quindi pagare le persone per votare con la maggioranza fornisce loro incentivi per investire in informazioni.
Ma tali incentivi non sono così forti come gli incentivi creati sopra, dove abbiamo ipotizzato di poter effettivamente osservare se gli elettori vengono informati. Ciò è dovuto al problema del rischio morale creato dall'inosservabilità. Se gli elettori vengono premiati in base al voto a maggioranza, possono informarsi e (ammesso che anche gli altri vengano informati) garantirsi il pagamento. Ma possono anche non informarsi e indovinare come voterà la maggioranza. Se indovinano, vengono comunque pagati, evitando i costi di acquisizione delle informazioni.
Questa opzione indebolisce gli incentivi per i membri del gruppo I investire in informazioni. Inoltre, crea un'altra complicazione. Se il pagamento al gruppo I è troppo generoso rispetto al pagamento al gruppo V, titolari di token che dovrebbero essere in gruppo V potrebbero avere un incentivo a sottovalutare i propri costi, farsi assegnare al gruppo I, e vota disinformato nella speranza di indovinare correttamente. Per caratterizzare completamente il meccanismo ottimale, dobbiamo tenere conto di questi problemi di azzardo morale.
Per analizzare questa domanda, dobbiamo chiederci quanto è probabile che un detentore di token indovini correttamente, votando con la maggioranza di I anche se non vengono informati. Supponiamo che tutti gli altri membri di I informarsi. Quindi, con probabilità q > (fra{1}{2}) voteranno tutti per A e con probabilità q < (fraz{1}{2}) voteranno tutti per B. Ciò significa che la migliore ipotesi di un detentore di token non informato è A e indovinano correttamente con probabilità q. Quindi un elettore i in gruppo I chi fa la sua ipotesi migliore fa una vincita prevista di Q · pI - ci.
C'è una sottigliezza qui che vale la pena sottolineare. Abbiamo cambiato la domanda sull'implementazione in modo importante. Il VCG chiede se il comportamento desiderato può essere implementato come una strategia debolmente dominante, ovvero i possessori di token vogliono comportarsi come desiderato indipendentemente da ciò che fanno tutti gli altri. Tale implementabilità del dominio non è più possibile una volta che subordinamo i pagamenti al voto a maggioranza, poiché essere pagati dipende da come votano tutti gli altri. Quindi ora ci stiamo chiedendo se il risultato che desideriamo sia debolmente implementabile. Esiste un equilibrio di Nash in cui gli agenti si comportano come vogliamo? Come discuteremo in seguito, anche quando la risposta è sì, ci sono anche altri equilibri di Nash.
Innanzitutto, considera un detentore di token che dovrebbe essere assegnato al gruppo V. Se quel possessore di gettoni dice la verità, vengono messi in gruppo V e fare un payoff di pV - ci. Se invece mentono per entrare in gruppo I e prendono la loro ipotesi migliore, ottengono una ricompensa Q · pI - ci. Confronto, questo titolare di token dirà la verità sui propri costi se:
pV (Ge) Q · pI.
In secondo luogo, considera un detentore di token che verrà assegnato al gruppo I. Se quel detentore di token viene informato, paga pI - ci - ki. Se non si informano e fanno la loro ipotesi migliore, ottengono una ricompensa Q · pI - ci. Confrontando, questo possessore di token verrà informato se:
pI (ge)(frac{k_i}{1 – q}) .
Il meccanismo ottimale
L'analisi di cui sopra ci fornisce quattro vincoli che devono essere soddisfatti per indurre a dire la verità e comportarsi correttamente. Sono:
pV (Ge) cn+1
pV (Ge) Q · pI
pI (Ge) cn+1 + km+1
pI (ge) (frac{k_i}{1 – q}) per ogni token holder in I.
L'ultimo di questi vincoli è il più difficile da soddisfare per il detentore di token dal costo più elevato nel gruppo I, porta gettoni m. E naturalmente, mil pagamento di non può dipendere direttamente dal suo costo perché allora avrà un incentivo a sopravvalutare tale costo. Pertanto, il modo più economico per soddisfare il vincolo finale mentre si induce a dire la verità è con
pI (ge) (frac{k_{m+1}}{1 – q}).
Questo ora ci dà una caratterizzazione completa del meccanismo ottimale. Abbiamo
- Gruppo I
- Composto da titolari di token 1 attraverso m.
- Ogni membro riceve un pagamento pI* subordinato al voto con la maggioranza del gruppo I. Quel pagamento è
pI* = massimo(sinistra{c_{n+1} + k_{m+1} , frac{k_{m+1}}{1-q}destra}).
- Gruppo V
- Composto da titolari di token m + 1 attraverso n.
- Ogni membro riceve un pagamento di pV* per il voto. Quel pagamento è
pV* = massimo(sinistra{c_{n+1} , q · p_I^*destra})
Si noti che pI* ed pV* ciascuno può assumere uno dei due valori. Da quale prendono dipende q e sui valori relativi di cn+1 ed km+1, in un modo che precisiamo in appendice. Ma, come mostrato nella Figura 4, la forma base dei payoff in funzione di q è sempre lo stesso.
Figura 4. I pagamenti ottimali a entrambi i gruppi in funzione di q per due diversi valori di cn+1ed km+1.
Un esempio
Per illustrare il meccanismo, pensiamo a un esempio. Supponiamo che ci siano cinque possessori di gettoni, ognuno dei quali detiene 1 gettone, con costi come segue.
Porta gettoni | Costo del voto (ci) | Costo dell'informazione (ki) |
1 | $2 | $3 |
2 | $4 | $5 |
3 | $9 | $11 |
4 | $12 | $14 |
5 | $14 | $15 |
Il progetto vuole ottenere n=3 la gente a votare e vuole almeno m=2 di loro a votare in modo informato. Inoltre, supponiamo che il progetto pensi la probabilità che A è la scelta giusta è q= .6.
Il progetto chiede a ciascun detentore di token di rivelare i propri costi e i detentori di token lo fanno. La piattaforma trova i seguenti due numeri: cn+ 1 = 4 = $ 12 ed km+ 1 = 3 = $ 11.
Il nostro meccanismo quindi sceglie:
(p_I^* = maxleft{c_{n+1} + k_{m+1} , frac{k_{m+1}}{1-q}right} = maxleft{12 + 11 , frac{11}{. 4}destra} = 27.5)
(p_V^* = maxsinistra{c_{n+1} , q · p_I destra} = maxsinistra{12, .6 · 27.5destra} = 16.5)
I possessori di token 1 e 2 sono assegnati al gruppo I, votano informati e vengono pagati $ 27.5 ciascuno perché votano allo stesso modo e finiscono in maggioranza. Il titolare del gettone 3 è assegnato al gruppo V, vota disinformato e viene pagato $ 16.5.
Preoccupazioni per indurre il voto informato
Abbiamo individuato il meccanismo ottimale per incentivare il voto informato pagando le persone per votare con la maggioranza. Tre caratteristiche di questo meccanismo evidenziano alcune reali preoccupazioni circa la fattibilità dell'effettiva attuazione di tali incentivi.
Il primo è che fornire i giusti incentivi può essere piuttosto costoso. Nel nostro esempio, il costo totale del voto e delle informazioni a carico dei titolari di token è di $ 23 (i titolari di token 1 e 2 sostengono i costi di voto e informazioni, il titolare di token 3 sostiene solo il costo del voto). Tuttavia, il compenso totale pagato dal meccanismo è di $ 71.5 (i titolari di token 1 e 2 ricevono ciascuno $ 27.5 mentre il titolare di token 3 riceve $ 16.5). Sfortunatamente, poiché la piattaforma non conosce i costi degli elettori, non esiste un modo più economico per raggiungere l'obiettivo.
Più in generale, il costo totale dell'induzione m voti informati e n il totale dei voti è
Costo totale = M · pI* + (m – m) · pV*.
Questo costo totale dipende da tre cose:
- Il numero di voti e voti informati che devono essere acquistati (m ed n – m),
- I costi di votazione e informazione dei detentori di token (cn+1 ed km+1), E
- Quanta incertezza c'è sulla scelta corretta (q).
I costi della piattaforma stanno aumentando linearmente in m, n – m, cn+1, ed km+1. Ma come illustra la Figura 4, stanno aumentando in modo iperbolico q. Inoltre, come q si avvicina a 1, quindi sostanzialmente non c'è incertezza sulla scelta corretta, il costo per indurre il voto informato va all'infinito. Questo perché, se A è quasi certo che sia l'opzione corretta, non c'è motivo per i possessori di token nel gruppo I investire per informarsi. Possono solo votare A e quasi certamente essere comunque la maggioranza. Pertanto, è probabilmente possibile prendere in considerazione l'acquisto di voti informati solo quando vi è una sostanziale incertezza sulla scelta corretta, ovvero quando q è vicino alla metà. Fortunatamente, questa è presumibilmente anche la circostanza in cui il voto informato è più prezioso.
Una seconda preoccupazione è che il meccanismo potrebbe essere alquanto difficile da comprendere per i detentori di token, sebbene i requisiti dei detentori di token possano essere meno faticosi di quanto suggerisca la matematica. I possessori di token devono essere in grado di (1) dichiarare i propri costi personali per votare e ottenere informazioni e (2) dopo aver ricevuto un semplice contratto, essere in grado di comprendere la direzione dei loro incentivi monetari.
La terza preoccupazione è più fondamentale. Qualsiasi schema di incentivi che funziona in base al fatto che gli elettori votino con la maggioranza nel loro gruppo è soggetto a preoccupazioni per i problemi di coordinamento. Cioè, l'analisi di cui sopra mostra che è un equilibrio per tutti i detentori di token comportarsi come descritto. Ma c'è sempre un altro equilibrio.
Immagina un detentore di gettoni in gruppo I ritiene che nessun altro detentore di token nel gruppo I sta per investire in informazioni. Quindi quel possessore di token crede che conoscere l'opzione giusta non li aiuterà a votare con la maggioranza del gruppo I, poiché il voto di maggioranza non sarà determinato da quale sia l'opzione giusta. In quanto tale, quel titolare di token non ha alcun incentivo a investire in informazioni. Quindi, nell'ambito di un sistema di incentivi che paga le persone per votare con la maggioranza del gruppo I, oltre al buon equilibrio “informato”, c'è sempre anche un cattivo equilibrio “disinformato” in cui nessun detentore di token investe in informazioni perché crede (correttamente) che altri detentori di token non investiranno in informazioni.
***
La conclusione di queste analisi è che premiare o ridurre gli elettori in base al fatto che votino in maggioranza o in minoranza non è il modo più promettente per premiare il voto scoraggiando al contempo il voto non informato o il voto dei bot.
Per i progetti che ritengono che il meccanismo di premi di base sia troppo vulnerabile al gioco o al voto non informato, un modo logico per iniziare è offrire premi solo agli indirizzi con una sorta di track record di contributi al progetto. Ciò sarebbe in linea con i recenti esperimenti di ricompense retroattive, come il lavoro in corso di Optimism.
Separatamente o in aggiunta, i progetti potrebbero anche esplorare i requisiti di picchettamento che forniscono ricompense solo agli indirizzi bloccati nel protocollo per lunghi periodi di tempo, per disincentivare la raccolta di premi di voto a breve termine.
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Ethan Bueno de Mesquita è Sydney Stein Professor presso la Harris School of Public Policy dell'Università di Chicago. La sua ricerca si concentra sulle applicazioni dei modelli della teoria dei giochi a una varietà di fenomeni politici. Fornisce consulenza a società tecnologiche e altri in materia di governance e questioni correlate.
Andrew Hall è professore di economia politica presso la Graduate School of Business della Stanford University e professore di scienze politiche. Lavora con il laboratorio di ricerca a16z ed è consulente di aziende tecnologiche, startup e protocolli blockchain su questioni all'intersezione tra tecnologia, governance e società.
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Editor: Tim Sullivan
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Appendice
VCG induce a dire la verità quando l'essere informati è osservabile
Se informarsi era osservabile, allora pV = cn+1 ed pI = cn+1 + km+1 induce a dire la verità.
Innanzitutto, tieni presente che tutti sarebbero felici di partecipare a questo meccanismo. Ogni titolare di token che finirà in gruppo V rende un payoff di pV - ci. Da pV = cn+1 e i membri del gruppo V tutti hanno dei costi ci < cn+1, stanno ottenendo profitti positivi. Allo stesso modo, ogni detentore di token nel gruppo I ci guadagnerebbe pI - ci - ki. Da pI = cn+1 + km+1 e i membri del gruppo I tutti hanno dei costi ci < cn+1 ed ki < km+1, anche loro stanno ottenendo risultati positivi.
In secondo luogo, è debolmente dominante dire la verità per tutti i detentori di token.
Se un membro del gruppo V ha sostenuto un costo più elevato, o non ci sarebbe stato alcun cambiamento nella loro vincita o sarebbero stati assegnati al gruppo O e rendi 0. Se un membro del gruppo V rivendicato un costo inferiore, o non ci sarebbe stata alcuna modifica al loro payoff o sarebbero stati assegnati al gruppo I. In tal caso, farebbero una ricompensa di cn+1 + km+1 - ci - ki. Ma poiché i membri del gruppo V hanno costi di informazione ki (Ge) km+1, questo è peggio della loro ricompensa dall'essere in gruppo V.
Se un membro del gruppo I richiesto un costo inferiore, sarebbero ancora in gruppo I, quindi farebbero lo stesso guadagno. Se rivendicassero un costo più elevato, non ci sarebbe alcun cambiamento nella loro vincita (se rimanessero nel gruppo I) o sarebbero stati assegnati al gruppo O e fare 0 (ovviamente non redditizio), o verrebbero assegnati al gruppo V. In tal caso avrebbero fatto una ricompensa di cn+1 - ci. Ma poiché i membri del gruppo I hanno costi di informazione ki < km+1, questo è peggio della loro ricompensa dall'essere in gruppo I.
Pagamenti in funzione di cn+1 < km+1 ed q
Nel testo che abbiamo mostrato
pI* = massimo(sinistra{c_{n+1} + k_{m+1} , frac{k_{m+1}}{1-q}destra}).
pV* = massimo(sinistra{c_{n+1} , q · p_I^*destra}).
Da ciò risulta chiaro che:
- If cn+1 < km+1, allora (p_I^* = frac{k_{m+1}}{1-q}) ed pV* =q · pI* per tutti q.
- If cn+1 > km+1, allora c'è (q^* ∈ sinistra(frac{1}{2}, 1destra)) affinché
- pI* = cn+1 + km+1 ed pV* = cn+1 per Q q*
- pI* = (kfrac{m+1}{1-q}) ed pV* =q · pI* per q > q*.
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