הנה צורות מודולריות, 'המבצע היסודי החמישי' של מתמטיקה | מגזין קוונטה

"יש חמש פעולות בסיסיות במתמטיקה", כביכול המתמטיקאי הגרמני מרטין אייכלר. "חיבור, חיסור, כפל, חילוק וצורות מודולריות."

חלק מהבדיחה, כמובן, הוא שאחד מאלה אינו כמו האחרים. צורות מודולריות הן פונקציות הרבה יותר מסובכות וחידתיות, ותלמידים לא נתקלים בהן בדרך כלל עד לתואר שני. אבל "כנראה יש פחות תחומים במתמטיקה שבהם אין להם יישומים מאשר היכן שיש להם," אמר דון זגייר, מתמטיקאי במכון מקס פלנק למתמטיקה בבון, גרמניה. מדי שבוע, מאמרים חדשים מרחיבים את טווח ההגעה שלהם לתורת המספרים, גיאומטריה, קומבינטוריקה, טופולוגיה, קריפטוגרפיה ואפילו תורת המיתרים.

לעתים קרובות הם מתוארים כפונקציות המספקות סימטריות כה בולטות ומשוכללות עד שהן לא אמורות להיות אפשריות. המאפיינים שמגיעים עם הסימטריות הללו הופכות צורות מודולריות לעוצמתיות מאוד. זה מה שהפך אותם לשחקני מפתח בהוכחה מרשימה של 1994 למשפט האחרון של פרמה. זה מה שהפך אותם למרכזיים עבודה עדכנית יותר על אריזת כדורים. וזה מה שעושה אותם כעת חיוניים לפיתוח מתמשך של "תיאוריה מתמטית של הכל" הנקראת תוכנית Langlands.

אבל מה הם?

סימטריות אינסופיות

כדי להבין צורה מודולרית, זה עוזר לחשוב תחילה על סימטריות מוכרות יותר.

באופן כללי, אומרים שלצורה יש סימטריה כאשר יש טרנספורמציה כלשהי שמשאירה אותה זהה.

פונקציה יכולה גם להציג סימטריות. קחו בחשבון את הפרבולה המוגדרת על ידי המשוואה $latex f(x) = x^2$. זה עונה על סימטריה אחת: זה יכול להשתקף על פני y-צִיר. לדוגמה, $latex f(3) = f(−3) = 9$. באופן כללי יותר, אם אתה מעביר כל קלט $latex x$ ל-$latex -x$, אז $latex x^2$ מוציא את אותו ערך.

אינסוף פונקציות מספקות את הסימטריה הזו. הנה רק כמה:

הדוגמה האחרונה היא פונקציית הקוסינוס מהטריגונומטריה. הוא מפגין סימטריה של השתקפות, אבל יש לו גם סימטריות אחרות. אם תעביר $latex x$ על ידי כפולות שלמים של $latex 2pi$, הפונקציה תמיד מחזירה את אותו ערך - כלומר יש אינסוף טרנספורמציות שיכולות להשאיר את הפונקציה ללא שינוי.

הסימטריה הנוספת הזו הופכת פונקציות כמו קוסינוס לשימושיות להפליא. "חלק גדול מהפיסיקה הבסיסית מתחיל בהבנת ההשלכות המלאות של הפונקציות הטריגונומטריות", אמר קן אונו, מתמטיקאי באוניברסיטת וירג'יניה.

"צורות מודולריות הן משהו כמו פונקציות טריגונומטריות, אבל על סטרואידים", הוסיף. הם מספקים אינסוף סימטריות "חבויות".

היקום המורכב

פונקציות יכולות לעשות כל כך הרבה רק כשהן מוגדרות במונחים של המספרים הממשיים - ערכים שניתן לבטא כעשרוני קונבנציונלי. כתוצאה מכך, מתמטיקאים פונים לעתים קרובות למספרים המרוכבים, שניתן לחשוב עליהם כזוגות של מספרים ממשיים. כל מספר מרוכב מתואר במונחים של שני ערכים - רכיב "אמיתי" ו"דמיוני", שהוא מספר ממשי מוכפל בשורש הריבועי של −1 (שמתמטיקאים כותבים כ-$latex i$).

לכן כל מספר מרוכב יכול להיות מיוצג כנקודה במישור דו מימדי.

קשה לדמיין פונקציות של מספרים מרוכבים, ולכן מתמטיקאים פונים לעתים קרובות לצבע. לדוגמה, ניתן לצבוע את המישור המורכב כך שייראה כמו גלגל קשת בענן. הצבע של כל נקודה מתאים לזווית שלה בקואורדינטות קוטביות. ישירות מימין למרכז, כאשר לנקודות יש זווית של 0 מעלות, אתה מקבל אדום. ב-90 מעלות, או ישר למעלה, נקודות נצבעות בירוק עז. וכולי. לבסוף, קווי מתאר מסמנים שינויים בגודל, או בגודל, כמו במפה טופוגרפית.

כעת אתה יכול להשתמש בזה בתור גרף התייחסות כדי להמחיש פונקציות מורכבות. מיקום נקודה במישור מייצג את הקלט, ואתה תקצה לנקודה זו צבע על סמך גרף ההתייחסות. לדוגמה, שקול את הפונקציה $latex f(z) = z^2$. כאשר $latex z = 1 + i$, $latex f(z) = 2i$, שכן $latex (1 + i)^2 = 2i$. מכיוון ש-$latex 2i$ נצבע בירוק עז בגרף ההתייחסות, בגרף החדש שלך תצבע את הנקודה $latex 1 + i$ בירוק עז.

הגרף של $latex f(z) = z^2$ עובר בין הצבעים פעמיים, כי ריבוע של מספר מרוכב מכפיל את הזווית שלו. יש לו גם יותר קווי מתאר, כי התפוקות גדלות מהר יותר בגודלן.

באופן כללי יותר, הגרף נראה אותו הדבר כאשר אתה משקף נקודות על פני קו אלכסוני הנמשך דרך המרכז (או המקור).

זוהי סימטריה אחת של פונקציה בעלת ערך מורכב. צורות מודולריות מציגות מגוון מביך של סימטריות כאלה. אבל זה יכול להיות קשה להבין את הפונקציה בפועל שהצבעים וקווי המתאר מייצגים.

התחום הבסיסי

כדי לעשות זאת, זה עוזר לנסות לפשט את הדרך בה אנו מסתכלים על הפונקציות המסובכות הללו.

בגלל הסימטריות של הצורה המודולרית, אתה יכול לחשב את כל הפונקציה בהתבסס רק על רסיס צר של קלט, הממוקם באזור של המישור שנקרא התחום הבסיסי. אזור זה נראה כמו רצועה העולה מהציר האופקי עם חור חצי עגול חתוך מתחתיו.

אם אתה יודע איך הפונקציה מתנהגת שם, תדע מה היא עושה בכל מקום אחר.

כך:

שני סוגים של טרנספורמציות מעתיקות את התחום הבסיסי ימינה ושמאלה, כמו גם לסדרה של חצאי מעגלים מתכווצים לאורך הציר האופקי. עותקים אלה ממלאים את כל המחצית העליונה של המישור המורכב.

צורה מודולרית מקשרת את העותקים זה לזה בצורה מאוד מסוימת. שם נכנסות הסימטריות שלו לתמונה.

אם אתה יכול לעבור מנקודה בעותק אחד לנקודה באחרת דרך הסוג הראשון של טרנספורמציה - על ידי הזזה של יחידה אחת שמאלה או ימינה - אז הצורה המודולרית מקצה את אותו ערך לשתי הנקודות הללו. בדיוק כפי שהערכים של פונקציית הקוסינוס חוזרים במרווחים של $latex 2pi$, צורה מודולרית היא תקופתית במרווחים של יחידה אחת.

בינתיים, אתה יכול להגיע מנקודה בעותק אחד לנקודה באחרת באמצעות הסוג השני של טרנספורמציה - על ידי השתקפות על גבול המעגל עם רדיוס 1 במרכזו במקור. במקרה זה, הצורה המודולרית לא בהכרח מקצה לאותן נקודות את אותו ערך. עם זאת, הערכים בשתי הנקודות מתייחסים זה לזה בצורה קבועה המולידה גם סימטריה.

אתה יכול לשלב את הטרנספורמציות הללו באינסוף דרכים, מה שנותן לך את אינסוף תנאי הסימטריה שהצורה המודולרית חייבת לעמוד בהם.

"זה לא בהכרח נשמע מאוד מרגש," אמר ג'ון וייט, מתמטיקאי במכללת דארטמות'. "כלומר, לגלף את חצי המטוס העליון ולשים מספרים על מקומות שונים - למי אכפת?"

"אבל הם מאוד בסיסיים," הוא הוסיף. ויש סיבה למה זה המצב.

מרחבים מבוקרים

בשנות ה-1920 וה-30, המתמטיקאי הגרמני אריך הקה פיתח תיאוריה עמוקה יותר סביב צורות מודולריות. באופן מכריע, הוא הבין שהם קיימים בחללים מסוימים - חללים בעלי ממדים ספציפיים ומאפיינים אחרים. הוא הבין כיצד לתאר את החללים הללו באופן קונקרטי ולהשתמש בהם כדי לקשר צורות מודולריות שונות זו לזו.

ההבנה הזו הניעה הרבה מתמטיקה של המאה ה-20 וה-21.

כדי להבין איך, שקול תחילה שאלה ישנה: בכמה דרכים תוכל לכתוב מספר שלם נתון כסכום של ארבעה ריבועים? יש רק דרך אחת לכתוב אפס, למשל, בעוד שיש שמונה דרכים לבטא 1, 24 דרכים לבטא 2 ו-32 דרכים לבטא 3. כדי ללמוד את הרצף הזה - 1, 8, 24, 32 וכן הלאה - מתמטיקאים קידמו אותו בסכום אינסופי הנקרא פונקציה יוצרת:

$latex 1 + 8q + {{24q}^2} + {{32q}^3} + {{24q}^4} + {{48q}^5} + …$

לא הייתה בהכרח דרך לדעת מה צריך להיות המקדם של, למשל, $latex q^{174}$ - זו בדיוק השאלה שהם ניסו לענות. אבל על ידי המרת הרצף לפונקציה יוצרת, מתמטיקאים יכלו ליישם כלים מחשבון ושדות אחרים כדי להסיק מידע לגביו. הם עשויים, למשל, להיות מסוגלים להמציא דרך להעריך את הערך של כל מקדם.

אבל מסתבר שאם פונקציית ההפקה היא צורה מודולרית, אתה יכול לעשות הרבה יותר טוב: אתה יכול לשים יד על נוסחה מדויקת לכל מקדם.

"אם אתה יודע שזו צורה מודולרית, אז אתה יודע הכל," אמר יאן ברוינייר מהאוניברסיטה הטכנית של דרמשטט בגרמניה.

הסיבה לכך היא שהסימטריות הרבות אינסופיות של הצורה המודולרית אינן רק יפות להסתכל עליהן - "הן כל כך מגבילות", אמר. לארי רולן מאוניברסיטת ונדרבילט, שניתן להפוך אותם ל"כלי להוכחה אוטומטית של התאמה וזהויות בין דברים".

מתמטיקאים ופיזיקאים מקודדים לעתים קרובות שאלות של עניין ביצירת פונקציות. ייתכן שהם ירצו לספור את מספר הנקודות על עקומות מיוחדות, או את מספר המצבים במערכות פיזיקליות מסוימות. "אם יתמזל מזלנו, זו צורה מודולרית", אמר קלאודיה אלפס-נוימן, מתמטיקאי באוניברסיטת בילפלד בגרמניה. זה יכול להיות מאוד קשה להוכיח, אבל אם אתה יכול, אז "התיאוריה של צורות מודולריות היא כל כך עשירה שהיא נותנת לך טונות של אפשרויות לחקור את המקדמים [הסדרות] האלה."

אובניים בניין

כל צורה מודולרית הולכת להיראות מסובכת מאוד. כמה מהפשוטים ביותר - המשמשים כאבני בניין לצורות מודולריות אחרות - נקראות סדרת אייזנשטיין.

אתה יכול לחשוב על סדרת אייזנשטיין כעל סכום אינסופי של פונקציות. כדי לקבוע כל אחת מהפונקציות הללו, השתמש בנקודות על רשת דו-ממדית אינסופית:

כאשר אתה מוסיף את הפונקציות המשויכות לארבע נקודות בלבד ברשת ליד המקור, אתה יכול לראות כיצד מתחילות להופיע סימטריות ברורות.

אם אתה לוקח את הסכום המלא של הפונקציות הרבות של הרשת, אתה מקבל סדרת אייזנשטיין שהיא ללא ספק הצורה המודולרית הקלה ביותר לרשום. התבניות משקפות את הסימטריות המגדירות את הצורה - חוזרות בלי סוף ימינה ושמאלה, והופכות בדרכים מסובכות יותר קרוב יותר לציר האופקי.

המשחק ממשיך

חקר צורות מודולריות הוביל למבול של ניצחונות מתמטיים. למשל, עבודה אחרונה על אריזת כדורים, שעבורה המתמטיקאית האוקראינית מרינה ויאזובסקה זכה במדליית פילדס בשנה שעברה, השתמשו בצורות מודולריות. "כשראיתי את זה, די הופתעתי", אמר ברוינייר. "אבל זה איכשהו עובד."

התברר כי צורות מודולריות קשורות לאובייקט אלגברי חשוב הנקרא קבוצת מפלצות. הם שימשו לבניית סוגים מיוחדים של רשתות בשם גרפים מרחיבים, המופיעים במדעי המחשב, תורת התקשורת ויישומים אחרים. הם אפשרו לחקור מודלים פוטנציאליים של אינטראקציות בין חלקיקים בתורת המיתרים ובפיזיקת הקוונטים.

אולי המפורסם ביותר, ההוכחה של 1994 למשפט האחרון של פרמה הייתה תלויה בצורות מודולריות. המשפט, הנחשב לאחת הבעיות החשובות ביותר בתורת המספרים, קובע שאין שלושה מספרים שלמים שאינם אפס a, b ו c שעומדים במשוואה $latex {a^n} + {b^n} = {c^n}$ כאשר $latex n$ הוא מספר שלם הגדול מ-2. המתמטיקאי אנדרו ויילס הוכיח זאת בהנחה שההפך - ש- פתרון למשוואה אכן קיים - ולאחר מכן שימוש בצורות מודולריות כדי להראות שהנחה כזו חייבת להוביל לסתירה.

תחילה הוא השתמש בפתרון המשוער שלו כדי לבנות אובייקט מתמטי הנקרא עקומה אליפטית. לאחר מכן הוא הראה שתמיד אפשר לשייך צורה מודולרית ייחודית לעקומה כזו. עם זאת, התיאוריה של צורות מודולריות הכתיבה שבמקרה זה, הצורה המודולרית הזו לא יכולה להתקיים. "זה טוב מכדי להיות אמיתי," אמר וייט. מה שאומר, בתורו, שהפתרון המשוער לא יכול להתקיים - ובכך מאשר את המשפט האחרון של פרמה.

זה לא רק פתר בעיה בת מאות שנים; זה גם סיפק הבנה טובה יותר של עקומות אליפטיות, שעלולות להיות קשות ללימוד ישירות (ואשר ממלאות תפקיד חשוב בהצפנה ובקודים לתיקון שגיאות).

ההוכחה גם האירה גשר בין גיאומטריה לתורת המספרים. הגשר הזה הורחב מאז לתוך תוכנית Langlands, מערך קשרים גדול יותר בין שני התחומים - ונושא אחד ממאמצי המחקר המרכזיים של המתמטיקה העכשווית. צורות מודולריות הוכללו גם בתחומים אחרים, שבהם היישומים הפוטנציאליים שלהם רק מתחילים להיות מוכרים.

הם ממשיכים להופיע בכל מקום במתמטיקה ובפיסיקה, לפעמים באופן מסתורי למדי. "אני מסתכל בעיתון על חורים שחורים," אמר סטיב קודלה מאוניברסיטת טורונטו, "ואני מוצא צורות מודולריות שהן חברים שלי. אבל אני לא יודע למה הם שם."

"איכשהו," הוא הוסיף, "צורות מודולריות לוכדות כמה מהסימטריות הבסיסיות ביותר של העולם."