שני סטודנטים מפרקים השערה מתמטית שהאמינו בה | מגזין קוונטה

לסאמר האג וקלייד קרצר היו תקוות גדולות בפרויקט המחקר הקיץ שלהם. עיוורון של תת-תחום שלם של מתמטיקה לא היה אחד מהם.

במאי סיימה האג את השנה הראשונה שלה בבית הספר לתארים מתקדמים באוניברסיטת קולורדו, בולדר, שם קרצר היה תואר ראשון. שניהם ציפו להפסקה מהשיעורים. האג תכנן לחקור טיולים ומסלולי טיפוס חדשים. קרצר, יליד בולדר, רצה לשחק כדורגל ולהכין את הבקשה שלו לבית הספר. אבל בתור מתמטיקאי מחקר שואפים, הם גם הגישו בקשה לתוכנית מחקר קיץ בחצי משרה בקבוצת המתמטיקאי קתרין סטאנגה.

סטאנגה היא תיאורטיקנית מספרים שמתארת ​​את עצמה כמתמטית "צפרדע" - מישהו שמתעמק במורכבות של בעיה אחת לפני שהוא קופץ לאחרת. היא מתעניינת ב"שאלות פשוטות לכאורה המובילות לעושר של מבנה", אמרה. הפרויקטים שלה נוקבים לעתים קרובות בבעיות הפתוחות החמקמקות של תורת המספרים באמצעות שימוש במחשבים ליצירת מערכי נתונים גדולים.

האג וקרטצר התחילו את התוכנית ביום הולדתה ה-23 של האג עם בסיס שבועי על אריזות עיגול אפולו - המחקר העתיק של איך מעגלים יכולים להידחק בצורה הרמונית למעגל אחד גדול יותר.

דמיינו שאתם מסדרים שלושה מטבעות כך שכל אחד יגע באחרים. תמיד אפשר לצייר סביבם עיגול שנוגע בשלושתם מבחוץ. אז אתה יכול להתחיל לשאול שאלות: איך הגודל של אותו עיגול גדול יותר קשור לאלה של שלושת המטבעות? איזה גודל עיגול יתאים לרווח בין שלושת המטבעות? ואם אתה מתחיל לצייר עיגולים שממלאים פערים קטנים יותר ויותר בין עיגולים - יוצרים תבנית פרקטלית המכונה אריזה - איך הגדלים של העיגולים האלה קשורים זה לזה?

במקום לחשוב על קוטר המעגלים הללו, מתמטיקאים משתמשים במדד שנקרא עקמומיות - היפוך הרדיוס. אז למעגל עם רדיוס 2 יש עקמומיות 1/2, ולמעגל עם רדיוס 1/3 יש עקמומיות 3. ככל שהמעגל קטן יותר, העקמומיות גדולה יותר.

מתמטיקאים מתקופת הרנסנס הוכיחו שאם לארבעת המעגלים הראשונים יש עקמומיות שהיא מספר שלם, מובטח שהעקמומיות של כל המעגלים הבאים באריזה יהיו מספרים שלמים. זה מדהים בפני עצמו. אבל מתמטיקאים לקחו את הבעיה צעד קדימה על ידי שאלת שאלות לגבי אילו מספרים שלמים מופיעים ככל שהמעגלים הולכים וקטנים והעקמומיות גדלות וגדלות.

ב2010, אלנה פוקס, תיאורטיקן מספרים כעת באוניברסיטת קליפורניה, דייויס, הוכיח שהעקמומיות עוקבות אחר מערכת יחסים מסוימת שמאלצת אותן לתוך דליים מספריים מסוימים. זמן קצר לאחר מכן, מתמטיקאים השתכנעו שלא רק שהעקמומיות חייבות ליפול לתוך דלי כזה או אחר, אלא גם שיש להשתמש בכל מספר אפשרי בכל דלי. הרעיון נודע בתור ההשערה המקומית-גלובלית.

"הרבה עבודות התייחסו לזה כאילו זה כבר עובדה", אמר קרצר. "דיברנו על זה כאילו זה הולך להיות מוכח בשלב מסוים בעתיד הקרוב."

ג'יימס ריקרדס, מתמטיקאי בבולדר שעובד עם Stange והתלמידים, כתב קוד כדי לבחון כל סידור רצוי של אריזות מעגלים. אז כשהאג וקרטצר הצטרפו לקבוצה ב-15 במאי, הם חשבו שייצרו עלילות מגניבות של הכלל המקומי-גלובלי האמין שייכנס.

סטאנגה טס לצרפת לכנס בתחילת יוני. כשחזרה ב-12 ביוני, הצוות התגודד סביב תרשימים שהדגימו כיצד נראה שחסרים מספרים מסוימים בכמה דליים.

"לא חקרנו את התופעה הזו", אמר ריקארדס. "לא ניסיתי לבדוק שזה נכון. ידעתי שזה נכון - פשוט הנחתי שזה נכון. ואז פתאום, אנחנו עומדים בפני נתונים שאומרים שזה לא".

עד סוף השבוע, הצוות היה בטוח שההשערה שקרית. מספרים שהם ציפו להופיע מעולם לא עשו זאת. הם חיברו הוכחה, וב-6 ביולי הם פרסמו את עבודותיהם לאתר ה-preprint המדעי arxiv.org.

פוקס זוכר שדיבר עם סטאנגה זמן קצר לאחר שההוכחה נכנסה למקומה. "עד כמה אתה מאמין להשערה המקומית לגלובלית?" שאל סטאנגה. פוקס הגיבה שהיא כמובן מאמינה בזה. "ואז היא הראתה לי את כל הנתונים האלה ואמרתי, 'אלוהים אדירים, זה מדהים'", אמר פוקס. "כלומר, באמת האמנתי שההשערה המקומית לגלובלית נכונה."

"ברגע שאתה רואה את זה, אתה פשוט אומר 'אהה! כמובן!'" אמר פיטר סרנק, מתמטיקאי במכון ללימודים מתקדמים ובאוניברסיטת פרינסטון שלו תצפיות מוקדמות עזר לתדלק את ההשערה המקומית-גלובלית.

"זו תובנה פנטסטית," הוסיף אלכס קונטרוביץ' מאוניברסיטת רטגרס. "כולנו בועטים בעצמנו שלא מצאנו את זה לפני 20 שנה, כשאנשים התחילו לשחק עם זה לראשונה".

בין ההריסות שהותירה התוצאה, העבודה חשפה סדק ביסוד של השערות אחרות בתורת המספרים. מתמטיקאים נותרו לתהות איזו אמונה רווחת עשויה להיות הבאה ליפול.

היסטוריה של כיכר

אריזות מעגל אפולוני מקבלים את שמם מהמקור הסביר שלהם, אפולוניוס מפרגה. לפני כ-2,200 שנה כתב הגיאומטר היווני ספר בשם טנג'נסים על איך לבנות מעגל המשיק לכל שלושה אחרים. הספר אבד בזמן. אבל כ-500 שנה מאוחר יותר, המתמטיקאי היווני פאפוס מאלכסנדריה הרכיב אוסף שישרוד את קריסת האימפריה הביזנטית.

משתמש רק בתיאור של פאפוס של טנג'נסים, מתמטיקאים מתקופת הרנסנס ניסו לשחזר את העבודה המקורית. עד 1643, רנה דקארט גילה קשר פשוט בין העקמומיות של כל ארבעה מעגלים המשיקים זה לזה. דקארט טען שסכום כל העקמומיות בריבוע שווה למחצית הריבוע של סכום העקומות. משמעות הדבר היא שבהינתן שלושה מעגלים, ניתן לחשב את הרדיוס של מעגל משיק רביעי. לדוגמה, אם יש לך שלושה עיגולים עם עקומות של 11, 14 ו-15, אתה יכול לחבר את המספרים האלה למשוואה של דקארט ולחשב את העקמומיות של המעגל שיתאים בתוכם: 86.

בשנת 1936, רדיוכימאי זוכה פרס נובל פרדריק סודי הבחין במשהו מוזר כשהוא בנה אריזות עם משפחתו של דקארט. ככל שהמעגלים הלכו והצטמצמו והעקמומיות גדלו, הוא ציפה לקבל מספרים מסורבלים עם שורשים מרובעים או אינסוף עשרונים. במקום זאת, כל העקמומיות היו מספרים שלמים. זו הייתה תוצאה פשוטה למדי של המשוואה של דקארט, אבל איש לא שם לב במשך מאות שנים. זה נתן השראה לסודי לפרסם שיר בכתב העת המדעי טבע, שהתחיל:

לזוגות שפתיים להתנשק אולי
לא כולל טריגונומטריה.
״זה לא כך כשארבעה עיגולים מתנשקים
כל אחד והשני שלושה.

האפשרי והבלתי נמנע

לאחר שנקבע שיש אריזות מלאות במספרים שלמים, מתמטיקאים ניסו למצוא דפוסים במספרים שלמים אלה.

בשנת 2010, פוקס ו קתרין סנדן יצא לבנות על א נייר מ 2003. הצמד ראה שאם מחלקים כל עקמומיות באריזה נתונה ב-24, נוצר כלל. לאריזות מסוימות יש רק עקומות עם שאריות של 0, 1, 4, 9, 12 או 16, למשל. אחרים משאירים רק שאריות של 3, 6, 7, 10, 15, 18, 19 או 22. היו שש קבוצות אפשריות שונות.

כאשר מתמטיקאים בחנו את הקטגוריות השונות של האריזות, הם החלו לשים לב שעבור עיגולים קטנים מספיק - אלה עם עקמומיות גדולות - נראה היה שכל מספר אפשרי בכל קטגוריה מופיע עבור אריזות מסוג זה. הרעיון הזה זכה לכינוי ההשערה המקומית-גלובלית. הוכחה שזה הפך ל"אחד מהחלומות הקטנים של המתמטיקאים האלה שלי", אמר פוקס. "כאילו, אולי בשלב מסוים בעוד שנים רבות מעכשיו אוכל לפתור את זה."

בשנת 2012, קונטורוביץ' וז'אן בורגן (מי מת ב 2018) הוכיח את זה כמעט כל מספר החזויה על ידי ההשערה אכן מתרחשת. אבל "כמעט הכל" אין פירושו "הכל". לדוגמה, ריבועים מושלמים הם נדירים מספיק, כך שמבחינה מתמטית, "כמעט כל" המספרים השלמים אינם ריבועים מושלמים, למרות, למשל, 25 ו-49. מתמטיקאים חשבו שהדוגמאות הנגדיות הנדירות שנותרו אפשריות לאחר המאמר של קונטורוביץ' ובורגין לא היו קיימות בפועל, בעיקר בגלל ששתיים או שלוש אריזות המעגל שנחקרו היטב עוקבות כל כך טוב אחר ההשערה המקומית-גלובלית, אמר קונטורוביץ'.

מעלה את החוגה

כשהאג וקרטצר התחילו הקיץ בבולדר, ריקארדס שרבט רעיונות על לוח במשרדו של סטאנגה. "הייתה לנו רשימה שלמה", אמר ריקארדס. היו להם ארבע או חמש נקודות מוצא להתנסות איתן. "דברים שאתה יכול פשוט לשחק איתם ולראות מה קורה."

רעיון אחד היה לחשב את כל אריזות המעגלים האפשריות המכילות שתי עקומות שרירותיות A ו-B. Rickards כתב תוכנית שמוציאה מעין ספר חשבונות המדווח אילו מספרים שלמים מופיעים למסיבה כאשר A מתארח.

בהתבסס על תוכנית זו, האג רשרש יחד תסריט Python שתכנן טונות של סימולציות בבת אחת. זה היה כמו לוח הכפל: האג בחר אילו שורות ועמודות לכלול בהתבסס על השאריות שלהם כאשר הם חולקו ב-24. זוגות של מספרים המופיעים באריזה אפולונית יחד קיבלו פיקסלים לבנים; אלה שאין להם פיקסלים שחורים.

האג חרש עשרות חלקות - אחת לכל זוג שאריות בכל אחת משש הקבוצות.

הם נראו בדיוק כצפוי: קיר לבן, מפולפל בכתמים שחורים עבור מספרים שלמים קטנים יותר. "ציפינו שהנקודות השחורות ייעלמו", אמר סטאנגה. ריקארדס הוסיף, "חשבתי שאולי אפילו יהיה אפשרי להוכיח שהם מתפוגגים". הוא העלה השערות שעל ידי התבוננות בתרשימים שסינתזו אריזות רבות יחדיו, הצוות יוכל להוכיח תוצאות שלא היו אפשריות כאשר הם הסתכלו על כל אחת מהאריזה בעצמה.

בזמן שסטאנג' לא היה, האג סיכם כל זוג שאריות - בערך 120. אין הפתעות שם. ואז היא הלכה בגדול.

האג תכנן איך 1,000 מספרים שלמים מתקשרים. (הגרף גדול יותר ממה שהוא נשמע, מכיוון שהוא כולל מיליון זוגות אפשריים.) ואז היא סובבה את החוגה עד 1 כפול 10,000. בגרף אחד, שורות ועמודות רגילות של כתמים שחורים סירבו להתמוסס. זה לא נראה כמו מה שההשערה המקומית-גלובלית תחזה.

הצוות נפגש ביום שני לאחר שסטנג' חזר. האג הציג את הגרפים שלה, וכולם התמקדו בזה עם הנקודות המוזרות. "זה היה רק ​​דפוס מתמשך", אמר האג. "וזה היה כשקייט אמרה, 'מה אם ההשערה המקומית-גלובלית לא נכונה?'"

"זה נראה כמו דפוס. זה חייב להמשיך. אז ההשערה המקומית-גלובלית חייבת להיות שקרית", נזכר סטאנג' שחשב. "ג'יימס היה סקפטי יותר."

"המחשבה הראשונה שלי הייתה שחייב להיות באג בקוד שלי", אמר Rickards. "כלומר, זה היה הדבר הסביר היחיד שיכולתי לחשוב עליו."

תוך חצי יום, ריקארדס הגיע למקום. התבנית שללה את כל הזוגות שבהם המספר הראשון הוא בצורת 8 × (3n ± 1)² והשני הוא פי 24 מכל ריבוע. המשמעות היא ש-24 ו-8 לעולם לא מופיעים באותה אריזה. מספרים שהיית מצפה שיתרחשו לא.

"הייתי די מסוחרר. לא לעתים קרובות משהו באמת מפתיע אותך, "אמר סטאנג'. "אבל זה הקסם של משחק עם נתונים."

השמיים עיתון יולי מתווה הוכחה קפדנית לכך שהדפוס שהם צפו נמשך ללא הגבלת זמן, מה שמפריך את ההשערה. ההוכחה תלויה בעקרון בן מאות שנים הנקרא הדדיות ריבועית הכוללת ריבועים של שני מספרים ראשוניים. הצוות של Stange גילה כיצד ההדדיות חלה על אריזות מעגלים. זה מסביר מדוע עקומות מסוימות לא יכולות להיות משיקות זו לזו. הכלל, הנקרא חסימה, מתפשט לאורך כל האריזה. "זה פשוט דבר חדש לגמרי," אמר ג'פרי לגריאס, מתמטיקאי מאוניברסיטת מישיגן שהיה שותף לכתיבה על נייר אריזת המעגלים משנת 2003. "הם מצאו את זה בצורה גאונית," אמר סרנק. "אם המספרים האלה אכן יופיעו, הם היו מפרים את ההדדיות".

הנפילה /

מספר השערות אחרות בתורת המספרים עשויות להיות מוטלות כעת בספק. כמו ההשערה המקומית-גלובלית, קשה להוכיח אותם, אבל כבר הוכח שהם מתקיימים כמעט בכל המקרים ובדרך כלל מניחים שהם נכונים.

לדוגמא, פוקס חוקר שלשות של מרקוב, קבוצות של מספרים העומדות במשוואה x² + y² + z² = 3xyz. היא ואחרים הראו שסוגים מסוימים של פתרונות מחוברים למספרים ראשוניים גדולים מ-10³⁹². כולם מאמינים שהדפוס צריך להמשיך עד אינסוף. אבל לאור התוצאה החדשה, פוקס הרשתה לעצמה לחוש צביטה של ​​ספק. "אולי אני מפספס משהו," היא אמרה. "אולי כולם מפספסים משהו."

"עכשיו, כשיש לנו דוגמה יחידה שבה היא שקר, השאלה היא: האם היא שקרית גם עבור הדוגמאות האחרות האלה?" אמר ריקארדס.

יש גם את ההשערה של זרמבה. זה אומר שאפשר לבטא שבר עם כל מכנה כשבר המשך שמשתמש רק במספרים שבין 1 ל-5. ב-2014, Kontorovich ו-Bourgain הראו שההשערה של זרמבה תופסת כמעט את כל המספרים. אבל ההפתעה לגבי אריזת המעגל ערערה את האמון בהשערה של זרמבה.

אם בעיית האריזה היא מבשר לבאות, נתונים חישוביים עשויים להיות הכלי לביטולה.

"אני תמיד מוצא את זה מרתק כאשר מתמטיקה חדשה נולדת רק מתוך הסתכלות גרידא על נתונים", אמר פוקס. "בלי זה, באמת קשה לדמיין שהם היו נתקלים בזה."

סטאנגה הוסיף שכל זה לא היה קורה ללא פרויקט הקיץ הנמוך. "לסרנדיפיות וגישה של חקר שובב יש לשניהם תפקיד עצום בגילוי", אמרה.

"זה היה צירוף מקרים טהור", אמר האג. "אם לא הייתי גדול מספיק, לא היינו שמים לב לזה." העבודה מבשרת טובות לעתיד של תורת המספרים. "אתה יכול ללקט הבנה של מתמטיקה באמצעות האינטואיציה שלך, באמצעות הוכחות," אמר סטאנג'. "ואתה סומך על זה הרבה כי השקעת הרבה זמן במחשבה על זה. אבל אי אפשר להתווכח עם הנתונים".

הערת העורך: אלכס קונטורוביץ' הוא חבר ב מגזין Quantaהמועצה המייעצת המדעית של. הוא התראיין לסיפור הזה אבל לא תרם אחרת להפקתו.