מתמטיקה שנמשכת לנצח אבל לא חוזרת על עצמה | מגזין קוונטה

האם אי פעם התפעלת מאיך שהדקים של רצפת עץ משתלבים זה בזה בצורה כל כך נקייה, או איך המשושים שמתחת לשטיח האמבטיה שלך נפגשים בצורה מושלמת? אלו הן דוגמאות של ריצוף גיאומטריים, סידורים של צורות המשתלבות זו בזו תוך מילוי מקום. ריצוף דו מימדי זוכה להערצה בכל רחבי העולם, הן בשל היופי שלהם - כפי שניתן לראות באמנות הפסיפסים בקתדרלות ובמסגדים ברחבי העולם - והן בשל השימושיות שלהם, בקירות וברצפות בכל מקום.

במתמטיקה, ריצוף מוערך לעתים קרובות על הדפוסים הקבועים שלהם. אבל מתמטיקאים מוצאים יופי גם באי-סדירות. זה סוג של יופי שטכנאי דפוס בדימוס חיפש כשהיה התגלה לאחרונה ה"מונוטיל א-מחזורי" הראשון - אריח בודד הממלא את המישור בתבנית שאינה חוזרת על עצמה. כדי להתמודד עם התגלית הגדולה הזו, נתחיל במחשבה על בעיה פשוטה יותר: כיצד לרצף קו.

בואו נדמיין את אריחי מילוי השורות שלנו כאותיות הנצמדות זו לזו ויוצרות רצפים. אם האריחים והכללים שאנו מאמצים להצבתם מאפשרים לנו ליצור מחרוזת אותיות הנמשכת אינסוף בשני הכיוונים, נוכל "לרצף את השורה". לדוגמה, נניח שיש לנו שני אריחים, A ו-B, ושני כללים לחיבורם:

1. ליד A, משני הצדדים אתה יכול למקם רק B.
2. ליד B, משני הצדדים אתה יכול לשים רק A.

האם נוכל לרצף את הקו עם האריחים האלה והכללים האלה? בהחלט. נניח ששמים תחילה א'.

A

לפי הכללים, עלינו לשים B's משני הצדדים.

BAB

כעת, משני הצדדים של ה-B'ים הללו, עלינו לשים A's, וכן הלאה.

…ABABABABABABA…

עם האריחים והכללים הללו, נוכל להמשיך לנצח בשני הכיוונים, כך שנוכל לרצף את הקו. למעשה, אנו יכולים להסיק מסקנה חזקה יותר: זוהי בעצם הדרך היחידה שבה אנו יכולים לרצף את הקו עם הכללים הללו. בוא נראה מה זה אומר.

נניח שבמקום זאת התחלנו ב-B.

B

הכללים מחייבים לשים א' משני הצדדים.

ABA

ואחר כך B's משני הצדדים של ה-A's, וכן הלאה.

…BABABABABABAB…

זה נראה כמו ריצוף חוקי שני של הקו. אבל בואו נשווה את זה זה לצד זה עם הראשון.

…BABABABABABAB…

…ABABABABABABA…

אם נסליק את אחד מהאריחים על ידי אריח אחד, השניים מתאימים בצורה מושלמת - לנצח.

  …BABABABABABAB…

…ABABABABABABA…

במילים אחרות, לאחר תרגום, הריצוף שקול. זה מראה ששני הריצוף עוקבים אחר אותה דפוס.

מבט מקרוב מגלה משהו אפילו יותר מעניין. התחל עם שני עותקים של הריצוף המקורי:

…ABABABABABABA…

…ABABABABABABA…

כעת, צפו במה שקורה כאשר מחליקים את החלק העליון על שני אריחים:

     …ABABABABABABA…

…ABABABABABABA…

הריצוף המקורי תואם את עצמו. כאשר ריצוף שווה ערך לעצמו לאחר תרגום, יש לו "סימטריה תרגום". (זה כמו אובייקט בעל "סימטריה רפלקטיבית" אם שני חצאי תמונת המראה שלו יכולים להשתקף זה בזה.)

סימטריה תרגום מראה כיצד ריצוף הוא למעשה רק דפוס אחד שחוזר על עצמו שוב ושוב. במקרה זה, ניתן להתייחס לריצוף של הקו …ABABBABABABABA… כעל אינסוף עותקים מתורגמים של תבנית שני האריחים AB.

AB

ABAB

ABABAB

זוהי דוגמה אחת פשוטה של ​​ריצוף של הקו שיש לו סימטריה תרגום. בדו מימד, יש הרבה דוגמאות מוכרות של ריצוף של המטוס שיש להם גם תכונה זו.

בכל מקרה לעיל, אפשר לתרגם את כל הריצוף בכמות מסוימת כך שתתאים בדיוק למקור.

כמו ריצוף הקו שלנו, ניתן לחשוב על ריצוף דו-ממדי אלה עם סימטריה תרגום כעל דפוס אחד שחוזר על עצמו שוב ושוב. לדוגמה, המשושה הבודד משתרע לכל כיוון.

כדי לראות זאת בריצוף משולש שווה שוקיים, דמיינו את המשולשים מתאחדים ויוצרים משושים, ואת המשושים האלה חוזרים שוב ושוב על ידי תרגום.

המשולש, המשושה והריבוע של המטוס כולם "חד-הדרלים", שכן כולם מורכבים מהרבה אינסוף עותקים של אריח בודד. ישנן גם דרכים רבות לרצף את המטוס באמצעות אריחים מרובים, כפי שמוצג להלן (וברצפות רבות של חדרי אמבטיה).

אבל בואו נחזור לרצף את הקו. יש הבחנה חשובה שאנחנו צריכים לעשות.

שקול את הכללים החדשים הבאים עבור האריחים A ו-B שלנו.

1. ליד A, משני הצדדים אתה יכול למקם A או B.
2. ליד B, משני הצדדים אתה יכול לשים רק A.

האם אנחנו עדיין יכולים לרצף את הקו עם הכללים האלה? דרך קלה לראות שהתשובה היא כן היא לשים לב שגם הריצוף הקודם עומד בסט הכללים החדש.

…ABABABABABABA…

אבל הכללים החדשים מאפשרים יותר גמישות, וזה מוביל ליותר ריצוף של הקו.

לדוגמה, שתיהן תצורות חוקיות לפי הכללים החדשים:

AAABABA

ABABAAABAAB

וניתן להרחיב את אלה לאינסוף בכל כיוון באינספור דרכים.

בנוסף לתת לנו הרבה ריצוף חדשות של הקו, הכללים החדשים מאפשרים לנו ליצור ריצוף שבניגוד לדוגמא הראשונה שלנו, לא חוזרים על עצמם. לדוגמה, שקול את הריצוף הבא:

…ABAABAAABAAAAB…

מה התבנית כאן? התחל עם A, ואז מקם B ימינה, ואז שני A's מימין, ואז B, ואז שלושה A's, ואז B, ואז ארבעה A's, וכן הלאה. בצד שמאל, פשוט המשך להוסיף A's:

…AAAAAABAAABAAAAAAAAAAAAB…

עשה זאת, ובסופו של דבר יהיה לך ריצוף שלא ניתן לתרגם לעצמו כך שהכל יתאים.

דרך פשוטה לראות זאת היא לראות שיש B ייחודית ביותר משמאל בריצוף הזה, אז לאן זה יגיע לאחר התרגום? אם אתה מתרגם לשמאל, אין B להתאים אליו. אבל אם אתה מתרגם לימין, אין B שמגיע משמאל שיתאים לו.

לפיכך הכללים החדשים מאפשרים גם ריצוף שיש להם סימטריה תרגום וגם ריצוף שאין. יש גם ריצוף של המטוס שעובדים ככה.

לדוגמה, כבר ראינו ריצוף עם ריבועים שיש לו סימטריה תרגום, אבל אנחנו יכולים להשתמש בריבוע גם כדי לבנות ריצוף שאין להם תכונה זו.

זהו מצב שונה מאוד מהאריחים המונוהדרליים המשתמשים במשושים רגילים. בריפים אלה, המבנה החוזר על עצמו הוא בלתי נמנע. הגיאומטריה של האריחים עצמם מאלצת את הריצוף לקבל סימטריה תרגום. אנו קוראים לריצוף כזה "מחזורי".

לעומת זאת, הריבוע מאפשר דפוסים שחוזרים על עצמם ודפוסים שלא. זה מוביל לשאלה טבעית, שאי אפשר לעמוד בפניה למתמטיקאים: אם יש ריצוף של המטוס שנאלצים לקבל את המבנה החוזר הזה, האם יש ריצוף שנאלצים להימנע מכך? עם השאלה הזו, שנוסחה בשנות ה-1960, החל המצוד אחר "ריצוף א-מחזורי".

לחיפוש שלנו, נעשה עוד נסיעה אחת חזרה לקו. הריצוף הסופי שלנו של חלל חד-ממדי ישתמש בסט אריחים בעל מראה יוצא דופן:

אריחי A: A, AA, AAA, AAAA, …

אריחי B: B, BB, BBB, BBBB, …

שימו לב שסט האריחים הזה הוא אינסופי. אם זה נראה כמו רמאות, אתה חושב כמו מתמטיקאי. נחזור לזה מאוחר יותר, אבל לעת עתה, הנה שני הכללים להרכבת האריחים הרבים האינסופיים שלנו יחד:

1. ליד אריח A באורך n, אתה יכול לשים רק אריח B באורך n משני הצדדים.
2. ליד אריח B באורך n, אתה יכול לשים רק אריח באורך n + 1 משני הצדדים.

כמו תמיד, השאלה שלנו היא: האם נוכל לרצף את הקו עם האריחים והכללים האלה? ובכן, נניח שנתחיל באריח A באורך 1.

A

הכללים מכתיבים שבשני הצדדים נוכל לשים רק אריחי B באורך 1.

BAB

כעת, ליד כל B עלינו לשים אריחי A באורך 2.

AABABAA

לאחר מכן נוסיף אריחי B באורך 2.

BBAABABAABB

וכולי. קל לראות שאנחנו יכולים להמשיך לנצח בשני הכיוונים, מה שאומר שאנחנו באמת יכולים לרצף את הקו עם האריחים והכללים החדשים האלה. ורלוונטי לחיפוש שלנו, לריצוף זה אין סימטריה תרגום. שימו לב שהיחיד A שהצבנו בהתחלה מוקף מיד ב-B משני הצדדים, והתבנית המתקבלת - BAB - לעולם לא תופיע שוב. במחרוזת הארוכה האינסופית שמייצגת את הריצוף שלנו, כל A אחר שמופיע יהיה ליד לפחות A אחד אחר. זה אומר שאין לאן למחרוזת BAB ללכת, אז אין דרך לתרגם את הריצוף הזה לעצמה.

זה יהיה נכון ללא קשר לאריח שבו נתחיל. אם זה B, הכללים מובילים מיד למחרוזת

…BBAABABB…

וכמו קודם, דפוס ABA לעולם לא יחזור על עצמו. גם אם תתחיל עם משהו כמו AAA, אותו דבר יקרה.

…AAAABBBAAABBAAAA…

לא משנה מה תתחיל, האריח הראשוני תמיד יהיה אריח A או B היחיד באורך המסוים הזה, מה שימנע כל סימטריה תרגום להופיע. זה במקרה בדיוק מה שחיפשנו: סט של אריחים וחוקים שמאפשרים לנו לרצף את הקו אבל לעולם לא יאפשר סימטריה תרגום.

יכול להיות שאתה לא מרוצה מריצוף א-מחזורי שדורש אינסוף אריחים, ולא היית לבד. כאשר מתמטיקאים התחילו לחפש ברצינות אחר ריצוף א-מחזורי של המישור, הם רצו למצוא קבוצה סופית של אריחים שיכולים לרצף את המישור אך לא יכלו להיות בעלי סימטריה תרגום. פתרון מוקדם השתמש ב-20,426 אריחים, אך תוך כמה שנים המתמטיקאים הורידו את המספר הזה לשש.

פריצת דרך התרחשה בשנות ה-1970 כאשר רוג'ר פנרוז, המתמטיקאי והפיזיקאי הבריטי, גילה את מערכת שני האריחים המפורסמת הנושאת כעת את שמו. אריחי פנרוז הם זוג מרובעים פשוטים, שעם מערכת חוקים זהירה, מרצפים את המטוס מבלי לאפשר סימטריה תרגום.

יש רק דרך אחת לשפר ריצוף א-מחזורי בעל שני אריחים, אז מתמטיקאים, חובבים ואמנים החלו לחפש "מונוטיל" א-מחזורי שיעשה את העבודה לבד.

בנובמבר האחרון, דיוויד סמית' מצא אותו. זהו ה"כובע", המונוטיל הא-מחזורי הראשון הידוע.

סמית', מתמטיקאי פנאי, אמן וחובב ריצוף, גילה את הכובע כמו שמתמטיקה מתגלה: על ידי משחק וראה מה קרה. מאוחר יותר יתחבר סמית' לחוקרים קרייג קפלן, חיים גודמן-שטראוס וג'וזף סמואל מאיירס, שיחד אימתו שזהו אכן המונוטיל הא-מחזורי המבוקש.

הוכחה של משהו יכול לרצף את המטוס אבל לא יכול להיות סימטריה תרגום היא לא משימה קלה, אבל כמה מהטכניקות שבהן השתמשו נרמזות בדוגמאות הפשוטות שלנו. לדוגמה, אחת הדרכים להראות שמשולשים שווי צלעות יכולים לרצף את המישור היא לשים לב שהם מתאחדים ויוצרים מבנים גדולים יותר, במקרה זה משושים, אשר ידועים כמרצפים את המישור. אריח הכובע גם מתחבר ליצירת מבנים רגילים וגדולים יותר, שניתן להשתמש בהם כדי להבין כיצד הוא מרצף את המטוס.

אמנם ייתכן שאין תבנית חוזרת בריצוף הא-מחזורי שלנו של הקו, אך יש תבנית שמתרחבת ככל שעוברים ימינה. קודם אתה רואה AB, ואז AABB, ואז AAABBB, ואז AAAABBBB, וכן הלאה. זהו סוג של דמיון עצמי - דפוס שחוזר על עצמו בסקאלות משתנות - שלעיתים ניתן להשתמש בו כדי להראות שריצוף מסוים אינו יכול לתרגם לעצמו, כי פעולה זו תעוות את האורך.

בעבודה משותפת, הקבוצה הוכיחה שבאמצעות רק אריח הכובע ותמונת המראה שלו, אתה יכול לרצף את המטוס, אבל לא עם סימטריה תרגום. ובניגוד לניסיונות אחרים עם ערכות אריחים שונות, זה לא דרש כללים מיוחדים. האריח עצמו אילץ את הא-מחזוריות. ככל שהם נכנסו לעומק הגיאומטריה, הם גילו עוד יותר פתרונות. הכובע הוא למעשה אחד ממשפחה אינסופית של אריחים א-מחזוריים!

נראה שהחיפוש אחר מונוטיל א-מחזורי הגיע לסיומו. או שיש את זה? כאשר מרצפים את המטוס מדי פעם עם הכובע, אתה צריך גם את ההשתקפות שלו (מה שאתה מקבל אם אתה הופך את האריח). אולי יש מונוטיל א-מחזורי שעדיין לא התגלה שם, שאינו דורש את תמונת המראה שלו. מצא אותו ותהיה מפורסם. ההשראה עשויה להיות ממש מתחת לרגליך.

תיקון: 23 במאי 2023

עמודה זו תוקנה כדי לשקף את העובדה שניתן להימנע ממבנה שחוזר על עצמו בריצוף חד-הדרלי של משולשים שווי-צלעות.