מיזוג שדות, מתמטיקאים הולכים למרחק על בעיה ישנה | מגזין קוונטה

שינוי התוכניות הגיע בטיול. ביום יפה באפריל האחרון, המתמטיקאים רחל גרינפלד ו שרה פלוזה יצאו ממוסד הבית שלהם, המכון ללימודים מתקדמים בפרינסטון, ניו ג'רזי, לכיוון רוצ'סטר, ניו יורק, שם שניהם היו אמורים לשאת שיחות למחרת.

הם נאבקו במשך כמעט שנתיים עם השערה חשובה בניתוח הרמוני, התחום החוקר כיצד לפרק אותות מורכבים לתדרים המרכיבים שלהם. יחד עם משתף פעולה שלישי, מרינה איליופולו, הם חקרו גרסה של הבעיה שבה תדרי הרכיבים מיוצגים כנקודות במישור שהמרחקים זה מזה קשורים למספרים שלמים. שלושת החוקרים ניסו להראות שלא יכלו להיות יותר מדי מהנקודות הללו, אבל עד כה, כל הטכניקות שלהם לא הצליחו.

נראה היה שהם סובבים את גלגליהם. ואז פלוזה העלתה מחשבה: מה אם הם עזבו את בעיית הניתוח ההרמוני - זמנית, כמובן - ויפנו את תשומת לבם לקבוצות של נקודות שבהן המרחק בין שתי נקודות כלשהן הוא בדיוק מספר שלם? אילו מבנים אפשריים יכולים להיות לסטים כאלה? מתמטיקאים ניסו להבין קבוצות מרחקים שלמים מאז ימי קדם. לדוגמה, משולשים פיתגוריים (כגון 3, 4 ו-5), מייצגים משולשים ישרים ששלושת הקודקודים שלהם נמצאים במרחק שלמים זה מזה.

"במכונית, אני מניח שבגלל שרייצ'ל הייתה לכודה איתי, העליתי את זה", אמר פלוזה, שכיום פרופסור באוניברסיטת מישיגן. הרעיון להתמודד עם מרחק מספרים שלמים מחושמל את גרינפלד.

לפני שידעו זאת, הם החלו לא בשינוי כיוון אחד אלא בשניים.

"למעשה הפסקנו לשים לב לאן אנחנו הולכים ולא ירדנו מהכביש המהיר", אמר פלוזה. "הלכנו בכיוון ההפוך מרוצ'סטר במשך, בערך, שעה לפני ששמנו לב, כי כל כך התלהבנו מהמתמטיקה."

בשנת 1945, נורמן אנינג ופול ארדש הוכיח שקבוצה אינסופית של נקודות במישור שכולן במרחק שלמים זה מזה חייבת להיות על קו. עבור קבוצה סופית של נקודות, האפשרויות קצת יותר מגוונות. מתמטיקאים בנו סטים גדולים שנמצאים על קו או מעגל, לפעמים עם שלוש או ארבע נקודות נוספות שנמצאות מחוץ לגרור הראשי. (לנקודות עצמן לא חייבות להיות קואורדינטות שלמות - השאלה היא לגבי המרחקים ביניהן.)

אף אחד לא מצא קבוצה גדולה של נקודות עם כל תצורה אחרת, אבל אף אחד לא הוכיח שתצורות אחרות הן בלתי אפשריות. בכמעט 80 השנים שחלפו מאז התוצאה של אנינג וארדס, הנושא לא ראה כמעט שום התקדמות - עד עכשיו.

לגרינפלד, איליופולו ופלוסה יש הוכיח שכל הנקודות במערך מרחק שלם גדול - למעט אולי קומץ דל של נקודות חריגות - חייבות להיות על קו או מעגל בודד. "אם אתה רוצה קבוצה גדולה שבה כל המרחקים הזוגיים הם מספרים שלמים, אז עיגולים וקווים הם השחקנים היחידים", אמר יוזף סולימוסי של אוניברסיטת קולומביה הבריטית. הוא כינה את התוצאה שלהם "פתרון פנטסטי".

הגישה החדשה משתמשת ברעיונות ובטכניקות משלושה תחומים שונים של מתמטיקה: קומבינטוריקה, תורת המספרים וגיאומטריה אלגברית. החיבור הזה של תחומים שונים "יכול להיות פריצת דרך פסיכולוגית אמיתית", אמר טרנס טאו, מתמטיקאי באוניברסיטת קליפורניה, לוס אנג'לס.

אלכס יושביץ', מאוניברסיטת רוצ'סטר, מסכים. "הם הניחו בסיס מוצק מאוד למערכת רחבה מאוד של בעיות", אמר. "אין לי שום ספק שזה הולך למצוא יישומים עמוקים עוד יותר."

גבולות הפשטות

בתוך מישור, קל לבחור קבוצה אינסופית של נקודות שמרוחקות כולן במרחקים שלמים זה מזה - פשוט קח את הקו המועדף עליך, דמיינו קו מספרים המוצב מעליו, והשתמש בחלק מהנקודות או בכל הנקודות המתאימות למספרים שלמים. אבל זו הדרך היחידה לבנות מרחק אינסופי של מספר שלם שנקבע במישור, כפי שהבינו אנינג וארדוס בשנת 1945. ברגע שיש לך רק שלוש נקודות שלא כולן על אותו קו, התצורה שלך הופכת מוגבלת עד כדי כך שזה בלתי אפשרי להוסיף עוד אינסוף נקודות.

הסיבה מסתכמת בגיאומטריה פשוטה. תארו לעצמכם שמתחילים בשתי נקודות, A ו-B, שנמצאות במרחק מספר שלם זה מזה. אם אתה רוצה להוסיף נקודה שלישית, C, שהיא מרחק מספר שלם גם מ-A וגם מ-B אבל לא שוכבת על הקו שדרכם, רוב הנקודות במישור לא יעבדו. הנקודות הקיימות היחידות חיות על עקומות מיוחדות הנקראות היפרבולות שחותכות בין A ל-B. אם A ו-B נמצאות, נגיד, במרחק של 4 יחידות זה מזה, אז יש בדיוק ארבע מהיפרבולות אלו. (להיפרבולה יש בדרך כלל שני חלקים נפרדים, כך למשל שתי העקומות האדומות באיור למטה יוצרות היפרבולה אחת.)

לאחר שבחרתם ב-C (שבדוגמה זו היא 3 יחידות מ-A ו-5 יחידות מ-B), אין לכם כמעט אפשרויות להוסיף עוד נקודות. כל נקודה שתוכל להוסיף חייבת להיות על אחת ההיפרבולות בין A ל-B, או על הקו שעובר בהן. אבל היא חייבת גם לשכב על אחת ההיפרבולות בין A ל-C, ואחת ההיפרבולות בין B ל-C (או על הקווים המתאימים) - במילים אחרות, ניתן למקם נקודה חדשה רק במקום שבו שלוש היפרבולות או קווים מצטלבים (אם כי לא כל נקודת צומת תעבוד). יש רק הרבה מההיפרבולות והקווים האלה מלכתחילה, ושתי היפרבולות (או קווים) יכולות להצטלב בארבע נקודות לכל היותר. אז בסופו של דבר יש לך רק אינסופית נקודות חיתוך לבחירה - אתה לא יכול לבנות קבוצה אינסופית.

כשזה מגיע להבנה כיצד נראית למעשה קבוצה סופית של נקודות מרחק שלמים, גישת ההיפרבולה הופכת במהירות למסורבלת. כשאתה מוסיף נקודות, אתה צריך להתמודד עם מספר הולך וגדל של היפרבולות. לדוגמה, עד שהסט שלך יכיל רק 10 נקודות, הוספת 11 נקודות תיצור 10 משפחות חדשות של היפרבולות - כל אלה שבין הנקודה החדשה שלך לכל אחת מהנקודות שכבר נמצאות בסט. "אתה לא יכול להוסיף הרבה נקודות, כי אתה תלך לאיבוד בכל ההיפרבולות והצמתים האלה," אמר גרינפלד.

אז מתמטיקאים חיפשו עקרונות יותר ניתנים לניהול לבניית קבוצות גדולות של נקודות מרחק שלמים שאינן שוכבות על קו. אבל הם הצליחו להמציא רק גישה אחת: שים את הנקודות שלך על עיגול. אם אתה רוצה מרחק של מספר שלם עם, נניח, טריליון נקודות, יש דרכים להגיע לטריליון נקודות במעגל ברדיוס 1 שכל המרחקים ביניהם הם שברים. אז אתה יכול לנפח את המעגל עד שכל המרחקים השברים יהפכו למספרים שלמים. ככל שתרצה יותר נקודות בסט שלך, כך תצטרך יותר לנפח את העיגול.

במהלך השנים, המתמטיקאים העלו רק דוגמאות אקזוטיות מעט יותר. הם יכולים לבנות קבוצות מרחקים שלמים גדולים שבהם כל הנקודות מלבד ארבע שוכנות על קו או כולן למעט שלוש שוכנות על מעגל. מתמטיקאים רבים חושדים כי אלו הן קבוצות המרחקים השלמים הגדולות היחידות שבהן לא כל הנקודות נמצאות על קו או מעגל. הם יידעו זאת בוודאות אם אי פעם יוכלו להוכיח משהו שנקרא השערת בומבירי-לאנג. אבל המתמטיקאים חלוקים בשאלה האם השערה זו עשויה להיות נכונה.

מאז עבודתם של אנינג וארדו בשנת 1945, מתמטיקאים התקדמו מעט בהבנת קבוצות מרחקים שלמים. עם הזמן, נראה היה שבעיית המרחק המספרים השלמים הצטרפה למערך של בעיות אחרות בקומבינטוריקה, תורת המספרים וגיאומטריה שפשוטות להגדרה אך לכאורה בלתי אפשריות לפתרון. "זה מדד לכמה פתטית המתמטיקה שלנו," אמר טאו.

במובן מסוים, בעיית המרחק המספרים השלמים הייתה קורבן להצלחות המוקדמות שלה. הוכחת ההיפרבולה, עם הפשטות הגאונית שלה, היא סמל לפילוסופיה שבה דוגל ארדוס, מתמטיקאי רב השפעה שדיבר לעתים קרובות על "הספר" - כרך מדומיין של ההוכחות האלגנטיות ביותר במתמטיקה. תרבות הפשטות שקידמה ארדס הובילה ל"תוצאות אדירות" בגיאומטריה קומבינטורית, אמר יושביץ'. אבל זה יכול גם להוביל לנקודות עיוורות - במקרה הזה, לגבי הערך של הבאת גישות מגיאומטריה אלגברית.

"אני לא חושב שתמצא תוצאה [בגיאומטריה אלגברית] שהוכחה ב-50 השנים האחרונות שאינה מעורבת מאוד מבחינה טכנית ומבולגנת", אמר יושביץ'. "עם זאת, לפעמים הדברים צריכים להיות כך."

במבט לאחור, בעיית המרחק המספרים השלמים חיכתה למתמטיקאים שהיו מוכנים לשקול עקומות סוררות יותר מהיפרבולות ואז להסתמך על כלים חוזרים מגיאומטריה אלגברית ותורת המספרים כדי לאלף אותם. "זה דרש אנשים עם רוחב מספיק של ידע ועניין", אמר יושביץ'.

רוב המתמטיקאים, אמר, מסתפקים בשימוש בכמה כלים בפינה אחת של המתמטיקה במשך כל הקריירה שלהם. אבל גרינפלד, איליופולו ופלוס הם חוקרים חסרי פחד, אמר יושביץ'. "הם רואים במתמטיקה מכלול קוהרנטי."

מסבך את הבעיה

בקיץ 2021, גרינפלד החליטה שהגיע הזמן לנקוט דקירה בבעיה מניתוח הרמוני שהיא חשבה עליה מאז לימודי התואר השני. ניתוח הרמוני קלאסי, המהווה את הבסיס לעיבוד אותות בעולם האמיתי, עוסק כולו בפירוק אותות לגלי סינוס בתדרים ופאזות שונים. תהליך זה עובד מכיוון שניתן ליצור רשימה אינסופית של גלי סינוס שבשילובם, לוכדים את כל התכונות של כל אות, ללא כל יתירות.

עם זאת, לעתים קרובות, חוקרים רוצים לחקור משהו מסובך יותר מאשר אות חד-ממדי. לדוגמה, הם עשויים לרצות לפרק אות על דיסק במטוס. אבל הדיסק יכול לארח רק אוסף סופי של גלי סינוס תואמים - מעט מדי כדי ללכוד את ההתנהגות של כל האותות האפשריים בדיסק. אז נשאלת השאלה: כמה גדול יכול להיות האוסף הסופי הזה?

באוסף כזה, ניתן לייצג את התדרים של הסינוסים כנקודות במישור שנראות מסרבות להתקבצות בקווים ובמעגלים: לעולם לא תמצא שלוש נקודות שכולן קרובות לאותו קו, או ארבע שכולן קרובות. לאותו מעגל. גרינפלד קיווה להשתמש בסלידה זו כדי להוכיח שקבוצות התדרים הללו יכולות להכיל רק כמה נקודות.

בפגישה ב-2021 באוניברסיטת בון, גרינפלד השתתף בהרצאה על "שיטת הקובע", טכניקה מתורת המספרים שניתן להשתמש בה כדי להעריך כמה נקודות שלמות מסוגים מסוימים יכולות להיות על עקומות. הכלי הזה, היא הבינה, עשוי להיות בדיוק מה שהיא צריכה. גרינפלד גייס את איליופולו ופלוסה, שהיו גם הם בפגישה. "התחלנו ללמוד את השיטה הזו ביחד", אמר גרינפלד.

אבל למרות מאמצים רבים, נראה שהם לא הצליחו לכופף את השיטה הקובעת למטרה שלהם, ועד באביב 2023, הם חשו מיואשים. איוסביץ' הזמין את גרינפלד ופלוסה לנסוע לרוצ'סטר לביקור. "אז חשבנו, 'בסדר, ניסע לרוצ'סטר, ודיבור עם אלכס יחזק אותנו מחדש'", אמר פלוזה. אבל כפי שהתברר, הם נחתו ברוצ'סטר כבר קיבלו כוחות מחודשים, הודות לדיון מעודד על קבוצות של מרחקים שלמים במעקף הלא מתוכנן שלהם לאורך נהר סוסקהאנה בפנסילבניה.

הם הגיעו מאוחר מדי לארוחת ערב מתוכננת עם יושביץ', אבל הם מצאו אותו ממתין בלובי המלון עם שקיות של טייק אאוט. הוא סלח על האיחור שלהם - והיה יותר מסלחן ​​למחרת בבוקר, כשסיפרו לו על התוכנית שלהם להתמודד עם סטים של מרחק שלמים. "הוא היה כל כך נרגש", נזכר פלוזה. "מבחינה רגשית, זה היה דחיפה עצומה."

כמו בגישת ההיפרבולות, גרינפלד, איליופולו ופלוס ניסו לשלוט במבנה של קבוצות מרחקים שלמים על ידי זיהוי משפחות של עקומות שעל הנקודות לשכב עליהן. שיטת ההיפרבולה מתחילה להיות מפותלת מדי ברגע שיש לך יותר מכמה נקודות, אבל גרינפלד, איליופולו ופלוסה הבינו כיצד לשקול נקודות רבות בו-זמנית על ידי הזזת התצורה כולה למרחב בעל ממדים גבוהים יותר.

כדי לראות איך זה עובד, נניח שאתה מתחיל עם נקודת "התייחסות" A בקבוצת המרחק המספרים השלמים שלך. כל נקודה אחרת בקבוצה נמצאת במרחק מספר שלם מ-A. הנקודות חיות במישור, אך ניתן לחבוט במישור במרחב תלת-ממדי על ידי הצמדת קואורדינטה שלישית לכל נקודה, שערכה הוא המרחק מ-A. לדוגמה , נניח ש-A היא הנקודה (1, 3). ואז הנקודה (4, 7), המרוחקת 5 יחידות מ-A, הופכת לנקודה (4, 7, 5) במרחב התלת מימדי. תהליך זה הופך את המישור לקונוס במרחב תלת מימדי שקצהו יושב ב-A, המסומן כעת (1, 3, 0). נקודות המרחק שלמים הופכות לנקודות במרחב התלת מימדי השוכנות על החרוט וגם על סריג מסוים.

באופן דומה, אם תבחרו שתי נקודות ייחוס, A ו-B, תוכלו להמיר נקודות במישור לנקודות במרחב ארבע-מימדי - פשוט תן לכל נקודה שתי קואורדינטות חדשות שהערכים שלהן הם המרחקים שלה ל-A ו-B. תהליך זה ממיר את המישור לתוך משטח מפותל בחלל ארבע ממדי. אתה יכול להמשיך להוסיף עוד נקודות התייחסות בדרך זו. עם כל נקודת התייחסות חדשה, הממד גדל באחד והמטוס ממופה למשטח מתנועע עוד יותר (או, כפי שאומרים מתמטיקאים, משטח בדרגה גבוהה יותר).

עם מסגרת זו במקום, החוקרים השתמשו בשיטת הקובע מתורת המספרים. דטרמיננטים הם מספרים, המשויכים בדרך כלל למטריצות, הלוכדים שורה של תכונות גיאומטריות של אוסף נקודות - למשל, דטרמיננט מסוים עשוי למדוד את שטח המשולש שנוצר על ידי שלוש מהנקודות. שיטת הדטרמיננטים מציעה דרך להשתמש בדטרמיננטים כאלה כדי להעריך את מספר הנקודות המונחות בו-זמנית על משטח מתנועע ועל סריג - בדיוק מהסוג של המצב איתו התמודדו גרינפלד, איליופולו ופלוס.

החוקרים השתמשו בקו עבודה המבוסס על שיטת הדטרמיננטית כדי להראות שכאשר הם חוטפים את מרחק המספרים השלמים שלהם לממד גבוה מתאים, הנקודות חייבות להיות כולן על מספר קטן של עקומות מיוחדות. עקומות אלו, כאשר הצללים שלהן במישור אינם קו או עיגול, אינן יכולות להכיל נקודות סריג רבות, שהן המועמדות היחידות לנקודות במערך המרחק השלם. זה אומר שמספר הנקודות בקבוצה שיכולות לנוח מהקו או המעגל הראשי מוגבל - החוקרים הראו שהוא חייב להיות קטן יותר מפונקציה שצומחת לאט מאוד של קוטר הסט.

הגבול שלהם אינו מגיע לסטנדרט של השערת "ארבע נקודות מחוץ לקו או שלוש נקודות מחוץ למעגל", שמתמטיקאים רבים מאמינים כי היא נכונה עבור קבוצות מרחקים שלמים גדולים. למרות זאת, התוצאה מראה ש"מהות ההשערה נכונה", אמר ג'ייקוב פוקס מאוניברסיטת סטנפורד. הוכחה מלאה להשערה תדרוש ככל הנראה עירוי נוסף של רעיונות חדשים, אמרו מתמטיקאים.

ערכת הקידוד הממדים הגבוהים של הצוות היא "חזקה ביותר", אמר איוסביץ'. "יש לא רק יישומים באופן עקרוני - יש יישומים שאני כבר חושב עליהם".

יישום אחד, מקווים גרינפלד, איליופולו ופלוס, יהיה לבעיית הניתוח ההרמונית המקורית שלהם, אליה חוזרים השלושה כעת. התוצאה שלהם על סטים של מרחקים שלמים "יכולה להיות אבן קפיצה לקראת זה", אמר גרינפלד.

הסינתזה של קומבינטוריקה עם גיאומטריה אלגברית שהחוקרים יזמו לא תיעצר עם סטים של מרחקים שלמים או בעיות בעלות ברית בניתוח הרמוני, חזה איוסביץ'. "אני מאמין שמה שאנחנו רואים הוא פריצת דרך מושגית", אמר. "זה שולח מסר לאנשים בשני התחומים שזוהי אינטראקציה מאוד פרודוקטיבית."

זה גם שולח מסר לגבי הערך של לפעמים להפוך בעיה למסובכת יותר, אמר טאו. מתמטיקאים בדרך כלל שואפים להיפך, הוא ציין. "אבל זו דוגמה שבה מורכבות הבעיה היא למעשה הצעד הנכון."

ההתקדמות שינתה את הדרך שבה הוא חושב על עקומות בדרגות גבוהות, אמר. "לפעמים הם יכולים להיות חברים שלך ולא אויבים שלך."