המתמטיקה המסתורית של שולחנות ביליארד | מגזין קוונטה

בסרטו של דיסני משנת 1959 דונלד בארץ המתמגיקה, דונלד דאק, בהשראת התיאורים של המספר על הגיאומטריה של ביליארד, פוגע אנרגטית בכדור הלבן, שולחים אותו בריקושט סביב השולחן לפני שהוא פוגע לבסוף בביצים המיועדים. דונלד שואל, "איך אתה אוהב את זה למתמטיקה?"

מכיוון שלשולחנות ביליארד מלבניים יש ארבעה קירות הנפגשים בזווית ישרה, מסלולי ביליארד כמו זה של דונלד ניתנים לחיזוי ומובנים היטב - גם אם הם קשים לביצוע בפועל. עם זאת, מתמטיקאים מחקריים עדיין לא יכולים לענות על שאלות בסיסיות לגבי המסלולים האפשריים של כדורי ביליארד על שולחנות בצורת מצולעים אחרים (צורות עם צדדים שטוחים). אפילו משולשים, המצולעים הפשוטים ביותר, עדיין מכילים תעלומות.

האם תמיד אפשר לפגוע בכדור כך שהוא יחזור לנקודת ההתחלה שלו בתנועה באותו כיוון, ויוצר מה שנקרא מסלול תקופתי? אף אחד לא יודע. לגבי צורות אחרות, מסובכות יותר, לא ידוע אם ניתן להכות את הכדור מכל נקודה על השולחן לכל נקודה אחרת בשולחן.

למרות שנראה שהשאלות הללו משתלבות היטב בגבולות הגיאומטריה כפי שהיא נלמדת בתיכון, ניסיונות לפתור אותן דרשו מכמה מהמתמטיקאים המובילים בעולם להביא רעיונות מתחומים שונים, כולל מערכות דינמיות, טופולוגיה וגיאומטריה דיפרנציאלית. כמו בכל בעיה גדולה במתמטיקה, העבודה על הבעיות הללו יצרה מתמטיקה חדשה והחזירה לידע ולהתקדם באותם תחומים אחרים. אולם למרות כל המאמץ הזה, והתובנה שהביאו מחשבים מודרניים, הבעיות הפשוטות לכאורה הללו מתנגדות בעקשנות לפתרון.

הנה מה שמתמטיקאים למדו על ביליארד מאז הזריקה הסבוכה של דונלד דאק.

בדרך כלל הם מניחים שכדור הביליארד שלהם הוא נקודה קטנה לאין שיעור, חסרת ממדים ושהוא קופץ מהקירות בסימטריה מושלמת, ויוצא באותה זווית שהוא מגיע, כפי שניתן לראות להלן.

ללא חיכוך, הכדור נוסע ללא הגבלת זמן אלא אם כן הוא מגיע לפינה, שעוצר את הכדור כמו כיס. הסיבה שקשה כל כך לנתח ביליארד מבחינה מתמטית היא ששתי יריות כמעט זהות הנוחתות משני צידי פינה יכולות להיות עם מסלולים שונים.

שיטה מרכזית לניתוח ביליארד מצולע היא לא לחשוב על הכדור כקפץ מקצה השולחן, אלא לדמיין שבכל פעם שהכדור פוגע בקיר, הוא ממשיך לנוע לתוך עותק חדש של השולחן שמתהפך מעליו. קצה, יצירת תמונת מראה. תהליך זה (שנראה להלן), הנקרא התגלגלות של שביל הביליארד, מאפשר לכדור להמשיך במסלול ישר. על ידי קיפול השולחנות המדומים בחזרה על שכניהם, אתה יכול לשחזר את המסלול האמיתי של הכדור. הטריק המתמטי הזה מאפשר להוכיח דברים על המסלול שאחרת יהיה מאתגר לראות.

לדוגמה, ניתן להשתמש בו כדי להראות מדוע לטבלאות מלבניות פשוטות יש אינסוף מסלולים תקופתיים דרך כל נקודה. טיעון דומה מתקיים עבור כל מלבן, אבל למען הקונקרטיות, דמיינו שולחן שרוחבו פי שניים מהאורך.

נניח שאתה רוצה למצוא מסלול מחזורי שחוצה את הטבלה n פעמים בכיוון הארוך ו m פעמים בכיוון הקצר. מכיוון שכל תמונת מראה של המלבן מתאימה לכדור שקופץ מקיר, כדי שהכדור יחזור לנקודת ההתחלה שלו כשהוא נוסע באותו כיוון, המסלול שלו חייב לחצות את הטבלה מספר זוגי של פעמים בשני הכיוונים. כך m ו n חייב להיות זוגי. פרסו רשת של מלבנים זהים, שכל אחד מהם נתפס כתמונת מראה של שכניו. צייר קטע קו מנקודה בטבלה המקורית לנקודה זהה בעותק n שולחנות משם בכיוון הארוך ו m שולחנות משם בכיוון הקצר. כוונן מעט את הנקודה המקורית אם השביל עובר בפינה. הנה דוגמה איפה n = 2 ו- m = 6. כאשר הוא מקופל בחזרה למעלה, הנתיב מייצר מסלול תקופתי, כפי שמוצג במלבן הירוק.

אי שוויון משולש

ביליארד במשולשים, שאין להם גיאומטריה ישרה זווית נחמדה של מלבנים, זה יותר מסובך. כפי שאתם אולי זוכרים מהגיאומטריה בבית הספר התיכון, ישנם מספר סוגים של משולשים: משולשים חדים, כאשר כל שלוש הזוויות הפנימיות הן פחות מ-90 מעלות; משולשים ישרים, בעלי זווית של 90 מעלות; ומשולשים קהים, שיש להם זווית אחת שהיא יותר מ-90 מעלות.

לשולחנות ביליארד בצורת משולשים חדים וישרים יש מסלולים תקופתיים. אבל אף אחד לא יודע אם הדבר נכון גם לגבי משולשים קהים.

כדי למצוא מסלול תקופתי במשולש חד, צייר קו מאונך מכל קודקוד לצד הנגדי, כפי שניתן לראות משמאל, למטה. חבר את הנקודות שבהן מופיעות הזוויות הישר כדי ליצור משולש, כפי שניתן לראות מימין.

משולש חרוט זה הוא מסלול ביליארד תקופתי הנקרא מסלול פאגנאנו, על שמו של ג'ובאני פאגנאנו, אשר בשנת 1775 הראה שלמשולש זה יש את ההיקף הקטן ביותר מבין כל המשולשים הרשומים.

בתחילת שנות ה-1990, פרד הולט באוניברסיטת וושינגטון ו גרגורי גלפרין ומשתפי הפעולה שלו באוניברסיטת מוסקבה באופן עצמאי הראה שלכל משולש ישר זווית יש מסלולים מחזוריים. דרך פשוטה אחת להראות זאת היא לשקף את המשולש על רגל אחת ולאחר מכן על השנייה, כפי שמוצג להלן.

התחל עם מסלול שנמצא בזווית ישרה לתחתית (הצד הארוך של המשולש). התחתון וההשתקפות השניה שלו מקבילים, כך שקטע קו מאונך המצטרף אליהם מתאים למסלול שיקפוץ קדימה ואחורה לנצח: הכדור עוזב את התחתון בזווית ישרה, מקפץ משתי הרגליים, חוזר אל תחתית התחתית בצד ימין. זווית, ולאחר מכן חוזרת על מסלולה.

אבל משולשים קהים נשארים בגדר תעלומה. במאמרם משנת 1992, גלפרין ומשתפי הפעולה שלו העלו מגוון שיטות לשקף משולשים קהים באופן המאפשר ליצור מסלולים מחזוריים, אך השיטות עבדו רק עבור כמה מקרים מיוחדים. ואז, בשנת 2008, ריצ'רד שוורץ באוניברסיטת בראון הראו שכל משולשים קהים עם זוויות של 100 מעלות או פחות מכילים מסלול תקופתי. הגישה שלו כללה פירוק הבעיה למספר מקרים ואימות כל מקרה באמצעות מתמטיקה מסורתית וסיוע במחשב. בשנת 2018, יעקב גרבר, בויאן מרינוב, קנת מור וג'ורג' טוקרסקי באוניברסיטת אלברטה הרחיב את הסף הזה עד 112.3 מעלות. (טוקרסקי ומרינוב בילה יותר מעשור רודפים אחרי המטרה הזו.)

תפנית טופולוגית

נעשה שימוש בגישה אחרת כדי להראות שאם כל הזוויות הן רציונליות - כלומר, ניתן לבטא אותן כשברים - למשולשים קהים עם זוויות גדולות עוד יותר חייבים להיות מסלולים תקופתיים. במקום רק להעתיק מצולע במישור שטוח, גישה זו ממפה עותקים של מצולעים על פני משטחים טופולוגיים, סופגניות עם חור אחד או יותר בתוכם.

אם אתה משקף מלבן על הצד הקצר שלו, ואז משקף את שני המלבנים על הצד הארוך ביותר שלהם, יוצר ארבע גרסאות של המלבן המקורי, ולאחר מכן מדביק את החלק העליון והתחתון יחד ואת השמאל והימין יחד, תיצור סופגנייה, או טורוס, כפי שמוצג להלן. מסלולי ביליארד על השולחן תואמים למסלולים על הטורוס, ולהיפך.

במאמר מפורסם משנת 1986, הווארד מסור השתמש בטכניקה זו כדי להראות שלכל הטבלאות המצולעות עם זוויות רציונליות יש מסלולים מחזוריים. הגישה שלו עבדה לא רק עבור משולשים קהים, אלא עבור צורות הרבה יותר מסובכות: טבלאות לא סדירות עם 100 צלעות, למשל, או מצולעים שקירותיהם מתפתלים ויוצרים פינות וגופים, יש להם מסלולים מחזוריים, כל עוד הזוויות הן רציונליות.

למרבה הפלא, קיומו של מסלול מחזורי אחד במצולע מרמז על קיומם של אינסוף רבים; הסטת המסלול במעט תניב משפחה של מסלולים תקופתיים קשורים.

בעיית ההארה

צורות עם פינות ונקודות מעוררות שאלה קשורה. במקום לשאול על מסלולים שחוזרים לנקודת ההתחלה שלהם, בעיה זו שואלת האם מסלולים יכולים לבקר בכל נקודה בטבלה נתונה. זה נקרא בעיית התאורה מכיוון שאנו יכולים לחשוב על זה על ידי דימיון קרן לייזר המשתקפת מקירות מראות העוטפים את שולחן הביליארד. אנו שואלים אם, בהינתן שתי נקודות על שולחן מסוים, אתה תמיד יכול להאיר לייזר (אידיאלי כקרן אור דקה לאין שיעור) מנקודה אחת לשנייה. במילים אחרות, אם היינו מניחים נורה, שמאירה לכל הכיוונים בבת אחת, בשלב מסוים על השולחן, האם היא הייתה מאירה את כל החדר?

היו שני קווי מחקר עיקריים לבעיה: מציאת צורות שאינן ניתנות להארה והוכחה שיכולות להיות מחלקות גדולות של צורות. בעוד שמציאת צורות מוזרות שאינן ניתנות להארה יכולה להיעשות באמצעות יישום חכם של מתמטיקה פשוטה, הוכחה שניתן להאיר הרבה צורות התאפשרה רק באמצעות שימוש במכונות מתמטיות כבדות.

ב1958, רוג'ר פנרוז, מתמטיקאי שהמשיך לזכות ב 2020 בפרס נובל בפיזיקה, מצא טבלה מעוקלת שבה כל נקודה באזור אחד לא יכלה להאיר אף נקודה באזור אחר. במשך עשרות שנים, אף אחד לא יכול להמציא מצולע בעל אותה תכונה. אבל בשנת 1995, טוקרסקי השתמש בעובדה פשוטה על משולשים כדי ליצור מצולע חוסם בעל 26 צלעות עם שתי נקודות שאינן נגישות הדדית, המוצג להלן. כלומר, קרן לייזר שצולמה מנקודה אחת, ללא קשר לכיוון שלה, אינה יכולה לפגוע בנקודה השנייה.

הרעיון המרכזי שבו השתמש טוקרסקי בבניית השולחן המיוחד שלו היה שאם קרן לייזר מתחילה באחת מהזוויות החדות במשולש 45°-45°-90°, היא לעולם לא תוכל לחזור לפינה הזו.

השולחן המשונן שלו עשוי מ-29 משולשים כאלה, מסודרים כדי לעשות שימוש חכם בעובדה זו. בשנת 2019 עמית וולצקי, אז סטודנט לתואר שני באוניברסיטת תל אביב, יישם את אותה טכניקה לייצר צורה עם 22 צלעות (להלן), שהוא הוכיח שהוא המספר הקטן ביותר האפשרי של צלעות לצורה שיש לה שתי נקודות פנימיות שאינן מאירות זו את זו.

להוכיח תוצאות בכיוון השני היה הרבה יותר קשה. בשנת 2014, מרים מירזחאני, מתמטיקאית מאוניברסיטת סטנפורד, הפכה לאישה הראשונה לזכות במדליית פילדס, הפרס היוקרתי ביותר של מתמטיקה, על עבודתה על מרחבי המודולים של משטחי רימן - מעין הכללה של הסופגניות שבהן השתמש מסור כדי להראות שלכל הטבלאות המצולעות עם זוויות רציונליות יש מסלולים מחזוריים. בשנת 2016, סמואל לליבר מאוניברסיטת פריז-סקליי, תיירי מונטיל של המרכז הלאומי הצרפתי למחקר מדעי ו ברק וייס מאוניברסיטת תל אביב יישם מספר תוצאות של מירזחאני להציג שכל נקודה במצולע רציונלי מאירה את כל הנקודות למעט רבות. ייתכן שיהיו כתמים כהים מבודדים (כמו בדוגמאות של טוקרסקי ווולצקי) אך אין אזורים כהים כפי שיש בדוגמה של פנרוז, שיש לה קירות מעוקלים ולא ישרים. ב המאמר של וולצקי משנת 2019, הוא חיזק תוצאה זו על ידי הוכחה שיש רק זוגות סופיים רבים של נקודות בלתי ניתנות להארה.

למרבה הצער, מירזחאני מת בשנת 2017 בגיל 40, לאחר מאבק במחלת הסרטן. עבודתה נראתה רחוקה מצילומי טריק באולמות ביליארד. ובכל זאת ניתוח מסלולי ביליארד מראה כיצד אפילו המתמטיקה המופשטת ביותר יכולה להתחבר לעולם בו אנו חיים.