למספר המרחקים להפרדת נקודות יש גבול חדש | מגזין קוונטה

פזרו שלוש נקודות במישור, ואז מדוד את המרחקים בין כל זוג מהן. ככל הנראה, תמצא שלושה מרחקים שונים. אבל אם אתה מסדר את הנקודות במשולש שווה צלעות, אז כל מרחק זהה. במטוס אי אפשר לעשות את זה עם ארבע נקודות. המספר הקטן ביותר של מרחקים שאתה יכול להנדס הוא 2 - הקצוות והאלכסונים של ריבוע.

אבל אם תרים את אחת הנקודות מעלה מהמישור כדי ליצור פירמידה, שכל אחת מהצלעות שלה היא משולש שווה צלעות, תהיה לך קבוצה של ארבע נקודות המופרדות על ידי מרחק ייחודי אחד - אורכה של צד אחד של המשולש.

אם יש לך הרבה נקודות, הדפוסים האלה גדלים אפילו יותר. מאה נקודות מפוזרות באקראי במישור עשויות להגדיר 4,950 מרחקים זוגיים ברורים. אבל אם תסדר 100 נקודות ברשת שטוחה ומרובעת, כל זוג נקודות יופרד באחת מ-50 מרחקים אפשריים בלבד. הרם את הנקודות לרשת תלת מימדית, ותוכל להפחית את המספר הזה עוד יותר.

מענה על שאלות לגבי מספר המרחקים בין נקודות עשוי להישמע כמו תרגיל אזוטרי. אבל במסע של עשרות שנים לפתור בעיות כאלה, מתמטיקאים פיתחו כלים שיש להם מגוון רחב של יישומים אחרים, מתורת המספרים ועד לפיזיקה.

"כשאנשים ניסו לפתור את הבעיה", אמר פבלו שמרין מאוניברסיטת קולומביה הבריטית, "הם התחילו לגלות קשרים מפתיעים ובלתי צפויים".

הפיתוח האחרון הגיע בסוף השנה שעברה, כאשר שיתוף פעולה של ארבעה מתמטיקאים הוכיח מערכת יחסים חדשה בין הגיאומטריה של קבוצות הנקודות והמרחקים ביניהן.

רשימת המרחקים השונים שנקבעים על ידי קבוצת נקודות נקראת קבוצת המרחק שלה; ספור כמה מספרים יש ברשימה הזו, ותקבל את גודל סט המרחק. בשנת 1946, המתמטיקאי הפורה פול ארדס שיער שעבור מספרים גדולים של נקודות, המרחק שנקבע אינו יכול להיות קטן יותר ממה שאתה מקבל כאשר אתה מסדר את הנקודות לרשת. הבעיה, אף על פי שהיא פשוטה על פניה, התבררה כעמוקה וקשה ביותר. אפילו בשני ממדים, זה עדיין לא הוכח במלואו, אם כי בשנת 2010, שני מתמטיקאים התקרב כל כך שזה נחשב כעת מיושב ביעילות; הוא נשאר פתוח בממדים גבוהים יותר.

בינתיים, מתמטיקאים גיבשו גם גרסאות חדשות של ההשערה. אחד החשובים שבהם התעורר בא נייר 1985 by קנת פלקונר, מתמטיקאי באוניברסיטת סנט אנדרוס בסקוטלנד. פלקונר תהה מה ניתן לומר על המרחקים המובהקים בין אינסוף נקודות.

אם יש לך אינסוף נקודות, פשוט ספירה כבר לא שימושית במיוחד. אבל למתמטיקאים יש דרכים אחרות להגדיר גודל. ההשערה של פלקונר מציבה קשר בין הגיאומטריה של קבוצת הנקודות - המאופיינת במספר הנקרא ממד הפרקטלי - לבין גודל קבוצת המרחק, המאופיינת במספר הנקרא מידה.

המימד הפרקטלי מיישר קו עם אינטואיציה רגילה לגבי ממדים. בדיוק כמו עם המושג המוכר יותר של ממד, לקטע קו יש ממד פרקטלי של 1, בעוד שלריבוע (כאשר החלק הפנימי שלו מלא) יש ממד פרקטלי של 2. אבל אם אוסף של נקודות יוצר תבנית פרקטלית מסובכת יותר - כמו עקומה שבה פיתולים וסיבובים מיקרוסקופיים ממשיכים להופיע, לא משנה כמה רחוק תתקרב - ייתכן שהממד הפרקטלי שלו אינו מספר שלם. לדוגמה, לעקומת פתיתי השלג של קוך המוצגת להלן, שיש לה סדרה אינסופית של בליטות משולשות קטנות מתמיד, יש מימד של כ-1.26.

באופן כללי, לאוסף אינסופי של נקודות יש ממד פרקטלי שתלוי בערך במידת מפוזרו. אם הוא מתפזר סביב המישור, הממד הפרקטלי שלו יהיה קרוב ל-2. אם הוא נראה יותר כמו קו, הממד הפרקטלי שלו יהיה קרוב ל-1. ניתן להגדיר את אותם סוגי מבנים עבור קבוצות של נקודות במרחב התלת-מימדי , או בממדים גבוהים עוד יותר.

בצד השני של ההשערה של פלקונר נמצאת מידת המרחק שנקבע. מידה היא מעין הכללה מתמטית של מושג האורך. למספר בודד, שניתן לייצג אותו כנקודה על קו מספרים, יש מידה אפסית. אבל אפילו לקבוצות אינסופיות יכולה להיות מידה אפסית. לדוגמה, המספרים השלמים מפוזרים כל כך דק בין המספרים הממשיים שאין להם "אורך" קולקטיבי, ולכן יוצרים קבוצה של מידה אפס. מצד שני, למספרים האמיתיים בין, נניח, 3/4 ל-1 יש מידה 1/4, כי זה כמה ארוך המרווח.

המידה נותנת דרך לאפיין את גודל קבוצת המרחקים המובהקים בין אינסוף נקודות. אם מספר המרחקים הוא "קטן", זה אומר שלמרחק שנקבע יהיה מידה אפס: יש הרבה מרחקים משוכפלים. אם, לעומת זאת, לקבוצת המרחק יש מידה שגדולה מאפס, זה אומר שיש הרבה מרחקים שונים.

בשני ממדים, Falconer הוכיח שלכל קבוצת נקודות עם ממד פרקטלי גדול מ-1.5 יש מרחק שנקבע עם מידה שאינה אפס. אבל מתמטיקאים הגיעו מהר מאוד להאמין שזה נכון עבור כל הקבוצות עם ממד פרקטלי גדול מ-1. "אנחנו מנסים לפתור את הפער הזה של 1/2," אמר Yumeng Ou מאוניברסיטת פנסילבניה, אחד ממחברי המאמר החדש. יתרה מכך, השערתו של פלקונר משתרעת לשלושה ממדים או יותר: עבור נקודות הפזורות ב- dמרחב ממדי, הוא קובע שאם הממד הפרקטלי של הנקודות הוא יותר מ ד/2, אז המדד של המרחק שנקבע חייב להיות גדול מ-0.

בשנת 2018, Ou, יחד עם עמיתים, הראה שההשערה מחזיק בשני מימדים עבור כל הסטים עם ממד פרקטלי גדול מ-5/4. עכשיו Ou - יחד עם שיומין דו מאוניברסיטת נורת'ווסטרן, Ruixiang Zhang מאוניברסיטת קליפורניה, ברקלי, ו קווין רן מאוניברסיטת פרינסטון - הוכיחו שבמימדים גבוהים יותר, הסף להבטחת מרחק שנקבע עם מידה שאינה אפס הוא קצת יותר קטן מאשר d/2 + 1/4. "הגבולות בממדים גבוהים יותר, במאמר זה, בפעם הראשונה אי פעם, טובים יותר מאשר בממד 2," אמר שמרין. (בשני מימדים, הסף הוא בדיוק d/2 + 1/4.)

התוצאה האחרונה הזו היא רק אחד פנימה גל מההתקדמות האחרונה on ההשערה של פלקונר. ההוכחה זיקקה טכניקות בניתוח הרמוני - תחום מרוחק לכאורה במתמטיקה העוסק בייצוג של פונקציות מסובכות באופן שרירותי במונחים של גלים פשוטים - כדי לחזק את הכבול. אבל כמה מהטכניקות הללו פותחו לראשונה על מנת להתמודד עם אותה בעיה בדיוק.

שאלה זו לגבי מרחקים בין נקודות "שימשה מגרש משחקים לכמה מהרעיונות הגדולים ביותר בניתוח הרמוני", אמרה. אלכס יושביץ' מאוניברסיטת רוצ'סטר.

למרות שהם סגרו רק מחצית מהפער שהותיר פלקונר במאמרו משנת 1985, מתמטיקאים רואים בשטף העבודה האחרון עדות לכך שההשערה המלאה עשויה להיות סוף סוף בהישג יד. בינתיים, הם ימשיכו להשתמש בבעיה כשטח בדיקה לכלים המתוחכמים ביותר שלהם.