הוכחה חדשה משחילת את המחט על בעיית גיאומטריה דביקה | מגזין קוונטה

בשנת 1917, המתמטיקאי היפני סוצ'י קאקיה הציג את מה שנראה בהתחלה כלא יותר מתרגיל מהנה בגיאומטריה. הניחו מחט דקה לאין שיעור באורך סנטימטר על משטח שטוח, ואז סובבו אותה כך שתצביע לכל כיוון בתורו. מהו השטח הקטן ביותר שהמחט יכולה לטאטא החוצה?

אם פשוט תסובב אותו סביב המרכז שלו, תקבל עיגול. אבל אפשר להזיז את המחט בדרכים המצאתיות, כך שתחצב כמות קטנה בהרבה של שטח. מתמטיקאים הציבו מאז גרסה קשורה לשאלה זו, הנקראת השערת Kakeya. בניסיונותיהם לפתור אותה, הם חשפו קשרים מפתיעים לניתוח הרמוני, תורת המספרים ואפילו פיזיקה.

"איכשהו, הגיאומטריה הזו של קווים המצביעים לכיוונים רבים ושונים נמצאת בכל מקום בחלק גדול של המתמטיקה", אמר ג'ונתן היקמן של אוניברסיטת אדינבורו.

אבל זה גם משהו שמתמטיקאים עדיין לא מבינים עד הסוף. בשנים האחרונות, הם הוכיחו וריאציות של השערת Kakeya בהגדרות קלות יותר, אבל השאלה נותרת בלתי פתורה במרחב תלת מימדי רגיל. במשך זמן מה, נראה היה כאילו כל ההתקדמות נעצרה בגרסה ההיא של ההשערה, למרות שיש לה השלכות מתמטיות רבות.

כעת, שני מתמטיקאים הזיזו את המחט, כביכול. ההוכחה החדשה שלהם פוגע במכשול גדול שעמד על כנו במשך עשרות שנים - מעורר מחדש את התקווה שאולי סוף סוף פתרון נראה באופק.

מה העסקה הקטנה?

Kakeya התעניין בסטים במישור המכילים קטע קו באורך 1 לכל כיוון. ישנן דוגמאות רבות לקבוצות כאלה, הפשוטה ביותר היא דיסק בקוטר 1. קאקיה רצה לדעת איך ייראה הסט הקטן ביותר שכזה.

הוא הציע משולש עם צלעות מעט חצויות, הנקרא דלתואיד, שיש לו חצי משטח הדיסק. אולם התברר שאפשר לעשות הרבה הרבה יותר טוב.

בשנת 1919, רק כמה שנים לאחר שקאקיה הציג את הבעיה שלו, המתמטיקאי הרוסי אברם בסיקוביץ' הראה שאם אתה מסדר את המחטים שלך בצורה מאוד מסוימת, אתה יכול לבנות סט קוצני למראה שיש לו שטח קטן באופן שרירותי. (בשל מלחמת העולם הראשונה והמהפכה הרוסית, התוצאה שלו לא תגיע לשאר העולם המתמטי במשך מספר שנים.)

כדי לראות איך זה עשוי לעבוד, קח משולש ופצל אותו לאורך הבסיס שלו לחתיכות משולשות דקות יותר. לאחר מכן החלק את החלקים האלה סביב כך שהם חופפים ככל האפשר אך בולטים לכיוונים מעט שונים. על ידי חזרה על התהליך שוב ושוב - חלוקת המשולש שלך לשברים דקים יותר ויותר וסידורם מחדש בקפידה בחלל - אתה יכול לעשות את הסט שלך קטן ככל שתרצה. בגבול האינסופי, אתה יכול להשיג סט שמבחינה מתמטית אין לו שטח אבל עדיין יכול, באופן פרדוקסלי, להכיל מחט הפונה לכל כיוון.

"זה סוג של מפתיע ומנוגד לאינטואיציה," אמר Ruixiang Zhang מאוניברסיטת קליפורניה, ברקלי. "זה סט שהוא מאוד פתולוגי."

ניתן להכליל תוצאה זו לממדים גבוהים יותר: ניתן לבנות קבוצה בעלת נפח קטן באופן שרירותי המכיל קטע קו יחידה המצביע לכל כיוון ב nמרחב ממדי.

נראה שבסיקוביץ' פתר את השאלה של קאקיה לחלוטין. אבל עשרות שנים מאוחר יותר, מתמטיקאים התחילו לעבוד על גרסה אחרת של הבעיה שבה הם החליפו את השטח (או הנפח, במקרה הממדים הגבוהים יותר) עם רעיון אחר של גודל.

כדי להבין את הניסוח מחדש של השאלה, קח תחילה כל קטע קו בסט Kakeya והשמין אותו מעט - כאילו אתה משתמש במחט ממשית, ולא במחט אידיאלית. במטוס, הסט שלך יהיה מורכב ממלבנים דקים במיוחד; בחלל תלת מימדי, יהיה לך אוסף של צינורות דקים במיוחד.

לסטים המפוטמים האלה יש תמיד איזשהו שטח (או נפח, אבל נצמד לעת עתה במקרה הדו-ממדי). ככל שתשנה את רוחב המחט שלך, אזור זה ישתנה. בשנות ה-1970, המתמטיקאי רוי דייויס (שמת בחודש שעבר) הראה שאם השטח הכולל משתנה בכמות קטנה, רוחב כל מחט חייב להשתנות באופן דרסטי. לדוגמה, אם אתה רוצה שגרסה משומנת של הסט של Besicovitch תהיה בשטח של 1/10 אינץ' מרובע, כל מחט צריכה להיות בעובי של בסביבות 0.000045 אינץ': e^-10 של סנטימטר, ליתר דיוק. אבל אם אתה רוצה להפוך את השטח הכולל ל-1/100 אינץ' מרובע - קטן פי 10 - המחט הייתה צריכה להיות e^-100 בעובי של סנטימטר. (ארבעים ושלושה אפסים אחרי הנקודה העשרונית לפני שתגיע לשאר הספרות.)

"אם אתה אומר לי כמה קטן אתה רוצה שהשטח יהיה, אז אני צריך לדרוש מחט שהיא פשוט דקה להפליא", אמר צ'ארלס פפרמן מאוניברסיטת פרינסטון.

מתמטיקאים מודדים את ה"גודל" של קבוצת Kakeya באמצעות כמות הנקראת מימד מינקובסקי, שקשורה אך לא ממש זהה לממד רגיל (מוגדר כמספר הכיוונים הבלתי תלויים שאתה צריך כדי לתאר מרחב).

הנה דרך אחת לחשוב על מימד מינקובסקי: קח את הסט שלך וכסה אותו בכדורים זעירים שכל אחד מהם בקוטר של מיליונית מהיחידה המועדפת עליך. אם הסט שלך הוא קטע קו באורך 1, תזדקק למיליון כדורים לפחות כדי לכסות אותו. אם הסט שלך הוא ריבוע של שטח 1, תזדקק להרבה, הרבה יותר: מיליון בריבוע, או טריליון. עבור כדור של נפח 1, זה בערך מיליון קוביות (קווינטיליון), וכן הלאה. מימד מינקובסקי הוא הערך של מעריך זה. הוא מודד את הקצב שבו מספר הכדורים שאתה צריך כדי לכסות את הסט שלך גדל ככל שהקוטר של כל כדור הולך וקטן. לקטע קו יש ממד 1, לריבוע יש ממד 1 ולקוביה יש ממד 1.

מימדים אלו מוכרים. אבל באמצעות ההגדרה של מינקובסקי, אפשר לבנות קבוצה שיש לה מימד של, נניח, 2.7. למרות שסט כזה אינו ממלא חלל תלת מימדי, הוא במובן מסוים "גדול" ממשטח דו מימדי.

כשאתה מכסה סט בכדורים בקוטר נתון, אתה מתקרב לנפח של הגרסה המשומנת של הסט. ככל שנפח הסט יורד לאט יותר עם גודל המחט שלך, כך תצטרך יותר כדורים לכסות אותו. לכן אתה יכול לשכתב את התוצאה של דייויס - הקובעת שהשטח של ערכת Kakeya במישור פוחת באיטיות - כדי להראות שלסט חייב להיות מימד מינקובסקי של 2. השערת Kakeya מכליל טענה זו לממדים גבוהים יותר: ערכת Kakeya חייבת תמיד יש את אותו מימד כמו המרחב בו הוא שוכן.

את האמירה הפשוטה הזו היה קשה להוכיח באופן מפתיע.

מגדל של השערות

עד שפפרמן עשה תגלית מדהימה בשנת 1971, ההשערה נתפסה כקוריוז.

הוא עבד על בעיה אחרת לגמרי באותה תקופה. הוא רצה להבין את התמרת פורייה, כלי רב עוצמה המאפשר למתמטיקאים ללמוד פונקציות על ידי כתיבתן כסכומים של גלי סינוס. תחשוב על תו מוזיקלי, שמורכב מהרבה תדרים חופפים. (זו הסיבה ש-C אמצעי בפסנתר נשמע שונה מ-C אמצעי בכינור.) טרנספורמציה של פורייה מאפשרת למתמטיקאים לחשב את התדרים המרכיבים של תו מסוים. אותו עיקרון עובד עבור צלילים מסובכים כמו דיבור אנושי.

מתמטיקאים גם רוצים לדעת אם הם יכולים לבנות מחדש את הפונקציה המקורית אם הם מקבלים רק חלק מהאינסוף התדרים המרכיבים אותה. יש להם הבנה טובה כיצד לעשות זאת בממד אחד. אבל בממדים גבוהים יותר, הם יכולים לעשות בחירות שונות לגבי אילו תדרים להשתמש ומאילו להתעלם. פפרמן הוכיח, להפתעת עמיתיו, שאתה עלול להיכשל בבנייה מחדש של הפונקציה שלך כאשר אתה מסתמך על דרך ידועה במיוחד של בחירת תדרים.

ההוכחה שלו הייתה תלויה בבניית פונקציה על ידי שינוי ערכת Kakeya של Besicovitch. מאוחר יותר זה נתן השראה למתמטיקאים לפתח היררכיה של השערות לגבי ההתנהגות הממדית הגבוהה יותר של טרנספורמציה פורייה. כיום, ההיררכיה אפילו כוללת השערות לגבי התנהגותן של משוואות דיפרנציאליות חלקיות חשובות בפיזיקה, כמו משוואת שרדינגר. כל השערה בהיררכיה מרמזת אוטומטית על זו שמתחתיה.

השערת Kakeya נמצאת בבסיסו של המגדל הזה. אם זה שקר, אז גם ההצהרות גבוהות יותר בהיררכיה. מצד שני, הוכחת האמת לא תרמוז מיד על אמיתותן של ההשערות הממוקמות מעליה, אבל היא עשויה לספק כלים ותובנות לתקוף אותן.

"הדבר המדהים בהשערת Kakeya הוא שזו לא רק בעיה מהנה; זה צוואר בקבוק תיאורטי אמיתי", אמר היקמן. "אנחנו לא מבינים הרבה מהתופעות האלה במשוואות דיפרנציאליות חלקיות ובניתוח פורייה כי אנחנו לא מבינים את קבוצות הקאקיה האלה."

בקיעת תוכנית

ההוכחה של פפרמן - יחד עם הקשרים שהתגלו לאחר מכן לתורת המספרים, קומבינטוריקה ותחומים אחרים - החיו את העניין בבעיית קאקיה בקרב מתמטיקאים מובילים.

בשנת 1995, תומס וולף הוכיח שהמימד של מינקובסקי של סט Kakeya בחלל תלת-ממדי חייב להיות לפחות 3. התברר שקשה להגדיל את הגבול התחתון הזה. ואז, ב-2.5, המתמטיקאים נטס כץ, איזבלה לאבה ו טרנס טאו הצליח לנצח אותו. הכריכה החדשה שלהם: 2.500000001. למרות כמה קטן היה השיפור, הוא התגבר על מחסום תיאורטי עצום. העיתון שלהם היה פורסם ב תולדות המתמטיקה, כתב העת היוקרתי ביותר בתחום.

כץ וטאו קיוו מאוחר יותר ליישם חלק מהרעיונות מאותה עבודה כדי לתקוף את השערת Kakeya התלת-ממדית בדרך אחרת. הם שיערו שלכל דוגמה נגדית חייבת להיות שלוש תכונות מסוימות, ושקיום משותף של תכונות אלה חייב להוביל לסתירה. אם הם היו יכולים להוכיח זאת, זה אומר שהשערת קאקיה נכונה בתלת מימד.

הם לא יכלו ללכת עד הסוף, אבל הם כן התקדמו. בפרט, הם (יחד עם מתמטיקאים אחרים) הראו שכל דוגמה נגדית חייבת להיות בעלת שתיים משלוש התכונות. זה חייב להיות "מישורי", כלומר בכל פעם שקטעי קו מצטלבים בנקודה, הקטעים האלה גם נמצאים כמעט באותו מישור. הוא חייב להיות גם "גרעיני", מה שמחייב שהמישורים של נקודות הצטלבות הסמוכות יהיו בכיוון דומה.

זה השאיר את הנכס השלישי. בסט "דביק", קטעי קו המצביעים כמעט לאותו כיוון צריכים להיות ממוקמים קרוב זה לזה במרחב. כץ וטאו לא הצליחו להוכיח שכל הדוגמאות הנגדיות חייבות להיות דביקות. אבל אינטואיטיבית, סט דביק נראה כמו הדרך הטובה ביותר לכפות חפיפה רבה בין מקטעי הקו, ובכך להפוך את הסט לקטנה ככל האפשר - בדיוק מה שאתה צריך כדי ליצור דוגמה נגדית. אם מישהו היה יכול להראות שלסט Kakeya דביק יש מימד מינקובסקי של פחות מ-3, זה היה מפריך את השערת Kakeya התלת מימדית. "זה נשמע ש'דביק' יהיה המקרה המדאיג ביותר", אמר לארי גוט של המכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס.

זה כבר לא דאגה.

נקודת התקיעה

בשנת 2014 - יותר מעשור לאחר שכץ וטאו ניסו להוכיח את השערת קאקיה - טאו פרסמו מתווה של גישתם בבלוג שלו, נותן למתמטיקאים אחרים את ההזדמנות לנסות זאת בעצמם.

ב2021, הונג וואנג, מתמטיקאי באוניברסיטת ניו יורק, ו יהושע זחל מאוניברסיטת בריטיש קולומביה החליטו להמשיך מהמקום שבו טאו וכץ הפסיקו.

הם התחילו בהנחת קיומה של דוגמה נגדית דביקה עם מימד מינקובסקי של פחות מ-3. הם ידעו מעבודות קודמות שדוגמה נגדית כזו חייבת להיות חלקה ומגורעת. "אז היינו בעולם שטרי טאו ונטס כץ חשבו עליו", אמר זהל. כעת הם היו צריכים להראות שהמאפיינים הגלויים, המגורענים והדביקים שיחקו זה את זה והובילו לסתירה, מה שיגרום לכך שהדוגמה הנגדית הזו לא יכולה להתקיים בפועל.

עם זאת, כדי להשיג את הסתירה הזו, וואנג וזאל הפנו את תשומת לבם לכיוון שכץ וטאו לא ציפו לו - לעבר אזור המכונה תורת ההשלכה.

הם התחילו בניתוח המבנה של הדוגמה הנגדית הדביקה שלהם ביתר פירוט. אם אתה מחשיב את הגרסה האידיאלית של הסט, יש לו מספר אינסופי של קטעי קו המצביעים לכל כיוון. אבל בבעיה הזו, זכרו שאתם מתמודדים עם גרסאות משומנות של מקטעי הקו האלה - חבורה של מחטים. כל אחת מהמחטים האלה יכולה להכיל רבים מקטעי הקו האידיאליים, כלומר, אתה יכול לקודד את כל הסט האינסופי עם מספר סופי של מחטים. תלוי בעובי המחטים, הסט המפוטם שלך עשוי להיראות שונה מאוד.

אם הסט דביק, הוא ייראה פחות או יותר אותו הדבר לא משנה כמה עובי המחטים.

וואנג וזאהל השתמשו בתכונה זו כדי להראות שככל שהמחטים נהיות דקות יותר, הסט הופך להיות יותר ויותר חלק. באמצעות התהליך הזה, הם יכלו "לחלץ חפץ פתולוגי אפילו יותר", אמר זהל - דבר שנראה שיש לו תכונות בלתי אפשריות.

זה מה שהם הראו בהמשך. הם הוכיחו שהאובייקט הפתולוגי הזה צריך להיראות באחת משתי דרכים, שתיהן הובילו לסתירות. או שתוכל להקרין אותו לתוך חלל דו-ממדי באופן שהפך אותו לקטן בהרבה בכיוונים רבים - משהו שלוואנג ועמיתיה היה זה עתה הוכח כבלתי אפשרי. או, במקרה השני, המחטים בסט יהיו מאורגנות לפי סוג מאוד ספציפי של פונקציה, שזאהל ושותפי הפעולה שלו הוכיחו לאחרונה. לא יכול היה להתקיים, כי זה יוביל לסוגים אחרים של תחזיות לא הגיוניות.

לוואנג ולזאהל הייתה עכשיו הסתירה שלהם - כלומר אין דוגמאות נגדיות דביקות להשערת קאקיה. (הם הראו זאת לא רק עבור ממד מינקובסקי, אלא גם עבור כמות קשורה הנקראת ממד האוסדורף.) "התוצאה שוללת את כל המעמד הזה של דוגמאות נגדיות," אמר זהל - הסוג המדויק של קבוצות חשבו שמתמטיקאים סבירים ביותר להפריך את ההשערה.

העבודה החדשה "מייצגת תמיכה חזקה בהשערת Kakeya נכונה", אמר פבלו שמרין של אוניברסיטת קולומביה הבריטית. למרות שזה חל רק על המקרה התלת מימדי, חלק מהטכניקות שלו עשויות להיות שימושיות בממדים גבוהים יותר. לאחר שבילו שנים בהתקדמות בהשערה במערכות מספרים אחרות, מתמטיקאים מתרגשים מהחזרה הזו לתחום המקורי של הבעיה של מספרים ממשיים.

"זה מדהים שהם פתרו את המקרה הזה לגמרי", אמר ג'אנג. "בסביבה האמיתית, זה נדיר ביותר." ואם מישהו יכול להוכיח שדוגמה נגדית חייבת להיות דביקה, התוצאה החדשה תרמוז על ההשערה המלאה בתלת מימד. היררכיית ההשערות שנבנתה מעליו תישאר בטוחה, הבסיס שלה יציב.

"איכשהו, שתי הבעיות השונות הללו בתורת ההשלכה, שעל פניו אין להן הרבה מה לעשות זו עם זו, משתלבות יפה מאוד כדי לתת בדיוק את מה שהיה צריך עבור Kakeya," אמר זאהל.